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高考理科统计与概率常考题型及训练


高考统计与概率知识点、题型及练习
一.随机变量 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ① 试验可以在相同的情形下重复进行; ② 试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; ③ 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就 被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变 量。若 ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变量。一般地,若 ξ 是随机变量, f ( x) 是连续函数 或单调函数,则 f (? ) 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量。 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机 变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列. ? x1 P
p1 x2 p2

… …

xi pi

… …

性质:① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ; ② p 1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 . 3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概

k k n ?k 率是: P(? ? k ) ? Cn P q (其中 k ? 0,1, ?, n, q ? 1 ? p )。 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机

变量 ξ 服从二项分布,记作 ? ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数。. ⑵ 二项分布的判断与应用: ①二项分布, 实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复, 且每次试验只有两种结果, 如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布。 ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时 可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列。 4. 几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 A k ,事件 A 不 发 生 记 为 Ak , P( Ak ) ? q , 那 么 根 据 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 分 式 :

P(? ? k ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )...P( Ak ?1 )P( Ak ) ?q k ?1p (k ? 1,2,3, ?) ,于是得到随机变量 ξ 的概率分布列.
?

1 q
k ?1

2 qp

3

… …

k

… …

P

q2 p

q k ?1 p

我们称 ξ 服从几何分布,并记 G(k , p) ? q

p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3?

5. ⑴超几何分布:对一般情形,一批产品共 N 件,其中有 M 件不合格品,随机取出的 n 件产品中,不合格品数 X 的 分布如下表所示:

X P

0
0 n CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

2
2 n ?2 CM CN ?M n CN

… …

l
l n ?l CM CN ?M n CN

r n ?r CM CN ?M 其中 l ? min(n, M ) 网一般地,若一个随机变量 X 的分布列为 P( X ? r ) ? , n CN

其 中 r ? 0 , 1 , 2 , 3 , … , l , l ? min(n, M ) , 则 称 X 服 从 超 几 何 分 布 , 记 为 X ? H (n, M , N ) , 并 将

r n ?r CM CN ?M 记为 H (r; n, M , N ) P( X ? r ) ? n CN ,

⑵ 超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取 n 件(1≤n≤a+b),则次品数 ξ 的分布列为
k n?k Ca Cb P(? ? k ) ? , k ? 0,1,2....n . n Ca ?b

⑶ 超几何分布与二项分布的关系: 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布。若放回式抽取,则 其中次品数 ? 的分布列可如下求得:把 a ? b 个产品编号,则抽取 n 次共有 (a ? b) n 个可能结果,等可能: (η ? k) 含
n ?k

C a b

k n

k

C k C n?k a k? a ? k 个结果,故 P(? ? k ) ? a n b ? Cn ( ) ?1 ? ? Ca ? b a?b ? a?b?

n?k

, k ? 0,1,2....n ,即 ? ~ B(n ?

a ) .(我们先为 k a?b

个次品选定位置,共 C k n 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法)可以证明:当产品总数很 大而抽取个数不多时, P (ξ ? k) ? P (η ? k) ,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 1. 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每 球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和.(1)求 X 的分布列;(2)求 X 的数学期望 E(X).

2. 一盒零件中有 9 个正品和 3 个次品,每次取一个零件,如果取出的次品不再放回,求在取得正品前已取出的次品数 X 的概率分布。

3. 一批产品共 10 件,其中 7 件正品,3 件次品,每次从这批产品中任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取得 正品时所需次数 ? 的概率分别布. (1) 每次取出的产品不再放回去; (2) 每次取出的产品仍放回去; (3) 每次取出一件次品后,总是另取一件正品放回到这批产品中.

二、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ? x1 x2 P
p1 p2



xi



pi … … 则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变

量取值的平均水平. ξ 0 1 2. ⑴ 随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望: E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b P q p ①当 a ? 0 时, E (b) ? b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a ? 1 时, E (? ? b) ? E? ? b ,即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数的和. ③当 b ? 0 时, E (a? ) ? aE? ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵ 单点分布: E? ? c ?1 ? c 其分布列为: P(? ? 1) ? c . ⑶ 两点分布: E? ? 0 ? q ? 1? p ? p ,其分布列为: ( p + q = 1) ⑷ 二项分布: E? ? ⑸ 几何分布: E? ?

? k ? k!(n ? k )! p
1 p

n!

k

?q n ? k ? np 其分布列为 ? B(n, p) .(P 为发生 ? 的概率)

其分布列为 ? ~ q(k , p) .(P 为发生 ? 的概率)

3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义 : 当 已 知 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P(? ? x k ) ? p k (k ? 1,2, ?) 时 , 则 称
D? ? ( x1 ?E? ) 2 p1 ?( x 2 ?E? ) 2 p 2 ? ? ? ( x n ?E? ) 2 p n ? ? 为

ξ 的方差. 显然 D? ? 0 , 故 ?? ? D? . ?? 为 ξ 的根方差或标准差.随机变量 ξ

的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动,集中与离散的程度. D ? 越小,稳定性越高,波动越小 . ............. . 4. 方差的性质. ⑴ 随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? .(a、b 均为常数) ⑵ 单点分布: D? ? 0 其分布列为 P(? ? 1) ? p ⑶ 两点分布: D? ? pq 其分布列为: ( p + q = 1) ⑷ 二项分布: D? ? npq ⑸ 几何分布: D? ?
q p2

ξ P

0 q

1 p

5. 期望与方差的关系. ⑴ 如果 E? 和 E? 都存在,则 E (? ? ? ) ? E? ? E? ⑵ 设 ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量,则 E (?? ) ? E? ? E? , D(? ? ? ) ? D? ? D? ⑶ 期望与方差的转化: D? ? E? 2?(E? ) 2 ⑷ E (? ? E? ) ? E (? ) ? E ( E? ) (因为 E? 为一常数) ? E? ? E? ? 0 . 三、正态分布 1. ⑴正态分布与正态曲线:如果随机变量 ξ 的概率密度为: f ( x) ?
1 2? ? e
? ( x?? )2 2? 2

. ( x ? R, ? , ? 为常数,且 ? ? 0 ) ,称

ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. f ( x) 的表达式可简记为 N (?,? 2) ,它的密度曲线简称为正态曲线 . ▲
y S

⑵正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? ) ,则 ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? .
2 2

⑶正态曲线的性质. a ①曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. 标准正态分布曲线 ②曲线关于直线 x ? ? 对称. S阴=0.5 Sa=0.5+S ③当 x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线, 向 x 轴无限的靠近. ⑤当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散; ? 越小,曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越集中.

x

3. ⑴“3 ? ”原则: 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) , 接受统计假设. N (?,? 2) .②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) .③做出判断: 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设. ⑵“3 ? ”原则的应用:若随机变量 ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7 % 亦即落在
( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态

分布). 四、解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 (1) 明确随机变量可能取哪些值; (2) 结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值; (3) 根据分布列和期望、方差公式求解. 五、常考题型 题型一 与超几何分布有关的离散型随机变量的分布列与期望 1. 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种 子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1) 设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”,求事件 A 发生的概率; (2) 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

2. 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片, 其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3, 从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;(2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列(注: 若三个数 a , b, c 满足 a ? b ? c ,则称 b 为这三个数的中位数).

题型二 与互斥、独立事件有关的离散型随机变量的分布列与期望 1. 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比 2 1 赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 3 (1) 求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2) 记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望).

2. 一次考试共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一 个选项,答对得 5 分,不答或答错得零分”.某考生已确定有 8 道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断 两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生: (1) 得 60 分的概率;(2) 所得分数 ξ 的分布列和均值.

3. 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比 赛,假设每局甲获胜的概率为

2 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 3

(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望).

4. 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别是

2 3 和 . 现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新 3 5

产品 B. 设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获得利润 100 万元. 求 该企业可获利润的分布列和数学期望.

题型三 与统计交汇的离散型随机变量的分布列与期望 1. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的 频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1) 求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; (2) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E(X)及方差 D(X).

2. 如图,是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图. (1) 求直方图中 x 的值; (2) 若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看做有放回的抽样),求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的 分布列和均值。

针对练习 1. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子 的外观完全相同,从中任意选取 3 个. (1) 求三种粽子各取到 1 个的概率; (2) 设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.

2. 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的 球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: (Ⅰ)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; (Ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标 有面值 20 元和 40 元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对 均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

3. 某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生, 两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人.女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列和数学期 望.

4. 某市目前提出,要提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,努力实现“幸福全市”的共建共享.现 随机抽取 50 位市民,对他们的幸福指数进行统计分析,得到如下分布表: 幸福级别 非常幸福 幸福 不知道 不幸福 90 60 30 0 幸福指数(分) 19 21 7 3 人数(个) (1)求这 50 位市民幸福指数的数学期望(即平均值); (2)以这 50 人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任选 3 人,记 χ 表示 抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民的人数.求 χ 的分布列; (3)从这 50 位市民中,先随机选一个人,记他的幸福指数为 m,然后再随机选另一个人,记他的幸福指数为 n, 求 n<m+60 的概率 P.

5. 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检 测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单 位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望).

6. 乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C, D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其 1 1 他情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的 2 3 1 3 来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次 5 5 回球互不影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和 X 的分布列与数学期望.

7. 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品 做检验,以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1 件是合格的概率; (2)若厂家发给商家 20 件产品中,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件。都进行检验,只有 2 件都合 格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 ? 的分布列及期望 E? ,并求出该商家拒收这批产品 的概率。

8. 某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正
2 4 3 5 5 5 确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手被淘汰的概率; (2)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

9. 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款, 其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (1)求事件 A :“购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P ( A) ; (2)求? 的分布列及期望 E? .

10. 若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等). 在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数, 且只能抽取一次. 得 分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整 除,得-1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (1) 写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (2) 若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X).


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