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5.1.3.2球的体积和表面积


球的体积和表面积
设球的半径为R,则有体积公式和表面积公式

4 3 球的体积: V ? ?R 3

A

R
O

球的表面积: S ? 4?R

2

B

球的表面积等于球的大圆面积的4倍

例1:(1)已知球的直径为6cm,求它的表 面积和体积。

(2)已知球的表面积为64 ? ,求它的体积。

(1)S球 ? 4? R ? 36?
2

4 3 V球 = ? R ? 36? 3

(2) ? S 球 =4? R =64?, ? R=4
2

4 256? 3 ? V球 = ? R = 3 3

例2 如图:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证: 1、球的体积等于圆柱体积的 2 倍。 证明:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R。 因为

3

V球

4 3 ? πR 3
2 3

V 圆柱 ? πR ? 2R ? 2? R
所以,

R

V球

2 ? V圆 柱 3

例2 如图:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证:2、球的表面积等于圆柱的侧面积。 证明:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高 为2R。

(2)因为

S 球 ? 4?R

2

S圆柱侧 ? 2? R ? 2R ? 4? R
所以,

2

R

S球 ? S圆柱侧

例题讲解
例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上,问球O的表 面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
D A D1 A1 D A D1 A1 B B1 C O C1 B

C

略解: Rt?B1 D1 D中 : ( 2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

3 R? a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

O
C1 B1

●探索延拓
有关球的切、接问题

有三个球,第一个球内切于正方体, 第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球 过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面 积之比. ? [探究] 有关球的内切和外接问题,作出轴截面 研究. ? [解析] 设正方体的棱长为a,这三个球的半径 分别为r1,r2,r3,球的表面积分别为S1,S2, S3.作出截面图,分别求出三个球的半径.
?

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的 中心,经过四个切点及球心作截面,如图(1)所示,有 2r1=a, a 2 所以 r1=2,所以 S1=4πr2 = πa . 1 (2)球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正 2 方体的对角面得截面,如图(2)所示,有 2r2= 2a,所以 r2= 2
2 a,所以 S2=4πr2 = 2 πa . 2

(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面 3 得截面, 如图(3)所示, 有 2r3= 3a, 所以 r3= 2 a, 所以 S3=4πr2 3 =3πa2. 综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

规律总结:常见的几何体与球的切、接问 题的解决策略: ? (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题 时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般 情况下,由于球的对称性,球心总在几何的特 殊位置,比如中心、对角线的中点等. ? (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关 数据求球的直径或半径,关键是根据“切点” 和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化 为平面问题来计算.
?

课堂练习

练习一
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3? cm3. 这个球的体积为___

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.

课堂练习

练习二
4.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____ 9? .
3 , 5 , 15,

5.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π, 则两球的直径之差为______ 4 . 6.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 12 3 3? 这个大铅球的表面积是______.

课堂小结
1.熟练掌握球的体积、表面积公式:

4 3 ①V ? ?R 3 ②S ? 4?R 2
2.影响球的表面积及体积的只有一个元素, 就是球的半径.

运用类似的方法我们还 能证实这样一个有趣的 结论 : 一个底面半径和高都等 于 R 的圆柱 , 挖去一个以上底 面为底面 , 下底面圆心为顶点的圆 锥后, 所得几何体的 体积与一个半径为 R的半球的体积相等 ?图1 ? 3 ? 16?. 1 1 2 2 2 由此得到 V球 ? ? R ? R ? ? R R ? ? R 3 , 所以 2 3 3

4 V球 ? ? R 3 . 3
图1 ? 3 ? 16

单击图标, 操作打开的几何画板 , 直观地领会由祖 日 恒原理 导出球体积公式.


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