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利用空间向量求二面角的平面角


利用法向量求二面角
授课教师:确肯 时间:2016.04.19

【教学目标】 1.让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角 大小的方法; 让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系; 并能解决与 之有关的简单问题. 2.通过本节课的学习,培养学生观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象 能力. 3.培养

学生主动获取知识的学习意识,激发学生学习兴趣和热情,获得积极的情感体验. 【教学重点】 利用空间向量计算二面角的大小 【教学难点】 求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系 【教学方式】 体验式 【课时安排】 1 课时 【教学过程】 一、复习引入: 1.二面角的概念: 二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二 面角的棱,每个半平面叫做二面角的面 若棱为 l ,两个面分别为 ? , ? 的二面角记为
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? ?l ? ? .
2.二面角的平面角:

O B (1) 过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA, OB , 则 ?A
叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角
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(2)一个平面垂直于二面角 ? ? l ? ? 的棱 l ,且与两半平面交线分别为 OA, OB, O 为垂 足,则 ?AOB 也是 ? ? l ? ? 的平面角
?

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说明: (1)二面角的平面角范围是 [0 ,180 ] ; (2)二面角的平面角为直角时, 则称为直二面角, 组成直二面角的两个平面互相垂直 引导:请学生归纳已学过的求二面角的大小的方法,教师作必要的补充与引导.明确本节 课的课题. 二.求二面角的平面角: 【回顾复习定义法求二面角的平面角】 例 1: 在棱长为 1 的正方体 AC1 中, 求平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角正弦值大 小. 解:过 C1 作 C1O ? BD 于点 O ,
D
O

?

D1 A1 B1

C1

C

A

B

∵正方体 AC1 ,∴ CC1 ? 平面 ABCD , ∴ ?COC1 为平面 C1BD 与平面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角, 可以求得: sin ?COC1 ?

6 ,所以,平面 C1BD 与底面 ABCD 所成 3
6 3

二面角 C1 ? BD ? C 的平面角的正弦值大小为

【回顾复习用三垂线法求二面角的平面角】例 2.如图, AB ? 平面 BCD , BD ? CD ,若 AB ? BC ? 2 BD ,求二面角 B ? AC ? D 的正弦值 分析:要求二面角的正弦值,首先要找到二面角的平面角 解: 过 D 作 DF ? BC 于 F , 过 D 作 DE ? AC 于 E , 连结 EF , 则 AC 垂直于平面 DEF , ? FED 为二面角 B ? AC ? D 的平面角, S 又 AB ? 平面 BCD , ∴ AB ? DF , AB ? CD , ∴ DF ? 平面 ABC , ∴ DF ? EF C B 又∵ AB ? CD , BD ? CD , ∴ CD ? 平面 ABD ,∴ CD ? AD , 设 BD ? a ,则 AB ? BC ? 2a , A D 在 Rt ?BCD 中,
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S?BCD ?

1 1 3 BC ? DF ? BD ? CD ,∴ DF ? a 2 2 2

DF 15 ? 同理, Rt ?ACD 中, DE ? a , ∴ sin ?FED ? DE 2 2

3 a 10 2 ? , 5 15 a 2 2

所以,二面角 B ? AC ? D 的正弦值为

10 . 5

让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系, 引导学生用法向量的夹 ?? ? ?? ? 角解决。 ?? ? n

?

n2

2

?

n1
?

?

?? ? n1
cos ?

l

?

?? ?? ? cos ? n1 , n2 ?

cos ?

?

? ? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?

通过观察探究利用法向量解决: 例 1:解:建立空间直角坐标系得:

DC1 ? (0,1,1) , DB ? (1,1,0) , DC ? (0,1,0)
设平面 C1 BD 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 CBD 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,可 得

n1 ? (1,?1,1) , n2 ? (0,0,1) , cos n1 , n2 ?
例 2:解:建立空间直角坐标系得:

3 6 ,即二面角的平面角 sin ? ? 3 3

AC ? (0,2,?2), BA ? (0,0,2), AD ? (

3 1 , ,?2) 2 2

设平面 BAC 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 DAC 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 得:

n1 ? (0,0,1) , n2 ? (1,

3 3 15 , ) , cos n1 , n2 ? 3 3 5
10 . 5

所以,二面角 B ? AC ? D 的正弦值为

三.归纳小结: 本节课回忆巩固了求解二面角的一些方法, 并且通过类比用空间向量知识求 解二面角, 我们感受到空间向量的巧妙之处, 但要让同学们认识到法向量之间的夹角与二面 角的平面角的异同之处。 四.作业 第 112 页 A 组:6、8


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