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高一数学教案:课题:§4.10.1正切函数的图象和性质(一).doc




题:§4.10.1

正切函数的图象和性质(一)

教学目标 (一)知识目标 1.正切函数的图象; 2.正切函数的性质. (二)能力目标 1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象; 2.理解正切函数的性质. (三)德育目标 1.用数形结合的思想理解和处理有关问题; 2.发现数学规律; 3.提高数学素质,培养实践第

一观点. 教学重点 正切函数的图象和性质 教学难点 正切函数的性质的简单应用 教学方法 引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题.(启发引导式) 教具准备 幻灯片一张 内容:课本 P69 图 4—27,§4.10.1 教学过程 Ⅰ.课题导入 常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,今天我们 来探讨一下正切函数的图象,以及它具有哪些性质? Ⅱ.讲授新课 为了精确,我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线. ∵tan(π +x)=

sin(? ? x) ? sin x =tanx ? cos(? ? x) ? cos x

(其中 x∈R ,且 x≠

? +kπ ,x∈Z) 2

根据周期函数定义,可知正切函数也是周期函数,且π 是它的周期. 现在利用正切线画出函数

y=tanx,x∈(-
引导学生完成.

? ? , )的图象 2 2

在教师指导下完成. 打出幻灯片§4.10.1,让学生对照 然后说明可将所得图象向左、右平移,即可得到 y=tanx,x∈R 且 x≠ Z)的图象,叫做正切曲线. 引导学生观察得出正切曲线的特征:

? +kπ ,(k∈ 2

正切曲线是被相互平行的直线 x=

? +kπ (k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的. 2

现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质. (师生共同完成以下活动) (1)定义域:{x|x≠ (2)值域:R (3)周期性:正切函数是周期函数,且周期 T=π (4)奇偶性:∵tan(-x)=-tanx ∴正切函数是奇函数 ∴正切曲线关于原点 O 对称 (5)单调性:正切函数在开区间(-

? +kπ ,k∈Z } 2

? ? +kπ , +kπ ),k∈Z 内都是增函数. 2 2

注意:①正切函数在整个定义域上不具有单调性,因为它的定义域不连续,所以不能说 它在整个定义域内是增函数. ②正切函数在每个单调区间内都是增函数 下面,来看性质的简单应用. [例 1]求函数 y=tan2x 的定义域. 解:由 2x≠kπ + 得 x≠

k? ? + ,(k∈Z) 2 4

? ,(k∈Z) 2

∴y=tan2x 的定义域为: {x|x∈R 且 x≠

k? ? + ,k∈Z } 2 4

[例 2]观察正切曲线写出满足下列条件的 x 的值的范围:tanx>0 解:画出 y=tanx 在(- 范围为: 0<x<

? ? , )上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx>0 的 x 的 2 2

? 2

结合周期性,可知在 x∈R , 且 x≠kπ + ∈Z)

? ? 上满足的 x 的取值范围为(kπ ,kπ + )(k 2 2

[例 3]不通过求值,比较 tan135°与 tan138°的大小. 解:∵90°<135°<138°<270° 又∵y=tanx 在 x∈(90°,270°)上是增函数 ∴tan135°<tan138° Ⅲ.课堂练习 (板演练习)课本 P71 2.(3)、3、6 2.(3)tanx<0 的 x 的取值范围为: {x|kπ -

? <x<kπ ,k∈Z} 2

3.y=tan3x 的定义域为{x|x≠ 6.tan(-

13 3? ? π )=-tan =tan 4 4 4 17 17? 2? tan(- π )=-tan =-tan 5 5 5 13 17 ∴tan(- π )>tan(- π) 4 5
Ⅳ.课时小结

k? ? + , k∈ Z } 3 6

通过本节学习,要掌握正切函数的图象,理解它具有的主要性质,并会应用它解决一些 较简单问题. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P72 ,习题 4.10 1、4、5 (二)1.预习正切函数的性质的应用 2.预习提纲 (1)y=tan(x+ ? )的单调性如何? (2)y=tanω x 的周期又如何? 板书设计 课题 一、正切函数的图象和性 质 (1)定义域 (2)值域 (3)周期性 (4)奇偶性 (5)单调性 备课资料 1.正切函数在其定义域上有最值吗? 答:没有,因为正切函数的值域为 R 且不等于 kπ + 2.在下列函数中,同时满足的是( ①在(0, ) 二、例题讲解 例1 例2 例3

? (k∈Z). 2

? )上递增;②以 2π 为周期;③是奇函数 2
B.y=cosx D.y=-tanx

A.y=tanx

1 C.y=tan x 2
答案:C 3.函数 y=tan(2x+

? k? ? ? (k ? Z) 隔开,与 x 轴交点的坐 )的图象被平行直线 x ? 2 8 4

标是 (

k? ? ? ? ,0)( k ? Z) 与 y 轴 交点 的 坐标 是 (0 , 1) ,周 期 是 , 定义 域 的集 合 是 2 8 2

{ x | x ? R 且x ?

k? ? ? , k ? Z} ,值域的集合是 R ,它是非奇非偶函数. 2 8
)

4.函数 y= ? sin x + tan x 的定义域是( A.(2k+1)π ≤x≤(2k+1)π +

? ,k∈Z 2 ? B.(2k+1)π <x<(2k+1)π + ,k∈Z 2 ? C.(2k+1)π ≤x<(2k+1)π + ,k∈Z 2 ? D.(2k+1)π <x<(2k+1)π + 或 x=kπ ,k∈Z 2
解:由 ?

?sin x ? 0 ? ,得(2k+1)π ≤x<(2k+1)π + 2 ?tan x ? 0

答案:C 5.已知 y=tan2 x-2tanx+3,求它的最小值. 2 解:y=(tanx-1) +2 当 tanx=1 时,ymin =2 附:函数 f(x)±g(x)最小正周期的求法. 若 f(x)和g(x)是三角函数,求 f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法,往往因题 而异,现介绍几种方法: 一、定义法 [例 1]求函数 y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 解:∵ y=|sin x|+|cosx |=|-sinx |+|cos x|=|cos(x +

? )|= 2 ? ? |sin(x+ )|+|cos(x+ )| 2 2
+ 对定义域内的每一个 x,当 x 增加到 x+ 期是

? )|+|sin(x 2

? . 2
二、公式法

? 时,函数值重复出现,因此函数的最小正周 2

这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求, 其中正余弦函数求最小正周期的公式为 T=

2? |? |

,正余切函数 T=

? . |? |

[例 2]求函数 y=cotx-tanx 的最小正周期.

1 1 ? tan x 2 1 ? tan2 x ? tan x ? ? 2 cot 2 x 解:y= =2? tan x tan x 2 tan x

∴T=

? 2

三、最小公倍数法 设 f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1 、T2 分别是它们的周期, 且 T1 ≠ T2 ,则 f(x) ± g (x) 的最小正周期 T1 、 T2 的最小公倍数,分数的最小公倍数=

分子的最小公倍数 分母的最大公约数
[例 3]求函数 y=sin3x+cos5x 的最小正周期. 解: 设 sin3x、 cos5x 的最小正周期分别为 T1 、 T2 , 则 T1 ? +cos5x 的最小正周期 T=2π /1=2π .

2? 2? , 所以 y=sin3x , T2 ? 3 5

2x 的最小正周期. 5 2x 2? 5? 10? 解:∵sin3x 与 tan 的最小正周期是 与 ,其最小公倍数是 =10π . 5 3 2 1 2x ∴y=sin3x+tan 的最小正周期是 10π . 5
[例 4]求 y=sin3x+tan 四、图象法 [例 4]求 y=|sinx|的最小正周期. 解:由 y=|sinx|的图象: 可知 y=|sinx|的周期 T=π .


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