定三角函数图形变换第1课时

1.5 y=Asin(?x+?)+b 的图象

复习 y ? sin x, x ?[0,2? ]的图象
? 3? 关键点: (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), ( 2? ,0) 2 2 y 1
O 1
?
2

?

3? 2

2?<

br />
x

? y ? sin(x ? ) 3
x
x?

的图象 五点法作图

?

?

?
6
? 2
1

?
3 ?
3 )

3

2? 3
?
0

7? 6
3? 2
-1

5? 3
2?
0

0
0

sin( x ?

y 1
O 3 1
? 6
?
2

?

?

2? ? 3

7? 6

3? 2

5? 3

2?

x

例1:探 究y ? sin( x ? ), y ? sin( x ? )与 3 6 y ? sin x 的图象关系.

?

?

y ? y ? sin( x ? ) 1
3

y ? sin x

?

?
2

O
?

? y ? sin( x ? ) 6

?
3

? ? 2
6 2 3

?

?

3? 5? 2? 13? x 2 3 6

－1

y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1
? y ? sin( x ? ) 3 函数

的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有
?
3

的点向左平行 移动

个单位而得到的。

结论：函数y=sin(x+?)图象:
函数 y=sin(x+?)的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或向右(当 ?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.

y=sinx

所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移
| ? | 个单位

y=sin(x+?)

?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

图象变换法则：
1.左右平移变换：
将y?
y ? f ( x) ? y ? f ( x ? ? )

f ( x) 的图象向左或向右平移 ?

个单位得到 y ? f ( x ? ? )

y ? f ( x)

所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移
| ? | 个单位

y ? f (x ? ?)

记忆技巧：左加右减

思考：画出函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin 1 x 的图象。

2

x

0
0

?
?
4 2

?
2

2x
y 1
O -1
? 4

?

3? ? 4 3? 2? 2

x
1 x x 2
sin

0 0 0

? 2? 3? 4? ? ? 3? 2?
2 2

sin 2 x 0

1

0 ?1 0

1

2

x

1

0 ?1

0

? 2

3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? sin 2 x

y ? sin x

1 y ? sin x 2

间的变化关系. y 1

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2

O

?
2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

结论：函数y=sin?x(?>0)图象:
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.

y=sinx

所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

?决定函数的周期: T ?

2?

?

图象变换法则：
2.水平伸缩变换：
y ? f ( x) ? y ? f (? x)(? ? 0)

纵坐标不变,横坐标伸缩到原来的1/?倍.
所有的点横坐标伸缩 到1/?倍 纵坐标不变

y ? f ( x)

y ? f (? x)(? ? 0)

记忆技巧：横坐标伸缩1/?倍

思考:作下列函数图象: 1 y ? 2 sin x y ? sin x 2
y 2 1 O -1 -2
? 2

x sinx 2sinx
1 si nx 2

0 0 0 0

?
2
1

3? ? 2? 2
0

?1

0 0 0

2
1 2

0 ?2
1 0 ? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

结论：函数y=Asinx(A>0)图象:
函数 y=Asinx 的图象可以看作是把y=sinx的图 象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当 0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍

y=sinx

横坐标不变

y=Asinx

A的大小决定这个函数的最大(小)值

图象变换法则：
3.竖直伸缩变换：
y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0)

横坐标不变,纵坐标伸缩到原来的A倍.
所有的点纵坐标伸缩 到A倍 横坐标不变

y ? f ( x)

y ? Af ( x)( A ? 0)

记忆技巧：纵坐标伸缩A倍

思考:作下列函数图象:

x sinx

0 0

?
2
1

y ? sin x ? 1 y ? sin x ? 1
y 2 1 O -1 -2
? 2

3? ? 2? 2
0
1

?1
0

0
1

Sinx+ 1 1
sin x ? 1 ?1

2
0

?1 ?2 ?1

y ? sin x ? 1
?
3? 2

2?

x

y ? sin x ? 1

y ? sin x

结论：函数y=sin(x)+b图象:
函数 y=sin(x)+b的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向上(当b>0时)或向下(当 b<0时)平行移动|b|个单位而得到的.

y=sinx

所有的点向上(b >0) 或向下(b <0)平移 | b | 个单位

y=sin(x)+b

b的变化引起图象位置发生变化(上加下减)

图象变换法则：
4.上下平移变换：
将y?
f ( x) 的图象向上或向下平移 b

y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b

个单位得到 y ? f ( x) ? b

y ? f ( x)

所有的点向上(b >0) 或向下(b <0)平移 | b | 个单位

y ? f ( x) ? b

记忆技巧：上加下减

图象变换法则：
y ? f ( x) ? y ? f ( x ? ? ) 1.左右平移变换：

左加右减 | ? |
y ? f ( x) ? y ? f (? x)(? ? 0) 2.水平伸缩变换：

横坐标伸缩1/?倍
y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 3.竖直伸缩变换：

纵坐标伸缩A倍
y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b 4.上下平移变换： 上加下减

如何由 y ? sinx 变换得 y ? 3 si n ( 2 x ? )的图象？ 3 ? , ω, A 方法1:(按 顺序变换)
y 3 2 1
?

?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6

? ??
3

o
-1

6

?

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y ? sin( x ? ) 3

y ? sin x

y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

如何由 y ? sinx 变换得 y ? 3 si n ( 2 x ? )的图象 3 方法2:(按 ω,? , A 顺序变换) y ? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 3 2 ? y ? sin( 2 x ? ) 3 1
?

?

? ??
3

o
-1

6

? 6

? 3

2 5? 7 ? ? 12 3 6

?

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2 -3

y ? sin x ? ? ? ? y ? sin( 2 x ? ) ? sin ?2( x ? )? 3 6 ? ?
y ? sin 2 x

y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω,? , A 顺序变换)
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

? 练习：函数y = 3cos(x+ 4 )图象向左平移 ? 3个单位所得图象的函数表达式为 _____

5? 思考：函数y = sin2x图象向右平移 12 个

7? 答案：y ? 3cos( x ? ) 12

单位所得图象的函数表达式为______ 5?
答案：y ? sin(2 x ? 6 )

当堂练习：

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. ? 5
(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5
(2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

?

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

?
6

?
3

?
3