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等比数列的概念及其通项公式


等比数列 的概念及其通项公式

一、新课引入
1、小故事:国际象棋源于古代印度,国王为奖 励发明者,答应他的任何要求,发明者说:“请 在棋盘的第一个格子放1颗麦粒,在第2个格子放 2颗麦粒,在第3个格子放4颗麦粒,在第4个格子 放8颗麦粒,依此类推,每个格子都是前面格子 的2倍,直到64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求。”你认为国王能满足他的

要求吗? 印度国王奖赏国际象棋发明者的实例,得 一个数列:

1,2,2 ,2 ,??,2

2

3

63

2、镭的半衰期是1620年如果从现在开始有的 10g镭开始,那么每隔1620年,剩余两依次为:

1 1 2 1 3 1 4 10 ,10 ? ,10 ? ( ) ,10 ? ( ) ,10 ? ( ) ,..... 2 2 2 2 3、某人年初投资10000元,如果年收益率是 5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依 次为:

10000 ?1.05,10000 ?1.05 ,
2

,10000 ?1.05

5

思考:与等差数列相比,上面的数列有什 么特点?

二、等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比 数列的公比,公比通常用字母q表示。

an?1 ?an ?中 , 始 终 有 ? q 在等比数列 an

例1 判断下列数列是否为等比数列:

(1)1,1,1,1,1;
(2)0,1,2,,4,8;

1 1 1 1 (3)1, ? , , ? , 2 4 8 16

例2 求出下列等比数列中的未知项:

(1)2, a,8;

1 (2) ? 4, b, c, 2
1~3

练习:课本 P48

三、等比数列的通项公式:
设 ?a n ? 是首项为a1,公比为q的等比数列,则有: a2 ? a1q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 ? a1 n ? n ?1 ? an ? a1q 或 an ? ? q 3? a4 ? a3 q ? a1q ? q ? ? 所以等比数列?a n ?的通项公式为:a n ? a1q 其中a1为首项,q为公比.
n ?1

?an ?中 , 例 3在 等 比 数 列
( 1 )已知 a1 ? 3, q ? ?2, 求a6 ; ( 2)已 知a3 ? 20, a6 ? 160, 求an .
a1 n 等比数列的图象:an ? ? q q 是经过指数函数纵向伸缩后

a1 x 图象上的孤立点,各点(n,a n )均在函数y= q 的图象上。 q 1 n n ?1 如:数列(1) : an ? 2 ? ? 2 (n ? 64, 且n ? N *) 2

例4、 在243和3中间插入3个数,使这5个 数成等比数列。
例5(1)在等比数列?an ?中,是否有 (2)如果数列?an ?中,对于任意的正整数 n(n ? 2), 都有 那么, ?an ? 一定是等比数列吗? an ? an ?1an ?1 (n ? 2),
2

an ? an ?1an ?1 (n ? 2) ?
2

关于等比中项: 如果在a、b中插入一个数G,使a、G、b 成 等比数列,则G是a、b的等比中项。
G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab a G

(注意两解,且同号两项才有等比中项)
例:2与8的等比中项为G,则 G2 =16 , 即:G=±4

等比数列的有关性质: 1、与首末两项等距离的两项积等于 首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等 于 这一项的平方。 2、若 m ? n ? p ? q ,则 a m an ? a p aq

例6 (1)、在等比数列

?an ?

,已知 ,求

(2)、在等比数列 ? bn ? 中,b4 求该数列前七项之积。

a9 a10 ? 100 a1 ? 5 ,

a18

?3

(3)、在等比数列{an }中,a2 ? ?2, a5 ? 54, 求a8

例7.下图是一个边长为1的正三角形,将每边 三等分,以中间一段为边向形外作正三角形, 并擦去中间一段,得图2,如此继续下去,得图 3……求第n个图形的边长和周长.

例8、已知无穷数列

10 ,10 ,10 ,??10

0 5

1 5

2 5

n ?1 5

,??

1 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 10

求证:(1)这个数列成等比数列。

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 判断一个数列是否成等比数列的方法: 1、定义法; 2、中项法; 3、通项公式法。

四、小结: 1.等比数列的概念及其通项公式

2.等比数列的两个性质
3.判断数列是否为等比数列的方法 五、练习:课本 P50 1--5

六、作业:
1.课本 P52 习题 2,4,7,8

2.课课练第6,7课时


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