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高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结


恒成立问题中含参范围的求解策略
数学中含参数的恒成立问题,几乎覆盖了函数,不等式、三角,数列、几何等高中数学的所有知识 点,涉及到一些重要的数学思想方法,归纳总结这类问题的求解策略,不但可以让学生形成良好的数学 思想, 而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的, 下面就几种常见的求解策略总结如下, 供大家参考。

一、分离参数——最值化
1 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即: a≥f(x)恒成立,只须求出 则 a≥ ;若 a≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则 a≤ 转化为函数求最值. 例 1 已知函数 f(x)= ,若任意 x∈[2 ,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围. 解 : 根据题意得 ,x+ ? 2>1 在 x ∈ [2 ,+ ∞ ) 上恒成立 , 即 a> ? f(x)=+3x .则 f(x)=? + ,当 x=2 时, +3x 在 x ∈ [2 ,+ ∞ ) 上恒成立 . 设 ,

=2 ,所以 a>2

2 在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边, 即:若 f(a)≥g(x)恒成立,只须求出 g(x)最大值 ,则 f(a)≥ 范围; :若 f(a)≤g(x)恒成立,只须求出 g(x)最小值 ,则 f(a)≤ 值范围.问题还是转化为函数求最值. 例 2 已知 x∈(? ∞ ,1]时,不等式 1+ 解 令 上恒成立,只须求出 f(t)= ∵f(t)= ∴ < = + = , ∴? <a< +(a? ) =t ,∵x∈(? ∞ ,1] ∴t∈(0 ,2].所以原不等式可化为 在 t∈(0 ,2]上的最小值即可. ? 又 t∈(0 ,2] ∴ ∈[ ) ∴ =f(2)= .然后解不等式求出参数 a 的取值 .然后解不等式求出参数 a 的取

>0 恒成立,求 a 的取值范围. < ,要使上式在 t∈(0 ,2]

1 1 m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 ? ? a ?b b?c a ?c 1 ? ? 1 ? 解析:由于 a ? c ,所以 a ? c ? 0 ,于是 m ? (a ? c)? ? 恒成立,因 ?a ?b b?c? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?b?c a ?b? (a ? c)? ? ? ? ? ? [(a ? b) ? (b ? c)]? ? ?1?1? ? ??2? ?a ?b b?c? ?a ?b b?c? ?a ?b b?c? b?c a?b 2 ? ? 4. a?b b?c (当且仅当 b ? c ? a ? b 时取等号) ,故 m ? 4 。
例 3 设a ? b ? c且

二、数形结合——直观化
对于某些不容易分离出参数的恒成立问题,可利用函数的图像或相应图形,采用数形结合的思想,直观 地反应出参数的变化范围。

例 4 设 f (x) ? (x ? 2k) 2 (x ? I k , I k 表示区间 (2k ? 1,2k ? 1]) ,对于任意正整数 k,直线 y ? ax 与 f ( x ) 恒 有两个不同的交点,求实数 a 的取值范围。 解析:作出 f (x) ? (x ? 2k) 2 在区间 (2k ? 1,2k ? 1] 上的图像,由图像知,直线 y ? ax 只能绕原点 O 从 x 正半轴旋转到过点 A(2k ? 1,1) 的范围,直线 AO 的斜率为 是0?a ?

1? 0 1 ? , 于是实数 a 的取值范围 2k ? 1 ? 0 2k ? 1

1 . 2k ? 1

例 5、当 x ? (1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求 a 的取值 y1=(x-1)2 范围。 y 分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数, y2=logax 图象是抛物线,右边为常见的对数函数的图象,故可以通过图象求 解。 1 2 解:设 y1=(x-1) ,y2=logax,则 y1 的图象为右图所示的抛物线, x 要使对一切 x ? (1,2),y1<y2 恒成立, 显然 a>1,并且必须也只需当 x=2 o 2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。 故 loga2>1,a>1,? 1<a ? 2. 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两个函数的图象,然后通过观 察两图象(特别是交点时)的位置关系,列出关于参数的不等式。
2

? 1? ? 3? ? 1? 解:由题意知: 3x2 ? loga x 在 x ? ? 0, ? 内恒成立, ? 3? 在 同 一 坐 标 系 内 , 分 别 作 出 函 数 y ? 3x2 和 y ? loga x
观 察 两 函 数 图 象 , 当 x ? ? 0, ? 时 , 若 a ? 1 函 数

例 6、若不等式 3x2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

1? 3? y ? loga x 的图象显然在函数 y ? 3x2 图象的下方,

? ?

所以不成立; 当 0 ? a ? 1 时,由图可知, y ? log a x 的图象必须过 点 ? , ? 或在这个点的上方,则, log a

?1 1? ?3 3?

1 1 ? 3 3

?a ?

1 27

?1 ? a ?

1 27

综上得: 1 ? a ?

1 27

三、变更主元——简单化
对含多个变量问题,有时变换主元与次元的位置,常能达到避繁就简的目的。 例 7 对于满足 ≤2 的所有实数 p,求使不等式 恒成立的 x 的取值范围. 分析:在不等式出现了两个字母 x 及 p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可 将 p 视作自变量,则上述问题可转化为在[-2 ,2]内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立问题. 解:原不等式可化为(x? 1)p+ ? 2x+1>0 .设 f(p)= (x? 1)p+ ? 2x+1,则 f(p)在[? 2 ,2] 上恒大 于 0,故有 即 解得

?1? 例 8 对于 a ? [?1,1] ,不等式 ? ? ?2? ?1? 解析:不等式 ? ? ?2? a ? [?1,1] 恒成立。
x 2 ? ax

x 2 ? ax

?1? ?? ? ?2?

2 x ? a ?1

恒成立,求实数 x 的取值范围。

?1? ?? ? ?2?

2 x ? a ?1

? 不 等 式 x 2 ? ax ? 2x ? a ? 1 即 (x ? 1) 2 ? ?a(x ? 1) 对 于

记 f (a) ? a(x ? 1) ? (x ? 1) 2 ,则问题转化为一次函数(或常数函数)在区间[-1,1]内恒为正的 x 应满足的条件。
2 ? ?( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 2. ? 2 ? ( x ? 1 ) ? ( x ? 1 ) ? 0 ? 故实数 x 的取值范围是 (??,0) ? (2,??).

?f (?1) ? 0 由? 得 ?f (1) ? 0

恒成立问题中含参范围的求解策略较多,但主要有以上三种常见方法,其实质是一种等价转化的思 想,可见,只要我们在解题中善于归纳和总结,就一定会积累更多的经验和方法,从而更好地提高我们 的解题能力。

四、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有

?a ? 0 ?a ? 0 ?? ?? . ? ? 0 ? ? 0 f ( x ) ? 0 f ( x ) ? 0 x ? R x ? R ? ? 1 对 恒成立 ; 2 对 恒成立 2 2 例 9.已知函数 y ? lg[ x ? (a ? 1) x ? a ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 解:由题设可将问题转化为不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,即有 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 1 1 解得 a ? ?1或a ? 。所以实数 a 的取值范围为 (?? ,?1) ? ( ,?? ) 。 3 3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
例 10.设 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 解:设 F ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立 当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立; 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为:

? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ? 综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。

y x

-1 O

x

五、分类讨论
在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思 想来解决。 例 3、若 x ?? ?2,2? 时,不等式 x ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

解:设 f ? x ? ? x ? ax ? 3 ? a ,则问题转化为当 x ?? ?2, 2? 时, f ? x ? 的最小值非负。
2

(1) 当 ?

a 7 ? ?2 即: a ? 4 时, f ? x ?min ? f ? ?2? ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又 a ? 4 所以 a 不存在; 2 3 a a2 ? a? ? 2 即 : ?4 ? a ? 4 时 , f ? x ?m i n? f ? ? ? ? 3 ? a ? ? 0 ??6 ? a ? 2 2 4 ? 2?


(2) 当 ?2 ?

?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2 a (3) 当 ? ? 2 即: a ? ?4 时, f ? x ?min ? f ? 2? ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 又 a ? ?4 ??7 ? a ? ?4 2 综上所得: ?7 ? a ? 2

六、利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关系来求解, 即: ? m, n ? ? ? ? f ? a ? , g ? a ?? ? ,则 f ? a ? ? m 且 g ? a ? ? n ,不等式的解即为实数 a 的取值范围。

?1 ? ?3 ? 解:? ?1 ? loga x ? 1

例 5、当 x ? ? ,3 ? 时, loga x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。

?a ? 3 1 ? ?1 ? ? 1 ? (1) 当 a ? 1 时, ? x ? a ,则问题转化为 ? ,3 ? ? ? , a ? ? ? 1 1 a ? ?3 ? ?a ? ? ?a 3

?a ? 3

1 ? a? ? 1 1 ?1 ? ? 1? ? 3 ?0 ? a ? (2) 当 0 ? a ? 1 时, a ? x ? ,则问题转化为 ? ,3 ? ? ? a, ? ? ? a 3 ? 3 ? ? a ? ?1 ? 3 ? ?a
综上所得: 0 ? a ?

1 或a ? 3 3

易混题
㈠、能成立问题

f ? x ?max ? A 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 ;

f ? x ?min ? B 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 .
例 1、已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围______(答:

a ? 1)
例 2、若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是
2

第二个填空是不等式能成立的问题. 设 f ?x? ? x ? ax ? a .则关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集
2
2



不是空集 ? f ?x ? ? ?3 在 ?? ?,??? 上能成立 ? f min ?x ? ? ?3 , 即 f min ?x ? ? ?

4a ? a 2 ? ?3, 解得 a ? ?6 或 a ? 2 4 1 2 例 3、已知函数 f ?x ? ? ln x , g ? x ? ? ax ? bx , a ? 0 . 若 b ? 2 ,且 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 存在单调递 2
减区间,求 a 的取值范围; 分析及解只研究第(I)问. b ? 2时, h( x) ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 2 ax ? 2 x , 2

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . x x 因为函数 h ? x ? 存在单调递减区间,所以 h?( x) ? 0 有解.
由题设可知, h?x ? 的定义域是 ?0,??? , 即a ? 而 h??x ? ? 0 在 ?0,??? 上有解,就等价于 h??x ? ? 0 在区间 ?0,??? 能成立,

1 2 1 2 ? , x ? ?0,???成立, 进而等价于 a ? umin ?x? 成立,其中 u ? x ? ? 2 ? . 2 x x x x
2

1 2 ?1 ? ? ? ? ? 1? ? 1 得, u min ?x ? ? ?1 .于是, a ? ?1 , x2 x ? x ? 由题设 a ? 0 ,所以a的取值范围是 ?? 1,0? ? ?0,???
由 u ?x ? ?

例 4、不等式 kx ? k ? 2 ? 0 有解,求 k 的取值范围。
2 2 解:不等式 kx ? k ? 2 ? 0 有解 ? k ( x ? 1) ? 2 有解

2

?k?

? 2 ? 2 ?k ?? 2 ? ?2 ? x ? 1 ?max x 2 ? 1 有解 ,

2) 。 所以 k ? (??,
例 5、对于不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a ,存在实数 x ,使此不等式成立的实数 a 的集合是 M ;对于任意

x ? [0, 5] ,使此不等式恒成立的实数 a 的集合为 N ,求集合 M,N . ??2 x ? 1( x ? ?1), ? 解:由 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? ?3(?1 ≤ x ≤ 2), ?2 x ? 1( x ? 2). ? M ? {a a ? 3} ? a ? f ( x)min ? 3 a ? f ( x)
又 有解 ,所以 . 令 g ( x)

? x ? 2 ? x ?1,x ?[0,, 5] a ? g ( x)

恒成立

? a ? g ( x)max ? g (5) ? 9 .

所以 ㈡、恰好成立

N ? {a a ? 9}
x 2 ? 2x ? a , 当 x ? ?1,???, f ?x ? 的值域是 ?0,??? ,试求实数 a 的值.(最值法) x

例 6、已知 f ?x ? ?

. 第(Ⅱ问是一个恰成立问题,

x 2 ? 2x ? a ? 0 的解集是 x ? ?1,??? . x 当 a ? 0 时,由于 x ? 1 时, x 2 ? 2x ? a a f ?x ? ? ? x ? ? 2 ? 3 ,与其值域是 ?0,??? 矛盾, x x 2 x ? 2x ? a a ? x ? ? 2 是 ?1,??? 上的增函数, 当 a ? 0 时, f ?x ? ? x x 所以, f ?x ? 的最小值为 f ?1? , 令 f ?1? ? 0 ,即 1 ? a ? 2 ? 0, a ? ?3.
这相当于 f ? x ? ? 例 7、已知两函数 f(x)=8x +16x-k,g(x)=2x +5x +4x,其中 k 为实数。 (1)对任意 x ? [-3,3],都有 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (2)存在 x ? [-3,3],使 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (3)对任意 x1、x2 ? [-3,3],都有 f(x1)≤g(x2),求 k 的取值范围。 2 2 解析: (最值法) (1)设 h(x)=g(x)-f(x)=2x -3x -12x+k,问题转化为 x ? [-3,3]时,h(x)≥0 恒成 2 立,故 h min (x)≥0.令 h′ (x)=6x -6x-12=0,得 x= -1 或 2。 (2)据题意:存在 x ? [-3,3],使 f(x)≤g(x)成立,即为:h(x)=g(x)-f(x)≥0 在 x ? [-3,3] 有解,故 h max (x)≥0,由(1)知 h max (x)=k+7,于是得 k≥-7。 由 h(-1)=7+k,h(2)=-20+k,h(-3)=k-45,h(3)=k-9,故 h min (x)=-45+k,由 k-45≥0,得 k≥45.
2 3 2

(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意 x1,x2 ? [-3,3],都有 f(x1)≤g(x2)成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,x1,x2 的取值在[-3,3]上具有任意性,因而 要使原不等式恒成立的充要条件是:

2 f max ( x) ? g min ( x)? ,? x ? [?3? ,3] , 由 g ′ (x)=6x2+10x+4=0 , 得 x=- 3 或 -1 , 易 得 ,3] . 故 f max ( x) ? f (3) ? 120? k. 令 120-k≤ g min ( x) ? g (?3) ? ?21,又 f(x)=8(x+1)2-8-k, x ?[?3?
-21,得 k≥141。 点评:本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加 训练,准确使用其成立的充要条件。


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