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(教师参考)高中数学 1.4 全称量词与存在量词课件1


第一章 常用逻辑用语

§1.4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有 什么关系? (1) X > 3 ;
(2)2x+1是整数;

(3)对所有的x?R,x >3;
(4)对任意一

个x?2x+1是整数.

短语“对所有的”, “对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 ”表示.含有全称 ?“ 量词的命题,叫做全称命题. 常见的全称量词有: “对所有的”, “对任意一个”, “对一 切”, “对每一个”, “任给”, “所有的” 等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。

符号

?x ? M , p( x)

全称命题 “对M中任意一个x有p(x) 成立”可用符号简记为

读作 “对任意x属于M,有p(x)成立”.

1.4.2 存在量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之 间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)X能被2和3整除;

(3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3;
(4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除.

常见的存在量词有:
“存在一个”,“至少有一个”,“有些”,

“有一个”,“有的”,“对某个”等. 短语 “存在一个”,“至少有一个”在 逻辑上通常叫做存在量词,并用符号“ ” 表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.

例如,命题:
有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定;

存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
有一些实数不能取对数.

特称命题”存在M中的一个x,使p(x)


立”可用符号简记为

?x 0 ? M , p( x 0).

读作“存在一个x0,使p(x0)成立”.

1.4.3 含有一个量词 的命题的否定

探究
写出下列命题的否定

?x ? M,p(x) 1)所有的矩形都是平行四边形;

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0. 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

?x0 ? M,?p(x0 ) 1)存在一个矩形不是平行四边形;

3)?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0.
2

?x0 ? M,?p(x0 ) ?x0 ? M,?p(x0 )

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:

?x ? M , P( x), 全称命题P: ? ? ?x0 ? M , P(x0 ). 它的否定 P:
全称命题的否定是特称命题.

探究
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x0 ? M,p(x0 )

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x0 ? R, x02 ?1 ? 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x0 ? M,p(x0 ) ?x0 ? M,p(x0 )
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个特称命题的否定 都变成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的 否定,有下面的结论:

?x0 ? M , P(x0 ). 特称命题P:
它的否定 P: ?x ? M , P( x),
?

?

特称命题的否定是全称命题.


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