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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.8 解三角形的综合应用 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 4.8 解三角形的综合应用 理

1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方叫仰角, 目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

2.方向角 相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°等. 3.

方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α (如图②). 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为 α +β = 180°.( × ) × )

π (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0, ].( 2

(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √ ) (4)如图,为了测量隧道口 AB 的长度,可测量数据 a,b,γ 进行计算.( √ )

1.海面上有 A,B,C 三个灯塔,AB=10 n mile,从 A 望 C 和 B 成 60°视角,从 B 望 C 和 A
1

成 75°视角,则 BC=________ n mile. 答案 5 6 解析 如图,在△ABC 中,

AB=10,∠A=60°,
∠B=75°, ∴ 10 = , sin 60° sin 45°

BC

∴BC=5 6. 2.某人向正东方向走 x 千米后,他向右转 150°,然后朝新方向走 3 千米,结果他离出发点 恰好为 3千米,则 x 的值是________. 答案 3或 2 3

解析 依题意,

x2+9-2×3xcos 30°=( 3)2, x2-3 3x+6=0,
(x- 3)(x-2 3)=0, ∴x1= 3或 x2=2 3. 3. 如图, 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内, 若飞机的高度为海拔 18 km, 速度为 1 000 km/h, 飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°,则山顶的海拔高 度为________ km(精确到 0.1 km,参考数据: 3≈1.732).

答案 6.6 1 50 解析 ∵AB=1 000× = km, 60 3

AB 50 ∴BC= ·sin 30°= km. sin 45° 3 2
50 50 ∴航线离山顶 h= ×sin 75°= ×sin(45°+30°) 3 2 3 2 ≈11.4 km. ∴山高为 18-11.4=6.6 km. 4.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C,两船航行方向的夹角为 120°,两船的航行 速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则下午 2 时两船之间的距离是________n mile.

2

答案 70 解析 设两船之间的距离为 d, 则 d =50 +30 -2×50×30×cos 120°=4 900, ∴d=70,即两船相距 70 n mile. 5.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若向量 p=(4,
2 2 2

a2+b2-c2),q=( 3,S)满足 p∥q,则 C=________.
答案 π 3
2 2 2

解析 由题意得 p∥q? 4S= 3(a +b -c ), 1 ?a +b -c ?? sin C= 3cos C 2 2 2 又 S= absin C,所以 2absin C= 3(a +b -c )? sin C= 3? ? 2 ? 2ab ? ? tan C= 3, π 解得 C= . 3
2 2 2

题型一 求距离、高度问题 例 1 (1)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距 离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A,B 两点的距离为________ m.

(2)(2015·湖北)如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一 山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上, 仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m.

答案 (1)50 2

(2)100 6

解析 (1)由正弦定理得

3

AC·sin∠ACB AB= = sin B

50× 1 2

2 2

=50 2(m).

(2)在△ABC 中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正

BC AB BC 600 弦定理得 = ,即 = ,所以 BC=300 2. sin∠BAC sin∠ACB sin 30° sin 45°
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300 2·tan 30°=100 6. 思维升华 求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平线的夹角;理解方向角的概念; (2)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解; 若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. (1)一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°的方向上,距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海 里/小时. (2)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得树尖的仰角 为 30°,45°,且 A,B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为________m.

17 答案 (1) 6 2

(2)30+30 3

解析 (1)由题意知,在△PMN 中,PM=68 海里,∠MPN=75°+45°=120°,∠MNP=45°.

MN 68 34 6 由正弦定理,得 = ,解得 MN=34 6海里,故这只船航行的速度为 = sin 120° sin 45° 4
17 6 海里/小时. 2 (2)在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60, sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= 6- 2 , 4 由正弦定理得 = , sin 30° sin 15°
4

2 3 2 1 × - × = 2 2 2 2

PB

AB

∴PB=

1 ×60 2

=30( 6+ 2), 6- 2 4 2 2

∴树的高度为 PB·sin 45°=30( 6+ 2)× =(30+30 3)m. 题型二 求角度问题

例 2 (1)如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相 等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的______方向. (2)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m,50 m,

BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD=
________. 答案 (1)北偏西 10° (2)45° 解析 (1)由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°, 又 AC=BC,所以∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°, 所以灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10°. (2)依题意可得 AD=20 10 m,AC=30 5 m,又 CD=50 m,所以在△ACD 中,由余弦定理得

AC2+AD2-CD2 ?30 5?2+?20 10?2-502 cos∠CAD= = 2AC×AD 2×30 5×20 10
= 2 = ,又 0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张 6 000 2 2 6 000

角为 45°. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义. (2)分析题意, 分清已知与所求, 再根据题意画出正确的示意图, 这是最关键、 最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用. (2015·南京模拟)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射 击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确 瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM= 30°,则 tan θ 的最大值是________.(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)

5

答案

5 3 9

解析 如图,过点 P 作 PO⊥BC 于点 O, 连结 AO,则∠PAO=θ . 设 CO=x m,则 OP= 3 x m. 3

在 Rt△ABC 中,AB=15 m,AC=25 m, 所以 BC=20 m. 4 所以 cos∠BCA= . 5 所以 AO=
2

4 2 625+x -2×25x× 5

= x -40x+625(m). 3 x 3 3 3 40 625 1- + 2

所以 tan θ =

x2-40x+625



x

x



3 3

?25-4?2+ 9 ? x 5? 25 ? ?

.

3 3 5 3 25 4 125 当 = ,即 x= 时,tan θ 取得最大值为 = . x 5 4 3 9 5 题型三 三角形与三角函数的综合问题 例 3 (2015·成都外国语学校期末)已知函数 f(x)=

? ?π ? ?π ? 2?π 2 3sin ? +x?+2sin? +x?cos? +x?. ?4 ? ?4 ? ?4 ?
(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且角 A 满足 f(A)= 3+1.若 a=3,

BC 边上的中线长为 3,求△ABC 的面积 S.

6

解 (1)由题意知,

? ? ?? ? ? f(x)= 3?1-cos? +2x??+sin? +2x? ?
π ?2

??

π ?2

?

= 3(1+sin 2x)+cos 2x = 3+ 3sin 2x+cos 2x π? ? = 3+2sin?2x+ ?, 6? ? π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 3 6 ∴函数 f(x)的单调递增区间为

?kπ -π ,kπ +π ?,k∈Z. ? ? 3 6? ?
(2)由 f(A)= 3+1,得 π? 1 ? sin?2A+ ?= , 6? 2 ? π π 5π π ∴2A+ = 或 ,即 A=0 或 . 6 6 6 3 又 A 为△ABC 的内角,∴A= π 由 A= ,a=3, 3 → → → 得|BC|=|AC-AB|=a=3,① → → 又 BC 边上的中线长为 3,知|AB+AC|=6,② → → 27 联立①②,解得AB·AC= , 4 π 27 → → 即|AB|·|AC|·cos = , 3 4 → → 27 ∴|AB|·|AC|= . 2 ∴△ABC 的面积为 π . 3

S= |AB|·|AC|·sin

1 → 2



π 27 3 = . 3 8

思维升华 三角形与三角函数的综合问题,要借助三角函数性质的整体代换思想,数形结合 思想,还要结合三角形中角的范围,充分利用正弦定理、余弦定理解题.

7

π 如图,在△ABC 中,已知 B= ,AC=4 3,D 为 BC 边上一点.若 AB=AD,则 3 △ADC 的周长的最大值为________. 答案 8+4 3 π 解析 ∵AB=AD,B= , 3 ∴△ABD 为正三角形. 在△ADC 中,根据正弦定理,可得

AD
sin C

4 3 DC = = , 2π π sin sin? -C? 3 3

π ∴AD=8sin C,DC=8sin( -C), 3 ∴△ADC 的周长为

AD+DC+AC=8sin C+8sin( -C)+4 3
=8(sin C+ 3 1 cos C- sin C)+4 3 2 2

π 3

1 3 =8( sin C+ cos C)+4 3 2 2 π =8sin(C+ )+4 3, 3 2π π π π 2π ∵∠ADC= ,∴0<C< ,∴ <C+ < , 3 3 3 3 3 π π π ∴当 C+ = ,即 C= 时, 3 2 6 △ADC 的周长的最大值为 8+4 3.

9.函数思想在解三角形中的应用

典例 (14 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时, 轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速 度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航
8

行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 思维点拨 (1)利用三角形中的余弦定理, 将航行距离表示为时间 t 的函数, 将原题转化为函 数最值问题;(2)注意 t 的取值范围. 规范解答 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,[1 分] 则 S= 900t +400-2·30t·20·cos?90°-30°? = 900t -600t+400=
2 2

1 2 900?t- ? +300.[3 分] 3

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3.[6 分] 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.[7 分] (2)设小艇与轮船在 B 处相遇. 则 v t =400+900t -2·20·30t·cos(90°-30°),[9 分] 600 400 2 故 v =900- + 2 .[10 分]
2 2 2

t

t

∵0<v≤30, 600 400 2 3 2 ∴900- + 2 ≤900,即 2- ≤0,解得 t≥ . t t t t 3 2 又 t= 时,v=30, 3 2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20.[13 分] 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/小时.[14 分] 温馨提醒 (1)三角形中的最值问题, 可利用正弦、 余弦定理建立函数模型(或三角函数模型), 转化为函数最值问题. (2)求最值时要注意自变量的范围,要考虑问题的实际意义.

[方法与技巧] 1.利用解三角形解决实际问题时,(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个 三角形模型;(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定 相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义. 2.在三角形和三角函数的综合问题中,要注意边角关系相互制约,推理题中的隐含条件.
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[失误与防范] 1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一 个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易出现错误.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.在相距 2 km 的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A,C 两点 之间的距离为________ km. 答案 6

解析 如图,在△ABC 中,由已知可得∠ACB=45°, ∴

AC 2 = , sin 60° sin 45°
3 = 6. 2

∴AC=2 2×

2.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后 到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯 塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是________ 海里. 答案 10 2 解析 如图所示,易知,

在△ABC 中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°, 根据正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 解得 BC=10 2(海里). 3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若 客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min,则客船在静水中的 速度为________ km/h.

BC

AB

10

答案 6 2 解析 设 AB 与河岸线所成的角为 θ ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知,sin θ = 0.6 3 4 1 4 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2 = ,从而 cos θ = ,所以由余弦定理得? v? =? ×2? +1 -2× ×2×1× ,解得 10 10 1 5 5 10 5 ? ? ? ?

v=6 2.
4.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的 高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于________ m.

答案 120( 3-1) 解析 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m, 在 Rt△ACD 中,

CD=

AD 60 = tan∠ACD tan 30°

=60 3 m, 在 Rt△ABD 中,BD= =60(2- 3)m, ∴BC=CD-BD=60 3-60(2- 3)=120( 3-1)m. 5.如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个测点 C 与 D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点 C 测 得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB 等于________. 答案 15 6 解析 在△BCD 中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.

AD 60 60 = = tan∠ABD tan 75° 2+ 3

BC 30 由正弦定理得 = , sin 30° sin 135°
所以 BC=15 2. 在 Rt△ABC 中,

AB=BCtan∠ACB=15 2× 3=15 6.
6.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测 得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部的连线成 30°角,则两条船相距____m.

11

答案 10 3 解析 如图,OM=AOtan 45°=30 (m),

ON=AOtan 30°=
=10 3 (m),

3 ×30 3

在△MON 中,由余弦定理得,

MN=

900+300-2×30×10 3×

3 2

= 300=10 3 (m). 7 .在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30°,60°,则塔高为 ________m. 答案 400 3

解析 如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°, ∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°. 400 又 AB=200 m,∴AC= 3 m. 3 在△ACD 中,由余弦定理得,

AC2=2CD2-2CD2·cos 120°
=3CD , ∴CD= 1 3
2

AC=

400 m. 3

8.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,且内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a+b=cx,则实数 x 的取值范围是________. 答案 (1, 2] 解析 x=

a+b sin A+sin B = =sin A+cos A c sin C

? π? ? π? = 2sin?A+ ?.又 A∈?0, ?, 4? 2? ? ?
∴sin π π ? π? <sin?A+ ?≤sin ,即 x∈(1, 2]. 4 4 2 ? ?

9.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙, 刚好用 2 小时 追上.

12

(1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 解 (1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α . 在△ABC 中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=12 +20 -2×12×20×cos 120°=784,解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为 =14 海里/小时. 2 (2)在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α ,由正弦定理,得 , sin 120° 12× 28 3 2
2 2

BC

AB
sin α



BC

ABsin 120° 即 sin α = = BC

3 3 = . 14

10.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA. 解 (1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°. 在△PBA 中, 1 1 7 2 由余弦定理得 PA =3+ -2× 3× cos 30°= , 4 2 4 故 PA= 7 . 2

(2)设∠PBA=α ,由已知得 PB=sin α . 3 sin α 在△PBA 中,由正弦定理得 = , sin 150° sin?30°-α ? 化简得 3cos α =4sin α , 所以 tan α = 3 3 ,即 tan∠PBA= . 4 4 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在 喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°, 沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点

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B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是________ m.
答案 50 解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,在 Rt△BCD 中,∠CBD =30°,BC= 3h. 在△ABC 中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,根据余弦定理得, ( 3h) =h +100 -2·h·100·cos 60°,即 h +50h-5 000= 0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 12.如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10∶00 到达 B 处,此时又测得 灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它相距 8 2n mile.此船的航速是 ________ n mile/h. 答案 32 解析 设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中,AB= v,BS=8 2,∠BSA=45°, 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,∴v=32. sin 30° sin 45° 13.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该 小区的一个出入口, 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从
2 2 2 2

O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步
行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米. 答案 50 7 解析 如图,连结 OC,在△OCD 中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°. 由余弦定理得 OC =100 +150 -2×100×150×cos 60°=17 500,解 得 OC=50 7. 14.如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上 B,D 两点,测出四边形 ABCD 各边 的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且 A,B,C,D 四点共圆,则 AC 的长为 ________ km.
2 2 2

答案 7 解析 因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 D+B=π .

14

在△ABC 和△ADC 中, 由余弦定理可得 8 +5 -2×8×5×cos(π -D)=3 +5 -2×3×5×cos

2

2

2

2

D,cos D=- ,代入得 AC2=32+52-2×3×5×?- ?=49, 2
故 AC=7. 15.在斜度一定的山坡上的一点 A 处测得山顶上一建筑物顶端相对于山坡 的斜度为 15°,如图所示,向山顶前进 100 m 后,又从 B 点处测得斜度 为 45°,设建筑物的高为 50 m.设此山对于地平面的斜度为 θ ,则 cos θ =_____________________________________________. 答案 3-1

1 2

? 1? ? ?

解析 在△ABC 中,∠BAC=15°,∠CBA=180°-45°=135°,所以∠ACB=30°. 又 AB=100 m, 100 BC 100sin 15° 由正弦定理,得 = ,即 BC= . sin 30° sin 15° sin 30° 100sin 15° 在△BCD 中,因为 CD=50,BC= ,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ , sin 30° 100sin 15° sin 30° 50 由正弦定理,得 = , sin 45° sin?90°+θ ? 解得 cos θ = 3-1.

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