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2014届广东省广州市16中2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


16 中 2013 学年第一学期期中检测高一数学必修一测试试题
一、选择题(每题 4 分,共 10 题) 1.已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|x﹣4≤0},则 A∪B 等于( A. {x|x>1} B.{x|x≤4} C.{x|1<x≤4} ) D.R

2. 已 知 集 合 A ? {( x, y) x ? y ? 0, x. y ?

R}, B ? {( x, y) x ? y ? 0, x, y ? R} , 则 集 合

A? B ? (

) B.{0} C.(0,0) )
3

A.{(0,0)}

D. ?

3. 下列函数中是奇函数的是( A.f(x)=x
2

B.f(x)=x )

C.f(x)=|x|

D.f(x)=x+1

4.下列大小关系正确的是( A.0.4 <3 <log40.3 C.log40.3<0.4 <3
3 0.4 3 0.4

B.0.4 <log40.3<3
0.4

3

0.4 3[

D.log40.3<3 <0.4 )

5.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( A. y ? log 1 x
2

B. y ? 2 ? 1
x

C. y ? x ?
2

1 2

D. y ? ? x

3

6.已知幂函数 y=f(x)的图像过点 (3, 3) ,则 log4 f (2) 的值为( A.

)

1 4

B. ?

1 4
3

C.2

D.-2

?2e ,x<2, 7. 已知 f(x)=? []则 f(f(2))的值是( 3 log ( x - 1 ), x ≥ , ? 2
x- 1 3 2

)

A.0 C.2

B.1 D.3

8.设方程 x ? ( )
3

1 2

x?2

? 0 的根为 x0 ,则 x0 所在的区间是(
C.(1,2) D.(0,1)

)

A.(3,4)

B.(2,3)

9.若函数 y ? f ( x ) 定义域为 R,且满足 f(-x)=-f(x),当 a∈(-∞,0], b∈(-∞,0]时,总有 是( )

f (a ) ? f (b) ? 0 (a≠b),若 f(m+1)>f(2),则实数 m 的取值范围 a?b

A.-3≤m≤1 C.-3<m<1

B.m>1 D.m<-3 或 m>1

10.已知函数 ( f x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有 xf (x+1) =(1+x)f(x) ,则 f ( ) 的值是( A.0 B. 1

5 2

) C.1 D. 5

2
二.填空题(共 4 道题,每题 4 分) 11.函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) 的定义域是 。

2

12.已知函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 2 ,则 f(x)的解析式为 13. 函 数 f(x) 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 f ( x ) ? ______________. 14. 已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 3? x ,则不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集为 三.解答题 15、计算(本题 10 分,共 2 小题,每小题 5 分) (1)

.

x , x ? 0 , 则 当 x<0 时 , f ( x ) ?

2a 2 a? a
3 2

(a ? 0)

(2) (log

2

9 ? log 2 27)(log 3 2 ? log 3 4)

16.(





10



)









A ? { x 3 ? x ? 7}



B ? { x 2 ? x ? 10}, C ? { x 5 ? a ? x ? a}
(1)求 A ? B,(CR A) ? B ; (2)若 C ? ( A ? B) ,求实数 a 的取值范围.

2 17. (本题 10 分)已知 f ( x) ? ax ? bx ? 2(a ? 0) 是偶函数,且 f (1) ? 0 .

(1)求 a,b 的值并作出 y ? f ( x ) 图像;

(2)求函数 y ? f ( x ? 1) 在[0,3]上的值域.

18.(本题 10 分)已知函数 f ( x ) ? 且 f( )?

ax ? b 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,其中 a、b∈R 1 ? x2

1 2

2 5

(1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2)判断函数 y ? f ( x ) 在区间(﹣1,1)上的单调性,并用单调性定义证明你的结论;

19. (本题 12 分) 经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价 格(元)均为时间 t(天)的函数,且日销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),当日价格近似满

1 ? 25 ? t ,10 ? t ? 20 ? ? 2 足 f (t ) ? ? (元). 1 ?15 ? t , 0 ? t ? 10 ? ? 2
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值.

2 20.(本题 12 分)设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a, ,方程 f ( x ) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 ,

满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 。 (1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 和

1 的大小,并说明理由。 16

16 中 2013 学年第一学期期中检测高一数学必修一测试试题答 案
一、选择题 DABCB
(1, ??)

ACCBA f(x)=x2+1

二、填空题

? ?x

? x x ? ?1?

三、解答题
15.(1) 2a 2 a ? 3 a2 (2)(log 2 9 ? log 2 27)(log 3 2 ? log 3 4) ? 5log 2 3? 3log 3 2 ? 15 ? 2a
1 2 2? ? 2 3

? 2a 6

5

16.解: (1) A ? B ? {x 2 ? x ? 10} ? C R A ? {x x ? 3或x ? 7} ? (C R A) ? B ? {x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} ( 2)由(1)知A ? B ? {x 2 ? x ? 10} 1?当C ? ?时,满足C ? (A ? B), 此时5 ? a ? a, a ? 2?当C ? ?时,要C ? (A ? B), ?5 ? a ? a 5 ? 则?5 ? a ? 2, 则 ? a ? 3 2 ?a ? 10 ? 综上, {a a ? 3}为所求
17.解: (Ⅰ)依题意得:对于任意 x ? R ,均有 f ? x ? ? f ? ?x ? ,

5 2

? ax2 ? bx ? 2 ? ax2 ? bx ? 2 ,? 2bx ? 0 恒成立,? b ? 0
由 f ?1? ? 0 得 a ? b ? 2 ? 0 ,? a ? ?2

? a ? ?2 , b ? 0
(若是由 f ?1? ? f ? ?1? 求得 b ? 0 ,则需说明经检验满足偶函数,否则扣 1 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 y ? f ( x ? 1) ? ?2 ? x ? 1? ? 2 ,抛物线开口向下,对称轴 x ? 1 ,
2

则函数 y ? f ( x ? 1) 在 ?0,1? 上单调递增,在 ?1,3? 上单调递减,

? f ? 0? ? 0, f ?1? ? 2, f ?3? ? ?6 ,
? 函数 y ? f ( x ? 1) 在 ?0,3? 上的值域为 ? ?6, 2? .
18.解: (1)∵ 为奇函数,且 f( )= = ,

∴f(﹣ )=

=﹣f( )=﹣ ,解得:a=1,b=0.

∴f(x)=



(2)证明:在区间(﹣1,1)上任取 x1,x2,令﹣1<x1<x2<1, ∴f(x1)﹣f(x2)= ∵﹣1<x1<x2<1 =
2 2



∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,1+x1 >0,1+x2 >0

∴f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) 故函数 f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数. 19.解
?? 30+t? ? (1)y=g(t)·f(t)=? ? ?? 40-t?

? ?

40-t? 50-t?

,? ,?

0≤t<10? 10≤t≤20?

, .

(2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225],在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200],在 t=20 时,y 取得最小值为 600. ∴第 5 天,日销售额 y 取得最大,为 1 225 元;第 20 天,日销售额 y 取得最小,为 600 元. 答:日销售额 y 最大为 1225 元;最小为 600 元.

20.解: (1)令g ( x ) ? f ( x ) ? x ? x 2 ? (a ? 1) x ? a , ?? ? 0 ? ?a ? 0 1? a ? ?1 ? ?0 ? ? ? ?1 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 3? 2 2 2 ? ? g (1) ? 0 ? ? a ? 3 ? 2 2或a ? 3 ? 2 2 ? g (0) ? 0 ? ?
则 a 的取值范围是 (0,3 ? 2 2 )

(2) f (0) f (1) ? f (0) ? 2a 2 , 令h( a ) ? 2a 2 ? a ? 0, h(a )增加, ? 0 ? a ? 3 ? 2 2, 0 ? h(a ) ? h(3 ? 2 2) ? 2(17 ? 12 2) ? 即f (0) f (1) ? f (0) ? 1 16 2 17 ? 12 2 ? 1 16


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