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第六章不等式和推理与证明6-7


必考部分

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第六章
不等式、推理与证明

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必考部分·第六章

第七节

数学归纳法

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第六章·第七节

主干知识· 整合
热点命题· 突破

课堂实效· 检测
课时作业

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第六章·第七节

主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源

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第六章·第七节

数学归纳法
1.数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明关于与 正整数 n 有关命题的

一种方法,若 n0 是起始值,则 n0 是使命题成立的最小正整数. 2.数学归纳法证题的步骤: (1)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立;

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第六章·第七节

(2)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的 所有正整数 n 都成立.

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第六章·第七节

(1)第一个值 n0 是否一定为 1 呢? (2)数学归纳法两个步骤有何关系? 提示:(1)不一定,要看题目中 n 的要求,如当 n≥3 时, 则第一个值 n0 应该为 3. (2)数学归纳法中两个步骤体现了递推思想, 第一步是递 推基础,也叫归纳奠基,第二步是递推的依据,也叫归纳递 推.两者缺一不可.

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第六章·第七节

1.判断下列说法是否正确. (1) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法 证明.( )

(2) 用 数 学 归 纳 法 证 明 问 题 时 , 归 纳 假 设 可 以 不 用.( )

1 (3)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3) 2 条时,第一步检验 n 等于 3.( )

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第六章·第七节

1 1 1 (4)已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明 1- + - +? 2 3 4
? 1 1 1? 1 ? + +?+ ? - =2? ?时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 2 n n n + 2 n + 4 ? ?

为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 n=k+2 时 等式成立.

答案:(1)×

(2)× (3)√

(4)√

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第六章·第七节

1 1 1 2. 若 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*), 则 f(1)为( 2 3 6n-1 A.1 1 B. 5 1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5 D.非以上答案

)

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第六章·第七节

1 1 1 解析:∵f(n)=1+ + +?+ , 2 3 6n-1 1 1 1 1 1 1 1 ∴f(1)=1+ + +?+ =1+ + + + . 2 3 2 3 4 5 6×1-1

答案:C

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第六章·第七节

1 1 1 1 3.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n A.f(n)中共有 n 项 B.f(n)中共有 n+1 项 C.f(n)中共有 n2-n 项 D.f(n)中共有 n2-n+1 项

)

解析:由 f(n)可知,共有 n2-n+1 项.
答案:D

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第六章·第七节

1 1 1 4 . 用 数 学 归 纳 法 证 明 : “1 + + + ? + n 2 3 2 -1 <n(n>1)”,由 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左 边应增加的项的项数是________.

解析:由 n=k(k>1)到 n=k+1 时,不等式左端增加的 1 1 1 项为 k+ k + ? + k+1 共增加 (2k + 1 - 1) - (2k - 1) = 2k 2 2 +1 2 -1 项.

答案:2k

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第六章·第七节

1.用数学归纳法证明时,验证的第一个值 n0 是使结 论成立所取的第一个正整数,未必是 1,如用数学归纳法证 明“对于足够大的正整数 n,总有 2n>n2”时,要验证的 n 的开始值 n0=5. 2.数学归纳法的两个步骤缺一不可.第一步是递推的 基础,第二步是递推的依据.第二步中,归纳假设起着“已 知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就 不是数学归纳法, 第二步的关键是“一凑假设, 二凑结论”.
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第六章·第七节

热点命题· 突破 02
考点突破 解码命题

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第六章·第七节

用数学归纳法证明等式

n?n+1??2n+1? 【例 1】 求证:1 +2 +?+n = . 6
2 2 2

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第六章·第七节

1· ?1+1??2+1? 【证明】 (1)当 n=1 时, 左边=1, 右边= 6 =1,左边=右边,等式成立; (2)假设 n=k(k∈N*,且 k≥1)时,等式成立,即 12+22 k?k+1??2k+1? +?+k = , 6
2

则当 n=k+1 时,12+22+?+k2+(k+1)2 k?k+1??2k+1? = +(k+1)2 6

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第六章·第七节

?k+1?[?k+1?+1][2?k+1?+1] = 6 所以当 n=k+1 时,等式仍然成立 由(1)、(2)可知,对于?n∈N*等式恒成立.

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第六章·第七节

用数学归纳法证明恒等式应注意: 明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时命题的真假(必不可少).“假设 n =k(k∈N*,且 k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n =k+1 时”命题是什么, 并找出与“n=k”时命题形式的差 别.弄清左端应增加的项,明确等式左端变形目标,掌握恒 等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方 等.简言之:两个步骤、一个结论;递推基础不可少,归纳 假设要用到,结论写明莫忘掉.

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第六章·第七节

用数学归纳法证明: 1 1 1 对任意的 n∈ N , + +?+ = 1 ×3 3 ×5 ?2n-1??2n+1?
*

n . 2n+1

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第六章·第七节

1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 1 1 右边= = ,左边=右边, 2×1+1 3 所以等式成立. 1 1 (2) 假设当 n = k(k∈ N ) 时等式成立,即有 + 1×3 3×5
*

1 k +?+ = , ?2k-1??2k+1? 2k+1

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第六章·第七节

1 1 1 则当 n=k+1 时, + + ?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 1 ?2k+1??2k+3? k?2k+3?+1 k 1 = + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立.

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第六章·第七节

用数学归纳法证明不等式

3 2 1 【例 2】 已知函数 f(x)=ax-2x 的最大值不大于6, 1 1 1 又当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 1 * (2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n∈N ,证明:an< . 2 n+1

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第六章·第七节

【解】

(1)由题意,知

3 2 3 a 2 a2 f(x)=ax- x =- (x- ) + . 2 2 3 6 1 a a2 1 又 f(x)max≤ ,所以 f( )= ≤ .所以 a2≤1. 6 3 6 6 1 1 1 又 x∈[4,2]时,f(x)≥8, ? 1 1 ?f?2?≥8, 所以? ?f?1?≥1, ? 4 8 ?a 3 1 ?2-8≥8, 即? ?a- 3 ≥1, ?4 32 8

解得 a≥1.

又因为 a2≤1,所以 a=1.
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第六章·第七节

(2)用数学归纳法证明: 1 ①当 n=1 时,0<a1< ,显然结论成立. 2 1 1 因为当 x∈(0,2)时,0<f(x)≤6, 1 1 所以 0<a2=f(a1)≤ < . 6 3 故 n=2 时,原不等式也成立. 1 ②假设当 n=k(k≥2, k∈N )时, 不等式 0<ak< 成立. k+1
*

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第六章·第七节

3 1 因为 f(x)=ax- x2 的对称轴为直线 x= , 所以当 x∈(0, 2 3 1 ]时,f(x)为增函数. 3 1 1 1 所以由 0<ak< ≤ ,得 0<f(ak)<f( ). k+1 3 k+1 1 3 1 1 1 于是, 0<ak + 1 = f(ak)< - · + - = k+1 2 ?k+1?2 k+2 k+2 k+4 1 1 - < . k+2 2?k+1?2?k+2? k+2 所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 1 根据①②,知对任何 n∈N*,不等式 an< 成立. n+1
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第六章·第七节

数学归纳法是证明有关自然数 n 的命题的 一种有效数学方法, 证明步骤与格式的规范是数学归纳法的 鲜明特征.由 n=k 时命题成立推证 n=k+1 时命题也成立, 一是要注意使用归纳假设,二是要看准目标,有的放矢进行 变形.

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第六章·第七节

1 2 首项为正数的数列{an}满足 an+1= (an+3),n∈N*. 4 (1)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)若对一切 n∈N*都有 an+1>an,求 a1 的取值范围.

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第六章·第七节

解:(1)已知 a1 是奇数,假设 ak=2m-1 是奇数,其中 a2 k +3 m 为正整数,则由递推关系,得 ak+1= =m(m-1)+1 4 是奇数. 根据数学归纳法,可知对任何 n∈N*,an 都是奇数. 1 (2)由 an+1-an= (an-1)(an-3),知当且仅当 an<1 或 4 an>3 时,an+1>an.

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第六章·第七节

1+3 另一方面,若 0<ak<1,则 0<ak+1< 4 =1;若 ak>3, 32+3 则 ak+1> =3. 4 根据数学归纳法,可知 ? n ∈ N*,0<a1<1 ? 0<an<1 ; ? n ∈N*,a1>3?an>3. 综上所述,对一切 n ∈ N* 都有 an + 1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3.

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第六章·第七节

用数学归纳法证明开放性问题

【例 3 】 ?n-1?an n-an

1 数列 {an}中, a1 = 1 ,a2 = 4 ,且 an +1=

(n≥2),求 a3,a4,猜想 an 的表达式,并用数学归 纳法证明你的猜想.

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第六章·第七节

(1)猜想 an 的表达式时, 注意项与项数 n 的关系, (2)由 n=k 推证 n=k+1 时,递推公式是解题的关键.

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第六章·第七节

【解】

?n-1?an 1 因为 a1=1,a2= ,且 an+1= (n≥2), 4 n-an 1 1 = ,同理可求得 a4= , 1 7 10 2-4 1 4

a2 所以 a3= = 2-a2

1 归纳猜想,an= . 3n-2

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第六章·第七节

下面用数学归纳法证明猜想正确. (1)当 n=1 时易知猜想正确. 1 (2)假设当 n=k(k∈N )时猜想正确,即 ak= ,那么 3k-2
*

k-1 1 ?k-1?· ?k-1?ak 3k-2 3k-2 当 n=k+1 时, ak+1= = = = 1 k-ak 3k2-2k-1 k- 3k-2 3k-2 k-1 k-1 1 1 = = = . 3k2-2k-1 ?3k+1??k-1? 3k+1 3?k+1?-2 即当 n=k+1 时,猜想也正确. 由(1)(2)可知,猜想对任意正整数都正确.
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第六章·第七节

利用数学归纳法可以探索未知问题, 基 本步骤是试验 — 归纳 — 猜想 — 证明.在高考中常与数列结 合,求数列的通项公式、前 n 项和公式等,借以考查学生的 抽象概括能力、逻辑思维和推理能力.

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第六章·第七节

3bn+4 若数列{bn}中 b1=2,bn+1= ,n=1,2,3?,求 b2, 2bn+3 b3,试判定 bn 与 2的大小,并加以证明.

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第六章·第七节

3bn+4 解:由 b1=2,bn+1= ,得 2bn+3 3×2+4 10 58 b2= = ,b3=41. 2 ×2 +3 7 经比较有 b1> 2,b2> 2,b3> 2. 猜想 bn> 2(n∈N*) 下面利用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,因 b1=2,所以 2<b1. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即 2<bk, ∴0<bk- 2.
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第六章·第七节

3bk+4 当 n=k+1 时,bk+1- 2= - 2 2bk+3 ?3-2 2?bk+?4-3 2? ?3-2 2??bk- 2? = = >0. 2bk+3 2bk+3 ∴bk+1> 2,也就是说,当 n=k+1 时,结论成立. 根据①②知 bn> 2(n∈N*).

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第六章·第七节

热点微专题之解答题增分系列(四) 数学归纳法规范解答 【典例】 (2014· 广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,

满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

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第六章·第七节

【规范解答】 ①

(1)a1= S1 = 2a2 - 3×12 - 4×1=2a2 - 7

a1 + a2 = S2 = 4a3 - 3×22 - 4×2 = 4(S3 - a1 - a2) - 20 = 4(15-a1-a2)-20, ∴a1+a2=8②
? ?a1=3, 联立①,②解得? ? ?a2=5,

∴a3=S3-a1-a2=15-8=7, 综上 a1=3,a2=5,a3=7,
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第六章·第七节

(2)Sn=2nan+1-3n2-4n③ ∴当 n≥2 时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)④ 2n-1 6 n +1 ③-④并整理得:an+1= a+ , 2n n 2n 由(1)猜想 an=2n+1,以下用数学归纳法证明: (i)由(1)知,当 n=1 时,a1=3=2×1+1,猜想成立; (ii)假设当 n=k 时,猜想成立,即 ak=2k+1,

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第六章·第七节

2k-1 6k+1 则当 n=k+1 时,ak+1= a+ 2k k 2k
2 2k-1 1 4k -1 1 = · (2k+1)+3+ = +3 + 2k 2k 2k 2k

=2k+3=2(k+1)+1 这就是说 n=k+1 时, 猜想也成立, 从而对一切 n∈N*, an=2n+1.

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第六章·第七节

名师点评

解决数学归纳法中 “ 归纳 — 猜想 — 证明 ”

问题及不等式证明时要特别关注: 一是需验证 n=1, n=2 时结论成立, 易忽略验证 n=2; 二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧, 才 能快速正确地解决问题.

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第六章·第七节

2Sn 1 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, =an+1-3 n 2 n -n- ,n∈N*. 3
2

(1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1 a2 an 4

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1 2 解:(1)依题意,2S1=a2- -1- , 3 3 又 S1=a1=1,所以 a2=4. 1 2 (2)当 n≥2 时,2Sn=nan+1-3n3-n2-3n, 1 2 3 2 2Sn -1= (n - 1)an- (n - 1) - (n - 1) - (n - 1) ,两式相 3 3 1 2 2 减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n -3n+1)-(2n-1)- , 3 3

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整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),
?an? an+1 an a2 a1 a1 即 - =1.又 - =1, 故数列? ?是首项为 =1, 2 1 1 n n+1 ?n?

公差为 1 的等差数列, an 所以 =1+(n-1)×1=n.所以 an=n2. n

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1 7 (3)当 n=1 时, =1< ; 4 a1 1 1 1 5 7 当 n=2 时, + =1+4=4<4; a1 a 2 1 1 1 1 1 当 n≥3 时, = 2< = - , an n ?n-1?n n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 此时 + + ? + = 1 + + 2 + 2+ ? + 2 <1 + + 4 3 4 4 a1 a 2 an n
? 1 ?1 1? ?1 1? 1? 1 1 1 7 1 7 ? ? - ?+? - ?+?+? - ? ?=1+4+2-n=4-n<4. n n - 1 ?2 3? ?3 4? ? ?

1 1 1 7 综上,对一切正整数 n,有 + +?+ <4. a 1 a2 an
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课堂实效· 检测 03
当堂检验 小试牛刀

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1.用数学归纳法证明 1+2+?+(2n+1)=(n+1)(2n+ 1)时,在验证 n=1 成立时,左边所得的代数式是( A.1 C.1+2+3 B.1+3 D.1+2+3+4 )

解析:当 n=1 时,左边=1+2+(2×1+1)=1+2+3, 故选 C.

答案:C

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n +2 1 1 1 1 2.证明 <1+ + + +?+ n<n+1(n>1),当 n=2 2 2 3 4 2 时,中间式子等于( A.1 1 1 C.1+ + 2 3 ) 1 B.1+2 1 1 1 D.1+ + + 2 3 4

解析:当 n=2 时,中间式子共有 22=4 项相加,即 1 1 1 1 + + + . 2 3 4

答案:D
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3.已知 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k) 的关系是( )

A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2 C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2 D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2

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解析:由已知可得 f(k)=12+22+32+?+(2k)2,f(k+1) =12+22+32+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,于是 f(k+1) =f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.

答案:A

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1 4. 若数列{an}的通项公式 an= , 记 cn=2(1-a1)· (1 ?n+1?2 - a2)?(1 - an) ,试通过计算 c1 , c2 , c3 的值,推测 cn = ________.

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? 1? 3 解析:c1=2(1-a1)=2×?1- ?= , 4? 2 ? ? 1? ? 1? 4 c2=2(1-a1)(1-a2)=2×?1-4?×?1-9?=3, ? ? ? ?

c3 = 2(1 - a1)(1 - a2)(1 - a3) = 2×
? n+2 1? 5 ? ? × 1- = ,故由归纳推理得 cn= . 16? 4 ? n+1

? 1? ?1- ? 4? ?

×

? 1? ?1- ? 9? ?

n+2 答案: n+1

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5 . 设数列 {an}满足 a1 = 3 , an + 1 = a 2 n - 2nan + 2 , n = 1,2,3,?. (1)求 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需 证明); (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,试求使得 Sn<2n 成立的 最小正整数 n,并给出证明.

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解:(1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想 an=2n+1. n?3+2n+1? 2 (2)Sn= =n +2n, 2 使得 Sn<2n 成立的最小正整数 n=6. 下证:n≥6(n∈N*)时都有 2n>n2+2n. ①n=6 时,26>62+2×6,即 64>48 成立;

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②假设 n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k 成立,那么 2k
+1

= 2· 2k>2(k2 + 2k) = k2 + 2k + k2 + 2k> k2 + 2k + 3 + 2k = (k+

1)2+2(k+1),即 n=k+1 时,不等式成立; 由①②可得,对于任意的 n≥6(n ∈ N*) 都有 2n>n2+ 2n 成立.

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温 馨 提 示

请 做:课 时 作 业 43
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温 馨 提 示

请 做:第六章单元质量检测
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第六章 不等式、推理与证明
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第六章:不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理与证明
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