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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练55 抛物线 理 北师大版


计时双基练五十五

抛物线

A 组 基础必做 9 1.(2016?淮北模拟)两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 5,且 a>b,则抛 2 物线 y =- x 的焦点坐标为(
2

b a

)

? 5 ? A.?- ,0? ? 16 ? ? 1 ? C.?- ,0? ? 5 ?
解析

?1 ? B.? ,0? ?5 ? ? 2 ? D.?- ,0? ? 5 ?

9 由 两 个 正 数 a , b 的 等 差 中 项 是 , 等 比 中 项 是 2 5 , 且 a>b 可 得 2

?a+b=9, ? ?ab=?2 5?2,
解得?
? ?a=5, ?b=4。 ?

4 2 抛物线的方程为 y =- x, 5

? 1 ? 故焦点坐标为?- ,0?。 ? 5 ?
答案 C 2.(2015?辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y =2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中 点 C 的横坐标是( A.2 C. 3 2 ) B. D. 1 2 5 2
2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又 p=1,所以 x1+x2=3,所 以点 C 的横坐标是 答案 C 3.(2015?浙江卷)如图, 抛物线 y =4x 的焦点为 F, 不经过焦点的直线上有三个不同的 点 A,B,C, 其中点 A,B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
2

x1+x2 3
2

= 。 2

1

A. C.

|BF|-1 |AF|-1 |BF|+1 |AF|+1

B. D.

|BF| -1 2 |AF| -1 |BF| +1 2 |AF| +1
2

2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则 |BC| x2 |BF|-1 = = = ,故选 A。 |AC| x1 |AF|-1 答案 A

S△BCF S△ACF

4.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) )

2

解析 抛物线的准线方程为 y=-2,焦点 F 的坐标为(0,2)。 ∵以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交, ∴|FM|>4。据抛物线的定义知:|FM|=2+y0, ∴2+y0>4,∴y0>2。 答案 C 5.已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一 → → 个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( A. 7 5 B. 2 2 D.2 )
2

C.3

→ → 解析 过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′,因为FP=4FQ,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦 点 F 到准线 l 的距离为 4,所以|QF|=|QQ′|=3。故选 C。

答案 C 6.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px(p>0)的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. 1 2 B. 2 3 )
2

2

C.

3 4

D.

4 3
2

解析 由题意可知准线方程 x=- =-2,∴p=4,∴抛物线方程为 y =8x。由已知易 2 得过点 A 与抛物线 y =8x 相切的直线斜率存在,设为 k,且 k>0,则可得切线方程为 y-3 =k(x+2)。联立方程?
? ?y-3=k?x+2?, ?y =8x, ?
2 2

p

消去 x 得 ky -8y+24+16k=0。(*)

2

1 由相切得 Δ =64-4k(24+16k)=0,解得 k= 或 k=-2(舍去),代入(*)解得 y=8, 2 把 y=8 代入 y =8x,得 x=8,即切点 B 的坐标为(8,8),又焦点 F 为(2,0),故直线 BF 的 4 斜率为 。 3 答案 D 7.(2016?厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切, 则此动圆必过定点________。 解析 因为动圆的圆心在抛物线 y =4x 上, 且 x=-1 是抛物线 y =4x 的准线, 所以由 抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0)。 答案 (1,0) 8.(2016?郑州模拟)设斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y =ax(a>0)的焦点 F,且和 y 轴交 于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 8,则 a 的值为________。
2 2 2 2 2

a a 1 a a ?a ? 解析 依题意,有 F? ,0?,直线 l 为 y=x- ,所以 A0,- ,△OAF 的面积为 ? ? 4 4 4 2 4 4 ? ?
=8。解得 a=±16,依题意,只能取 a=16。 答案 16 9. (2015?陕西质检)已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点, 若抛物线 y =2x 的焦点为
2

F,点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是________。
1 解析 抛物线的准线方程为 x=- , 2 当 MQ∥x 轴时,|MQ|-|QF|取得最小值, 此时点 Q 的纵坐标 y=2,代入抛物线方程 y =2x 得 Q 的横坐标 x=2,则|QM|-|QF|=
2

? 1? 5 |2+3|-?2+ ?= 。 ? 2? 2
答案 5 2

10.如图所示, 抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点, 点 P(1,2), A(x1, y1), B(x2,

y2)均在抛物线上。
3

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率。 解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0)。
2 2

∵点 P(1,2)在抛物线上,∴2 =2p?1,解得 p=2。 故所求抛物线的方程是 y =4x,准线方程是 x=-1。 (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则
2

y1-2 y2-2 kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1), x1-1 x2-1
∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB, 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y1=4x1,①
2

y2 2=4x2,②


y1-2 y2-2 =- ,∴y1+2=-(y2+2)。 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

∴y1+y2=-4。 由①-②得,y1-y2=4(x1-x2), ∴kAB=
2 2

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2)。 x1-x2 y1+y2

1 11. (2015?浙江卷)如图, 已知抛物线 C1: y= x2, 圆 C2: x2+(y-1)2=1, 过点 P(t,0), 4 (t>0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点。

(1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积。 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛 物线相切,称该公共点为切点。 解 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t),

4

y=k?x-t?, ? ? 由? 1 2 y= x ? ? 4

消去 y,整理得:x -4kx+4kt=0,

2

由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t。 因此,点 A 的坐标为(2t,t )。 设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,
2

y0 x0 ? ? =- +1, 2t 故? 2 ? ?x0t-y0=0,
2t x= ? ? 1+t , 解得? 2t y= ? ? 1+t 。
0 2 2 0 2

因此,点 B 的坐标为?

? 2t 2, 2t 2?。 ? ?1+t 1+t ?
2 2

2

(2)由(1)知|AP|=t? 1+t 和直线 PA 的方程 tx-y-t =0。 点 B 到直线 PA 的距离是 d=

t2
1+t
2


3

1 t 设△PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|?d= 。 2 2 B 组 培优演练 1.(2015?吉林省实验中学高三模拟考试)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直 线依次交抛物线及准线于点 A、 B、 C, 若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3, 则抛物线的方程为( )
2

3 2 A.y = x 2 9 2 C.y = x 2

B.y =9x D.y =3x
2

2

解析 过 A、B 作准线的垂线,垂足分别为 A1、B1,

5

∵|BC|=2|BF|,又由抛物线定义知,|BF|=|BB1|, ∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°, 又∵|AF|=3,∴|AA1|=3, 在 Rt△CA1A 中,|AC|=2|AA1|=6, ∴|FC|=|AC|-|AF|=3, 1 3 在 Rt△CDF 中,|FD|= |CF|= , 2 2 3 2 即 p= ,∴抛物线方程为 y =3x。 2 答案 D → → → → 2 2.已知 A,B,C,D 是抛物线 y =8x 上的点,F 是抛物线的焦点,且FA+FB+FC+FD= → → → → 0,则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|的值为( A.2 C.8 ) B.4 D.16

→ → → → 解析 取特殊位置,AB,CD 为抛物线的通径,显然FA+FB+FC+FD=0, → → → → 则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|=4p=16。 答案 D → → 2 3.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA?OB= 2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 C. 17 2 8 B.3 D. 10 )

解析 解法一:设 AB 所在直线方程为 x=my+t。 由?
?my+t, ? ? ?y =x,
2 2

消去 x,得 y -my-t=0。
2

2

设 A(y1,y1),B(y2,y2)(不妨令 y1>0,y2<0), 故 y1+y2=m,y1y2=-t。 → → 2 2 而OA?OB=y1y2+y1y2=2。
2 2

6

解得 y1y2=-2 或 y1y2=1(舍去)。 所以-t=-2,即 t=2。 所以直线 AB 过定点 M(2,0)。 1 而 S△ABO=S△AMO+S△BMO= |OM||y1-y2|=y1-y2, 2

S△AFO= |OF|?y1= ? y1= y1,
1 9 故 S△ABO+S△AFO=y1-y2+ y1= y1-y2。 8 8 9 9 由 y1-y2= y1+(-y2)≥2 8 8 9 y1??-y2?=2 8 9 ?2=3, 8

1 2

1 1 2 4

1 8

9 4 当 y1=-y2,即当 y1= 时,得 S△ABO+S△AFO 的最小值为 3,故选 B。 8 3 1 1 1 解法二:设 A(x1, x1),B(x2,- x2),则 S△AFO= ? x1= x1。 2 4 8 → → 由OA?OB=2 得 x1x2- x1x2=2, 即 x1x2- x1x2-2=0,解得 x1x2=4, → → 2 2 2 2 2 所以(|OA|?|OB|) =(x1+x1)(x2+x2)=x1x2+x1x2(x1+x2)+x1x2=20+4(x1+x2), → → OA?OB 因为 cos ∠AOB= , → → |OA||OB| 所以 sin ∠AOB = 1-cos ∠AOB=
2

→ ? → OA?OB ? ?2 , 1-? → ? ?|→ ? OA||OB|?

1 → → 所以 S△AOB= |OA||OB|sin ∠AOB 2 1 → → = |OA||OB| 2 = = = 1 2 → ? → OA?OB ? ?2 1-? → ? ?|→ ? OA|?|OB|?

→ → 2 → → ?|OA|?|OB|? -?OA?OB?2

1 16+4?x1+x2?= 4+?x1+x2? 2

x1+4+ = x1+ , x1 x1

4

2

9 2 所以 S△ABO+S△AFO= x1+ 8 x1
7

≥2 当

9 2 x1? =3, 8 x1

9 2 16 x1= ,即 x1= 时取等号,故选 B。 8 9 x1

答案 B 1? ? 4.(2015?长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中,点 M?2,- ?,点 F 为抛物线 C:y= 2? ?

mx2(m>0)的焦点,线段 MF 恰被抛物线 C 平分。
(1)求 m 的值; (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,设直线 FA,FM,FB 的斜率分别为 k1,k2,

k3,问 k1,k2,k3 能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线 l 的方程;若不能,请说明
理由。 解 线 C 上, ∴ 1 1 2 - =m,8m +2m-1=0, 8m 4 1? 1 1? ? ? (1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为?0, ?, 线段 MF 的中点 N?1, - ?在抛物 ? 4m? ? 8m 4?

1 1? ? ∴m= ?m=- 舍去?。 2 4? ? (2)由(1)知抛物线 C:x =4y,F(0,1)。 1 设直线 l 的方程为 y+ =k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2), 2 1 ? ?y+ =k?x-2?, 由? 2 ? ?x2=4y
2

得 x -4kx+8k+2=0,

2

2- 6 2+ 6 2 Δ =16k -4(8k+2)>0,∴k< 或 k> 。 2 2 由根与系数的关系得?
? ?x1+x2=4k, ?x1x2=8k+2, ?

假设 k1,k2,k3 能成公差不为零的等差数列,则 k1+k3=2k2。 而 k1+k3= +

y1-1 y2-1 x2y1+x1y2-x2-x1 + = x1 x2 x1x2 x1x2

x2x2 x1x2 1 2
= 4

x1x2

? -x2-x1 ? ? 4 -1??x1+x2? 4 ? ? =
x1x2

8



?8k+2-1??4k ? 4 ? 2 4k -k ? ?
8k+2 = 4k+1



1 - -1 2 3 k2= =- , 2-0 4 ∴ 4k -k 3 2 =- ,8k +10k+3=0, 4k+1 2
2

1 3 解得 k=- 或 k=- (不舍题意,舍去)。 2 4 1 1 ∴直线 l 的方程为 y+ =- (x-2),即 x+2y-1=0。 2 2 ∴k1,k2,k3 能成公差不为零的等差数列,此时直线 l 的方程为 x+2y-1=0。

9


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