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2.2.1 椭圆及其标准方程 课件(人教A版选修2-1)


2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程

通过图片我们看到,在我们所生活的世界中, 随处可见椭圆这种图形,而且我们也已经知道了椭 圆的大致形状,那么我们能否动手画一个标准的椭 圆呢?

1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用.(重点) 2.掌握椭圆的定义,会求椭圆的标准方程. (重点、难

点)

实验操作
(1)取一条定长的细绳;

(2)把它的两端都固定在图板的同一点处;
(3)套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点) 画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段 距离,分别固定在图板的两点处套上铅笔,拉紧绳 子,移动笔尖,画出的轨迹是椭圆.

探究点1

椭圆的定义

根据刚才的实验请同学们回答下面几个题:

1.在画椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的
还是运动的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明 了什么?

3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小

有怎样的关系?
思考: 结合实验,请同学们思考:椭圆是怎样定 义的?

椭圆定义:

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.

两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

【提升总结】
思考:在平面内动点M到两个定点F1,F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆?

|MF1|+ |MF2|>|F1F2|
|MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|<|F1F2|

椭圆
线段 不存在

探究点2

椭圆的标准方程

根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢? 思考:求曲线的方程的基本步骤是什么呢? (1)建系设点; (3)列出方程; (5)检验.

(2)写出点集;
(4)化简方程;

第一步: 如何建立适当的坐标系呢?
想一想:圆的最简单的标准方程,是以圆的两条相 互垂直的对称轴为坐标轴,椭圆是否可以采用类似 的方法呢?
y

y M
M F2 x
O

F1

O

F2

x F1

方案一

方案二

设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的两个焦

点分别为F1和F2,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1和
F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0) .

请同学们自己完成剩下的步骤,求出椭圆的方程.

解:以焦点F1,F2的所在直线为x轴,线段F1F2的垂直

平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x, y )是椭圆上任意一点,椭圆 的焦距为2c(c>0),M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c) ,则F1,F2
F1 O y

M
F2 x

的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

由椭圆的定义得

| MF1 | ? | MF2 |? 2a .
因为 | MF1 |? ( x ? c )2 ? y 2 ,| MF2 |? ( x ? c )2 ? y 2 ,

所以 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a .
2 2 2 2

移项,再平方

( x ? c ) ? y ? 4a ? 4a ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ,
2 2 2 2 2 2 2

a 2 ? cx ? a ( x ? c )2 ? y 2 ,

两边再平方,得

a ? 2a cx ? c x ? a x ? 2a cx ? a c ? a y ,
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

整理得

(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ),
2 2 2 2 2 2 2 2

两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 ? c 2 ), 得 :

x y ? 2 ? 1. 2 2 a a ?c

2

2

请看图片:你能从图中找出表示a , c , a 2 - c 2的线段吗?
解 : 令 b 2 ? a 2 - c 2 ( a ? b ? 0 ),
2

P
a ?c
F 1
2

y
a

O c F2

x

x2 y2 所以椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b

类似的也可以得到椭圆的方程 y2 x2 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b

x2 y2 1.我们把形如 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的方程叫做椭圆的标准方程, a b
y
M F2

它表示焦点在x轴上的椭圆.

F 1

o

x

y2 x2 2.也把形如 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)叫做椭圆的标准方程, a b
y

它表示焦点在y轴上的椭圆.

F2

M

o
F1

x

【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢?

(1)椭圆的标准方程的形式:左边是两个分式
的平方和,右边是1;

(2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,
则焦点在哪一个轴上; (3)椭圆的标准方程中a,b,c满足a2=b2+c2.

例1

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
2 2

(2,0), 并且经过点 ( 5 , ? 3 ) .求它的标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设

x2 y2 它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0). a b
由椭圆的定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2 a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2

所以 又因为
2 2

a?

10 .
能用其他方

c ? 2,所以
2

法求它的方
程吗?

b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 . 10 6

另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
x2 y2 的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0). a b

又∵焦点的坐标为 ( ?2,0),(2,0),
? a 2 ? b 2 ? 4.



2 3 2 (5 ) ( ? 2 2) 又由已知 2 ? 2 ? 1, ② a b 联立①②, 解 得 a 2 ? 10, b 2 ? 6

x2 y2 ? ?1 . 因此, 所求椭圆的标准方程为: 10 6

【变式练习】
已知椭圆经过两点 ( ? 3 , 5 ) 和 ( 3 , 5 ) ,求椭圆的

2 2

标准方程. 解:设椭圆的标准方程为 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n),
2 2

5 2 ? 32 1 1 ? (? ) m ? ( ) n ? 1, . 则有 ? 2 解得 m ? , n ? 2 6 10 ?( 3) 2 m ? ( 5) 2 n ? 1, ?
x2 y 2 ? ?1 . 所以,所求椭圆的标准方程为 6 10

例2 如图,在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点P,过点P

作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动
时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

解:设点M的坐标为(x,y),点P的
坐标为(x0,y0),则

y

y0 x ? x0 , y ? , 2 因为点P(x0,y0)在圆

. .
P M x

O D

x 2 ? y 2 ? 4上 , 所 以

x ? y ? 4.
2 0 2 0



把点x0=x,y0=2y代入方程①,得

x 2 ? 4 y 2 ? 4,


从例2你能发 现椭圆与圆之 间的关系吗?

x ? y 2 ? 1. 4

2

所以点M的轨迹是一个椭圆.

例3 如图,设点A,B的坐标分别是(-5,0)和(5,0), 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? 4 ,求 9 点M的轨迹方程.

解:设点M的坐标(x,y),因为
点A的坐标是(-5,0),所以,直 线AM的斜率为 A

y M B O x

k AM

y ? ( x ? ? 5 ); x?5

同理,直线BM的斜率

k BM
由已知有

y ? ( x ? 5). x ?5

y y 4 ? ? ? ( x ? ? 5 ), x ?5 x ?5 9
化简,得点M的轨迹方程为

x y ? ? 1( x ? ?5). 25 100 9

2

2

2 2 x y 1.已知F1,F2是椭圆 ? ?1 25 9

的两个焦点,

过F1的直线交椭圆于M,N两点,则三角形 MNF2的周长为( A.10 C.30 B.20 D.40
N

B )
F1

y

M

o
F2

x

2. (2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆 C 的右

1 焦点为 F ????? ,离心率等于 2 ,则 C 的方程是( D )
x2 y 2 A. 3 ? 4 ? 1

x2 y 2 ? ?1 B. 4 3

x2 y 2 ? ?1 C. 4 2

x y ? ?1 D. 4 3

2

2

2.椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点A(3,0), 则椭圆的标准方程是_________.
2 2 x2 x y 2 ? y ? 1 或 ? =1 答案: 9 9 81

3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是
一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线 上的点到两个焦点的距离和为3 m, 求这个椭圆的标准方程.

解:以两个焦点F1,F2所在的直线为x轴,以线 段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系, 则这个椭圆的标准方程为
x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b
F1

y P
O F2

x

根据题意知,2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2.所以

b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81,因此椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ? 1. 2 .25 0 .81

y

y
P
F2
P

图 形 定 义 方 程 焦 点
a,b,c 的关系
F1

o

F2

x

F1

o

x

{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}
x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0?

F(±c,0)
2 2 2

F(0,±c)

b ? a ? c (a,b,c中a最大)

每个人都有潜在的能量,只是很容易:

被习惯所掩盖,被时间所迷离,被惰性所消
磨.


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