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河北省衡水中学2011-2012学年上学期高一年级二调考试数学试卷


河北省衡水中学 2011-2012 学年上学期高一年级二调考试数学试卷
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1. 某研究小组在一项实验中获得一组数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中, 最能近似刻

画 y 与 t 之间关系的是( )

A. y ? 2

t

B. y ? 2t C. y ? t
3

2

D. y ? log 2 t 2. 设 x0 是函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x 的零点.若 0 ? a ? x0 ,则 f (a ) 的值满足
x

1 3





A. f (a) ? 0

B. f (a) ? 0

C. f (a) ? 0

D. f (a ) 的符号不确定

3. 已知 f ( x) ?| x ?1| ? | x ? 3| ,x1 , x2 满足 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 101 , x1 ? x2 等 且 则 于( A.0 ) B.2 C.4 D.6 ) D.a? ? ,b

4. 对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 ? ,使得( A.a? ? ,b? ? ∥? B.a? ? ,b⊥ ?

C.a⊥ ? ,b⊥ ?

5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, Q 分别是棱 AA1、 1 的中点, P、 CC 则过点 B、 Q 的截面是( P、
1

)

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A.三角形 C.正方形

B.菱形但不是正方形 D.邻边不等的矩形

6. 如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为 1cm 和半径为 3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为 20cm,当 这个几何体如图(3)水平放置时, 液面高度为 28cm, 则这个简单几何体的总高度为( )

A.29cm C.32cm

B.30cm D.48cm

7. 下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),可知几何体的表面积是 ( )

A.18+ 3 B.18+2 3 C.17+2 3 D.16+2 3 8. 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积 ... 之比为( A. 2∶2 ) B.2∶1 C. 5∶2 D.3∶2

9. 三 棱 锥 P ? A B C中 , P A? P B? P C ?

A C , ?ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 , ? 1
)

?ABC ? 90? .若 E 为 PC 中点,则 BE 与平面 PAC 所成的角的大小等于(
A. 30
?

B. 45

?

C. 60
2

?

D. 90

?

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10. 已 知 函 数 f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3) , 其 图 象 上 两 点 的 横 坐 标 x1 , x2 满 足

x1 ? x2 ,
且 x1 ? x2 ? 1 ? a ,则有 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) D.大小不确定

11. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确 的是( )

A.平面 ADC⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ABD⊥平面 ABC 12.已知不重合的平面 ? 、β 和不重合的直线 m、n,给出下列命题: ① m∥n,n? ? ?m∥ ? ; ② m∥n,n? ? ?m 与 ? 不相交; ③ ? ∩β =m,n∥ ? ,n∥β ?n∥m; ④ ? ∥β ,m∥β ,m ? ? ?m∥ ? ; ⑤ m∥ ? ,n∥β ,m∥n? ? ∥β ; ⑥ m? ? ,n?β , ? ⊥β ?m⊥n; ⑦ m⊥ ? ,n⊥β , ? 与 β 相交?m 与 n 相交; ⑧ m⊥n,n? β ,m ? β ? m⊥β ; ⑨ ? ? ?,a ? ?, b ? ?, b ? a ? b ? ?. 其中正确的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13.函数 f ( x) ? log 0.6 (6 x ? x ) 的单调递增区间为
2

3

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14.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, AA1 ? 面 ABC,高为 5,一质点 自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为_______ 15.如图是 一正方体的表面展开图,B、N、Q 都是所在棱的中点,则在原正方体中,

①AB 与 CD 相交;②MN∥PQ;③AB∥PE; ④MN 与 CD 异面;⑤MN∥平面 PQC. 所给关系判断正确的是_____. 16.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f (5x) ? 2 f ( x) ,且当

?3? 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ? ? = ?4?
三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余 12 分,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17. 设关于 x 的不等式 x( x ? a ? 1) ? 0(a ?R) 的解集为 M ,不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集
2

为N . (1)当 a ? 1 时,求集合 M ; (2)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围.

18. 已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,E 是侧棱 PC 上 的动点. (1) 是否无论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (2) 求直线 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值.

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1 19.如图,在直角梯形 ABCD 中,∠B=90°,DC∥AB,BC=CD= AB=2,G 为线段 AB 的中点, 2 将△ADG 沿 GD 折起,使平面 ADG⊥平面 BCDG,得到几何体 A-BCDG. (1)若 E,F 分别为线段 AC,AD 的中点,求证:EF∥平面 ABG; (2)求三棱锥 C-ABD 的体积.

20.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 ( a, b 为实数, a ? 0 , x ?R ) .
2

(1)当函数 f ( x) 的图像过点 (?1, 0) ,且方程 f ( x) ? 0 有且只有一个根,求 f ( x) 的表达 式; (2)若 F ( x) ? ?

? f ( x ) x ? 0, 当 mn ? 0 , m ? n ? 0 , a ? 0 ,且函数 f ( x) 为偶函数 ?? f ( x) x ? 0,

时,试判断 F (m) ? F (n) 能否大于 0 ?

21. 如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=2 3,沿对角线 BD 将△ABD 向上折起,使点 A 移至点 P,且点 P 在平面 BCD 内的投影 O 在 CD 上. (1) 求二面角 P-DB-C 的正弦值;
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(2) 求点 C 到平面 PBD 的距离.

22.如图,在△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E、F 分别 AE AF 是 AC、AD 上的动点,且 = =λ (0<λ <1). AC AD (1)判断 EF 与平面 ABC 的位置关系并给予证明; (2)是否存在 λ ,使得平面 BEF⊥平面 ACD,如果存在,求出 λ 的值,如果不存在,说明理 由.

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2011—2012 学年度第一学期第二次调研考试 高一年级数学试卷 一、选择题: DABDB ABCBC 二、填空题: (3,6) 13 AD ①②④⑤

1 2

三、解答题: 17:解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, 由已知得 x( x ? 2) ? 0 . 解得 0 ? x ? 2 . 所以 M ? {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ) 由已知得 N ? x ?1 ? x ? 3 . …………………2 分

?

?

…………………3 分

①当 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | a ? 1 ? x ? 0} . 因为 M ? N ,所以 ?1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? ?1 ; ……………5 分 ②若 a ? ?1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ?1 成立; ……………7 分 ③若 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | 0 ? x ? a ? 1} . 又 N ? x ?1 ? x ? 3 ,因为 M ? N ,所以 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 .…9 分 综上所述, a 的取值范围是 [?2, 2] . 18 解: (1)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE.------1 分 ……………10 分

?

?

证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC.

∵PC⊥底面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD,∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ∵不论点 E 在何位置,都有 AE? 平面 PAC. ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE.----------6 分
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(2) PC ? 面 ABCD,故 ?PAC 即为直线 PA 与底面 ABCD 所成的角,------8

tan ?PAC ? 2 -----------12
19 (1)证明:依题意,折叠前后 CD、BG 位置关系不改变,∴CD∥BG. ∵E、F 分别为线段 AC、BD 的中点,∴在△ACD 中,EF∥CD, ∴EF∥BG.-----------3

(注:要用平行公理进行直线 EF∥BG 的证明,否则扣除 2 分) 又 EF? 平面 ABG,BG? 平面 ABG,∴EF∥平面 ABG.-------6 (2)解:由已知得 BC=CD=AG=2,证 AG⊥平面 BCDG,即点 A 到平面 BCDG 的距离 AG=2, 1 1 ?1 4 ? ∴VC-ABD=VA-BCD= S△BCD·AG= ×? ×2×2?×2= .----12 分 (缺 AG⊥平面 BCDG 证明过程扣 3 3 ?2 3 ? 2 分) 20 解: (1)因为 f (?1) ? 0 ,所以 a ? b ? 1 ? 0 . 因为方程 f ( x) ? 0 有且只有一个根,所以 ? ? b ? 4a ? 0 .
2

所以 b ? 4(b ?1) ? 0 .
2

即 b ? 2 , a ? 1.

所以 f ( x) ? ( x ? 1) .
2 2

………4 分

(2) f ( x) 为偶函数,所以 b ? 0 . 所以 f ( x) ? ax ? 1 .

? ax 2 ? 1 x ? 0, ? 所以 F ( x ) ? ? 2 ? ? ax ? 1 x ? 0. ?
因为 mn ? 0 ,不妨设 m ? 0 ,则 n ? 0 .又因为 m ? n ? 0 ,所以 m ? ?n ? 0 . 所 以

m ? ?n

.





F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n) ? am2 ? 1 ? an 2 ? 1 ? a(m2 ? n2 ) ? 0 .
所以 F (m) ? F (n) ? 0 . …………… 12 分

21.证明: (1)过 O 作 OE⊥BD 于点 E,连接 PE ∵BD⊥OP,∴BD⊥平面 OPE,∴BD⊥PE,∴∠PEO 为二面角 P-BD-C 的平面角,
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2 2 在△POE 中,PE=3,OE=1,PO=2 2,则 sin∠PEO= ;----6 分 3 1 ?1 1 ?1 ? ? (2)VC-PBD=VP-BCD,∴ ×? ×6×2 3?×h= ×? ×6×2 3?×2 2,解得 h=2 2. 3 ?2 3 ?2 ? ? 即点 C 到平面 PBD 的距离为 2 2----12 分

22 解: (1)EF⊥平面 ABC.---2 分 证明:因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD,又在△BCD 中,∠BCD=90°, 所以 BC⊥CD,又 AB∩BC=B, AE AF 所以 CD⊥平面 ABC,又在△ACD 中, E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 = =λ (0<λ <1), AC AD ∴EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC.----6 分 (2)∵CD⊥平面 ABC,BE? 平面 ABC,∴BE⊥CD, 在 Rt△ABD 中,∠ADB=60°,∴AB=BDtan60°= 6,则 AC= 7, AB×BC 6 当 BE⊥AC 时,BE= = ,AE= AC 7 36 , 7

AE 则 = AC

36 7 6 AE 6 = ,即 λ = = 时,BE⊥AC,又 BE⊥CD,AC∩CD=C,∴BE⊥平面 ACD, 7 AC 7 7

6 ∵BE? 平面 BEF,∴平面 BEF⊥平面 ACD.所以存在 λ ,且当 λ = 时,平面 BEF⊥平面 7 ACD.-------12

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