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高中数学必修5常考题型:不等关系与不等式


不等关系与不等式
【知识梳理】
1.不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示 它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 2.比较两个实数 a、b 大小的依据 文字语言 如果 a>b,那么 a-b 是正数; 如果 a<b,那么 a-b 是负数; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0, 反之亦然 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c. 推论(同向可加性): a>b? ??a+c>b+d; c>d ? 符号表示 a>b?a-b>0 a<b?a-b<0 a=b?a-b=0

(4)可乘性:

a>b? a>b? ??ac>bc; ??ac<bc; c>0 ? c<0 ? a>b>0? ??ac>bd; c>d>0 ?

推论(同向同正可乘性):

(5)正数乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N*,n≥1); n n (6)正数开方性:a>b>0? a> b(n∈N*,n≥2).

【常考题型】 题型一、用不等式(组)表示不等关系
【例 1】 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车,有 9 名 驾驶员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡 车每辆每天可往返 8 次,写出满足上述所有不等关系的不等式.

[解]

? ?10×6x+6×8y≥360, 设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆.由题意得?0≤x≤4, 0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N,
x+y≤9,

x+y≤9, ? ?5x+4y≥30, 即? 0≤x≤4,0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N. 【类题通法】 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系. (2)找出体现不等关系的关键词:“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超 过”等. 用代数式表示相应各量, 并用关键词连接. 特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“=” 能否取到. 【对点训练】 1.用不等式(组)表示下列问题中的不等关系: (1)限速 80 km/h 的路标; (2)桥头上限重 10 吨的标志; (3)某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%,蛋白质的含量 p 不少于 2.3%. 解:(1)设汽车行驶的速度为 v km/h, 则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨,则 ω≤10.
?f≤2.5%, ? (3)? ?p≥2.3%. ?

题型二、比较两数(式)的大小
【例 2】 比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x2+3 与 2x; (2)已知 a,b 为正数,且 a≠b,比较 a3+b3 与 a2b+ab2 的大小. [解] (1)(x2+3)-2x=x2-2x+3

=(x-1)2+2≥2>0,

∴x2+3>2x. (2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0,且 a≠b, ∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即 a3+b3>a2b+ab2. 【类题通法】 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差; (2)变形:对差进行变形; (3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号; (4)作出结论. 这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程:作差→变形→判断符号→结论, 其中变形是判断符号的前提. 【对点训练】 2.比较 x3+6x 与 x2+6 的大小. 解:(x3+6x)-(x2+6) =x3-x2+6x-6 =x2(x-1)+6(x-1) =(x-1)(x2+6) ∵x2+6>0. ∴当 x>1 时,(x-1)(x2+6)>0, 即 x3+6x>x2+6. 当 x=1 时,(x-1)(x2+6)=0, 即 x3+6x=x2+6. 当 x<1 时,(x-1)(x2+6)<0, 即 x3+6x<x2+6.

题型三、不等式的性质
【例 3】 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: e e > . a-c b-d

[证明] ∵c<d<0, ∴-c>-d>0, 又∵a>b>0, ∴a+(-c)>b+(-d)>0, 即 a-c>b-d>0, 1 1 ∴0< < , a-c b-d 又∵e<0, ∴ e e > . a-c b-d

【类题通法】 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础 上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件 或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 【对点训练】 3.已知 a>b,m>n,p>0,求证:n-ap<m-bp. 证明:∵a>b,又 p>0,∴ap>bp. ∴-ap<-bp, 又 m>n,即 n<m. ∴n-ap<m-bp.

【练习反馈】
1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 500 无,请瓦工共需付工资每人 400 元,现 有工人工资预算 20 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则工人满足的关系式是( A.5x+4y<200 C.5x+4y=200 B.5x+4y≥200 D.5x+4y≤200 )

解析:选 D 据题意知,500x+400y≤20 000,即 5x+4y≤200,故选 D. 2.若 x≠-2 且 y≠1,则 M=x2+y2+4x-2y 的值与-5 的大小关系是( A.M>-5 C.M≥-5 B.M<-5 D.M≤-5 )

解析:选 A M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5 =(x+2)2+(y-1)2,

∵x≠-2,y≠1, ∴(x+2)2>0,(y-1)2>0,因此(x+2)2+(y-1)2>0. 故 M>-5. 3.如果 a>b,那么 c-2a 与 c-2b 中较大的是________. 解析:c-2a-(c-2b)=2b-2a=2(b-a)<0. 答案:c-2b 4.若-10<a<b<8,则|a|+b 的取值范围是________. 解析:∵-10<a<8, ∴0≤|a|<10, 又-10<b<8, ∴-10<|a|+b<18. 答案:(-10,18) 5.(1)已知 x≤1,比较 3x3 与 3x2-x+1 的大小; 1 1 (2)若-1<a<b<0,试比较 , ,a2,b2 的大小. a b 解:(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x2+1). ∵x≤1,∴x-1≤0. 又 3x2+1>0, ∴(x-1)(3x2+1)≤0, ∴3x3≤3x2-x+1. (2)∵-1<a<b<0, ∴-a>-b>0, ∴a2>b2>0. ∵a<b<0, 1 1 ∴a· <b· <0, ab ab 1 1 即 0> > , a b 1 1 ∴a2>b2> > . a b


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