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2014届高三文科数学平面向量一轮复习教学案


利辛高级中学 2014 届高三数学文科一轮复习复习教学案

平面向量精讲精练
基础知识: 1、向量: (1)概念:既有又有的量叫做向量

林立

(2)表示:可以用有向线段来表示,包含三个要素:、和;记为 AB 或 a (3)模: AB 的长度叫向量的模,记为 | AB | 或 | a | (4)零向量:零向量

的方向是任意的单位向量是____________的向量. (5)相等向量:的向量叫相等向量; (6)共线向量:的向量叫平行向量,也叫共线向量 2、向量运算的两个法则: 加法法则: (1)平行四边形法则,要点是:统一起点; (2)三角形法则,要点是:首尾相接; 减法法则:向量减法运算满足三角形法则,要点是统一起点,从指向。

??? ?

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???? ?

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3、实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,其长度与方向规定如下: ? ? ? ? ? ? ? ? (1)| ? a | = | ? || a | ; (2)? > 0 时,? a 与 a 同向;? < 0 时,? a 与 a 反向; (3)? = 0 时,? a = 0 4、向量的线性运算满足: (1) ? ( ? a ) ? (2)( ? ? ? ) a =(3) ? ( a ? b) = 5、 a // b ? b ? ? a (a ? 0) 其中 ? ? R 且唯一 6.平面向量的实际背景及基本概念 从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,明确向量与数量的区别,理解向量的基本概念:向 量的模、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等, 7.平面向量的线性运算
(1)掌握向量的加减法运算,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和或差向量,

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(2)掌握实数与向量积的定义及几何意义;理解向量共线的充要条件。 8.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)平面向量的基本定理:_____________________________________________. (2)平面向量的坐标运算:_____________________________________________. 向量共线的两种判定方法 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y 2 ? , a∥b( b ? 0 ) ? a ? ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 向量垂直的两种判定方法 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y 2 ? , 则 a?b?a?b = 0; ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

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?

9.平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义:____________________________________________. (2)向量的数量积的几何意义:_____________________________________________. 10.平面向量的应用 能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题,如长度、角、距离,平行、垂直等问题。 高频考点一 平面向量的概念 例 1 下列命题中正确的是( ).

A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 训练 1 给出下列命题: → → ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;
1

利辛高级中学 2014 届高三数学文科一轮复习复习教学案 ②若 a=b,b=c,则 a=c;③a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ④若 a 与 b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是________. 高频考点二 平面向量的线性运算 ).

→ → → → → 例 2 在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD=( 2 1 5 2 2 1 A. b+ c B. c- bC. b- c 3 3 3 3 3 3 例 3 三角形 ABC 中,AB=3,A= 1 2 D. b+ c 3 3

? ,AD 是角 A 的平分线, 3

b c a

AD ?

? ? ? ? ? ? ? 训练 1 向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c ? ? a ? ? b ? ? , ? R ? ,则 ? . ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 训练 2 正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF ? ??? ? ???? ??? ? (A)0 (B) BE (C) AD (D) CF .
训练 3 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? __. 高频考三 共线向量定理及其应用 例 4 设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

1 AC ? ? AB ,AD=___________. 3

??? ???? ?

????

→ → 训练 3 已知 a,b 是不共线的向量,AB=λ a+b,AC=a+μ b(λ ,μ ∈R),那么 A,B,C 三点共线的 充要条件是( ).

A.λ +μ =2 B.λ -μ =1C.λ μ =-1 D.λ μ =1 高频考点四 平面向量基本定理的应用 → → → 例 5 如图所示,在△ABC 中,H 为 BC 上异于 B,C 的任一点,M 为 AH 的中点,若AM=λ AB+μ AC,则

AB AC → → → → λ +μ =________.若AM=λ AB+μ AC,若 λ =μ 直线 AM 过_______,若AM=λ ( )直线 ? AB
AM 过_______,(填“重心” “外心” “垂心” “内心”)

AC

→ → → 训练 1 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若AD=xAB+yAC,则 x=____,y=_.
2

利辛高级中学 2014 届高三数学文科一轮复习复习教学案 高频考点五 平面向量的坐标运算 → → → → → 例 6 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB.求 M,N 的坐标和MN.

→ → → 训练 1 在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=( A.(-2,-4) B.(-3,-5)C.(3,5) D.(2,4)

).

高频考点六 平面向量共线的坐标运算 例 7 已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方向相反? 训练 1 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( ).

?7 7? A.? , ? ?9 3?

7? ?7 7? ? 7 B.?- ,- ?C.? , ? 3 9? ?3 9? ?

7? ? 7 D.?- ,- ? 9 3? ?

训练 2 已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为 ( A. ? ,- ?

??? ?



?3 ?5

4? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?
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D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

训练 3 设向量 a, b 满足 | a |? 2 5, b ? (2,1), 且 a与b 的方向相反,则 a 的坐标为 . 训练 4 已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0 ? 1), c ? (k , 3) 。若 a ? 2b 与 c 共线,则 k =. 训练 5 已知向量 a ? ( 3 ,1) , b ? (0,?1) , c ? (k , 3 ) .若 a ? 2b 与 c 共线,则 k ? _________。 训练 6 已知向量 a ? (1,2) , b ? (1,0) , c ? (3,4) 。若 ? 为实数, (a ? ?b)∥c ,则 ? = 。

? ?

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?

1 C.1 D.2 2 ? ? ? ? k 训练 7 已知向量 a ? (1 k ) , b ? (9, ? 6) .若 a // b ,则实数 k ? __________ ,
A. B. 难点一 问题诊断 在平面几何图形中设置向量问题,是高考命题向量试题的常见形式,求解这类问题的常规 思路是:首先选择一组基向量,把所有需要的向量都用基向量表示,然后再进行求解. 防范措施 一是会利用平行四边形法则和三角形法则;二是弄清平面图形中的特殊点、线段等. → → → → → → 例 8 在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD·BE=________. → 试一试已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+ → 3PB|的最小值为________.
3

1 4

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高频考点七 求两平面向量的数量积 → → → → → → 例 9 在△ABC 中,M 是 BC 的中点,|AM|=1,AP=2PM,则PA·(PB+PC)=________. 方法总结: 当向量表示平面图形中的一些有向线段时,要根据向量加减法运算的几何法则进行转化, 把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本 定理、以及解三角形等知识. 训练 1 如图,

→ → 在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA·AB=________. 训练 2 已知向量 a ? (1, k ), b ? (2, 2), 且a ? b与a 共线,那么 a ? b 的值为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

训练 3 在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ? . 训练 4 已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为()

??? ???? ?

??? ?

??? ?

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

训练 5 设 e1 , e2 为单位向量.且 e1 , e2 的夹角为 为 ___________

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方向上的射影 3

训练 6 若向量 a ? (1,1), b ? (?1,2) ,则 a ? b 等于_____________. 训练 7 已知两单位向量 e1 ,e2 夹角为

?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ,若向量 b1 ? e1 ? 2e2 , b2 ? 3e1 ? 4e2 ,则 b1 ? b2 =___. 3

高频考点八 利用平面向量数量积求夹角与模 例 10 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ;(2)求|a+b|和|a-b|.

???? ??? ? 训练 1 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD· ? 1 , 则 AB 的为__. BE

训练 2 已知向量 a, b 满足 (a ? ?b) ? (a ? b) ? ?? ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为. 高频考点九 利用平面向量数量积求夹角与模 例 11 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
4

利辛高级中学 2014 届高三数学文科一轮复习复习教学案 (1)求 a 与 b 的夹角 θ ;(2)求|a+b|和|a-b|.

训练 1 已知 a 与 b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角.

? 2 ? ? ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于 1 , 1 ? 训练 2 若向量 a ?, ?b ?, 1
A. ?

? 4

B.

?
6

C.

?
4

D.

3? 4

训练 3 设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? y e2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角为 于________.

| x| ? ,则 的最大值等 6 |b|
1 ,则 α 2

训练 4 若平面向量 α、β 满足 | ? |? 1,| ? |? 1 ,且以向量 α、β 为邻边的平行四边形的面积为 和 β 的夹角 θ 的取值范围是____________________________。 训练 5 已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________ 高频考点十 平面向量的数量积与垂直问题 例 12 已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值;(2)若 a∥b,求|a-b|.

→ → → → 训练 1 已知平面内 A,B,C 三点在同一条直线上,OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),且OA⊥ → OB,求实数 m,n 的值.

训练 2 若向量 a , b, c 满足 a ∥ b 且 a ? c ,则 c ? (a ? 2b) ? A.4 B.3 C.2 D.0

训练 3 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数, 若向量 a ? b 与向量 ka ? b 垂直, k ? ___ . 则 2013全国文.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____. 训练 4 已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = ( ) A. ?4 B. ?3 C. ?2
5

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?

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D. -1

利辛高级中学 2014 届高三数学文科一轮复习复习教学案 → → → → 试一试 已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且AB·BC=6,设AB与BC的夹角为 θ . (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin θ +2sin θ ·cos θ +3cos θ 的最小值.
2 2

高频考点十一 平面向量的应用(解三角、函数、平面解析几何) → → → → → 例 13. 平面上有四个互异点 A、 C、 已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0, B、 D, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 ). ).

训练 1 已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是( A.4,0 B.16,0C.2,0 D.16,4 → ? → → ? → → → → ? AB + AC ?·BC=0 且 AB · AC =1,则 训练 2 在△ABC 中,已知向量AB与AC满足 → → ?|AB| |AC|? → → 2 |AB| |AC| ? ? △ABC 为( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形

→ → 训练 3 平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足OP·OA=4,则点 P 的轨迹方程是 ______________________________________. → 例 14 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC+ 1→ → 1→ PQ)·(PC- PQ)=0. 2 2 → → 2 2 (1)求动点 P 的轨迹方程;(2)若 EF 为圆 N:x +(y-1) =1 的任一条直径,求PE·PF的最值.

3→ → → → 训练 3 已知点 P(0, -3), A 在 x 轴上, Q 在 y 轴的正半轴上, M 满足PA·AM=0, =- MQ, 点 点 点 AM 2 当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程.

6

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例 15 若 a,b 是非零向量,且 a⊥b,|a|≠|b|,则函数 f(x)=(xa+b)·(xb-a)是( A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数 C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数

).

?x+y≥2, ? 例 16 已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1).若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ?y≤2 ?
→ → OA·OM的取值范围是( ). A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] A. 5 B. 2 5 D.[-1,2]

上的一个动点,则

???? ??? ? 训练 1 在四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为( )
C.5 D.10

基础训练 A 组 一、选择题

???? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? )A. AB B. DA C. BC D. 0 ?? ?? ? ? ? ? 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ) ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? A. a0 ? b0 B. a ? b ? 1 C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2 0 0
1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( 3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ; (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0

?

?

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?

? ?

?

?

?

?

b (4)若 a 与 b 平行,则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是(
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.下列命题中正确的是( )

? ?



A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|

B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2

? ? ? ? 5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? () A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4, 0



二、填空题
1 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。 ? ? ? ? 0 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ? 。
1.若 OA = ( 2,8) , OB = (?7,2) ,则 4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是___________。
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? ? ? ? 5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。
三、解答题

1.如图,? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点,G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a ,b 为 基底表示 DE 、 BF 、 CG .

??? ? ?
D

?

?

?

??? ?

??? ?

F G E B

C

? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。

A

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) k a ? b 与 a ? 3 b 平 行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

?

?

综合训练 B 组 一、选择题 1.下列命题中正确的是(

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? A. OA ? OB ? AB B. AB ? BA ? 0 C. 0 ? AB ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD ???? ???? 2.设点 A(2,0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,则点 P 的坐标为(
A. (3,1) B. (1, ?1) C. (3,1) 或 (1, ?1) D.无数多个 )





o 3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? (

A. (?3,6)

B. (3,?6)

C. (6,?3)

D. (?6,3)

4.向量 a ? (2,3) , b ? ( ?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于

?

?

? ?

?

?

1 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( ? ? 2? 5? A. B. C. D. 6 3 3 6 ? 1 ? 3 ? ? 6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( ) 2 3 0 0 0 0 A. 30 B. 60 C. 75 D. 45 二、填空题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 .
A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?



2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, 3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。
8

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 0 3.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值为
4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。
? ? ? ?

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??? ??? ??? ? ? ?

5.若 a = ( 2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。

三、解答题

1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

c b 3.设非零向量 a , b , c , d ,满足 d ? (a ? )b ? (a ? )c ,求证: a ? d

? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

4.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;

?

?

?

?

?

?

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?

提高训练 C 组 一、选择题 1.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( ) A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0 C. 2a ? b ? 3 D. a ? 2b ? 0
2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin ? ? , OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? ,则向量 P1 P2 长度的最大值是( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3 3.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1
0 4.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (

? ?

? ?


? ?

?

?

B. 10 C. 13 D. 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为( A.

A. 7



? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
9

利辛高级中学 2014 届高三数学文科一轮复习复习教学案 6.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. (4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3) ) D. (4,2) 或 (?4,?2)

二、填空题
?

1.已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是. 2.若 A(1, 2), B(2,3), C( ?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |? 。

?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a ? ? 5 ,则向量 b ? ______。 b 三、解答题

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c ? ? ? ? ? ? ? (2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相
1.已知 a , b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假. 反的一个向量.

? ? ? 1 3 ? ? 2 ? ? ? 2.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 x ? a ? (t ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 2 2 ? ? x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。

3.如图,在直角△ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

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2014年高考数学第一轮复习:平面向量
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2014第一轮高三复习_平面向量教案
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高三文科数学第一轮复习-平面向量
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高三文科数学第一轮复习_平面向量
高三文科数学一轮复习——平面向量复习讲义 高三文科数学一轮复习——平面向量复习讲义 ——平面向量复习一:若向量 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , ...
高三一轮复习平面向量复习教案
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文科2014届高三数学平面向量一轮重点难点复习精讲精练
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