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1-3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词


1-3 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

1.下列命题中的假命题是( A.? x∈R,lnx=0
2

)

B.? x∈R,tanx=
x

? 2

C.? x∈R,x >0 D.? x∈R,3 >0 2.下列说法中正确的是( ) A.“x>5”是“x>3”的必要不充分条件 2 2 B.命题“对? x∈R,恒有 x +1>0”的否定是“? x∈R,使得 x +1≤0” 2 C.? m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是奇函数 D.设 p,q 是简单命题,若 p∨q 是真命题,则 p∧q 也是真命题 3.已知命题 p:若(x-1)(x-2)≠0,则 x≠1 且 x≠2;命题 q:存在实数 x0,使 2x0<0. 下列选项中为真命题的是( ) A. ? p B.q C. ? p∨q D. ? q∧p 3 4. 命题 p: 函数 f(x)=x -3x 在区间(-1,1)内单调递减, 命题 q: 函数 f(x)=|sin2x| 的最小正周期为 π ,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.( ? p)∨q C.p∨q D.( ? p)∧( ? q) 2 5.已知“命题 p:? x∈R,使得 ax +2x+1<0 成立”为真命题,则实数 a 满足( ) A.[0,1) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1] 2 2 6.已知命题 p:? x∈R,x +1<2x;命题 q:若 mx -mx-1<0 恒成立,则-4<m≤0,那 么( ) A.“ ? p”是假命题 B.“ ? q”是真命题 C.“p∧q”为真命题 D.“p∨q”为真命题 7.已知命题 p:?x∈(1,+∞),log2x<log3x;命题 q:?x∈(0,+∞),2-x=lnx. 则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.( ? p)∧q C.p∧( ? q) D.( ? p)∧( ? q) 8.给出下面四个命题:

1 x 1 x ) <( ) ; 2 3 p2:?x∈(0,1), log 1 x> log 1 x;
p1:?x∈(0,+∞),(
2 3

p3:?x∈(0,+∞),(

1 x ) > log 1 x; 2 2

p4:?x∈(0,

1 1 x ),( ) < log 1 x. 3 2 3

其中的真命题是( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 2 9.若函数 f(x)=x -2x,g(x)=ax+2(a>0),?x1∈[-1,2],?x0∈[-1,2],使 g(x1) =f(x0),则 a 的取值范围是( ) A.(0,

1 ] 2

B.[

1 ,3] 2

C.[3,+∞)
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D.(0,3]

10.已知命题 p:? x∈R,使 tanx=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}.下 列结论:①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧( ? q)”是假命题;③命题“( ? p) ∨q”是真命题;④命题“( ? p)∨( ? q)”是假命题.其中正确的是________.(填所 有正确命题的序号) 2 11.已知命题 p:m∈R,且 m+1≤0,命题 q:?x∈R,x +mx+1>0 恒成立,若 p∧q 为 假命题,则 m 的取值范围是________. 12.下列说法正确的是________(将所有正确的序号填在横线上). ①直线 l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0,则 l1∥l2 的必要条件是 ab=1; 2 ②方程 x +mx+1=0 有两个负根的充要条件是 m>0; ③命题“若|a|=|b|,则 a=b”为真命题; 2 ④“x<0”是“x -3x+2>0”的充分不必要条件. 13.设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ ax,在 x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命 题,求实数 a 的取值范围. 2 14.已知命题 P:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增;命题 Q:不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 2 2 15.已知命题 p:函数 f(x)=x +ax-2 在[-1,1]内有且仅有一个零点.命题 q:x + 3(a+1)x+2≤0 在区间[
2 2

2

1 3 , ]内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题,求实数 a 的取 2 2

值范围. 2 2 16.已知命题 p:方程 2x +ax-a =0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足 2 不等式 x0 +2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

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参考答案 1.C 【解析】 当 x=1 时, lnx=0, 所以排除 A; 因为 y=tanx∈R, 所以命题“? x∈R, tanx=
x

? ” 2

为真命题,所以排除 B;命题“? x∈R,3 >0”为真命题,所以排除 D.应选 C. 2.B 2 【解析】x>5 是 x>3 的充分不必要条件,A 错;函数 f(x)=x +mx 不可能是奇函数,C 错;p ∨q 为真时,p∧q 不一定为真,D 错,选 B 项. 3.D 【解析】由题知,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,所以 ? q∧p 为真命题,选 D. 4.C 2 3 【解析】由 f′(x)=3x -3<0,解得-1<x<1,故函数 f(x)=x -3x 在区间(-1,1)内单调 递减,即命题 p 为真命题;函数 y=sin2x 的最小正周期为 π ,则函数 f(x)=|sin2x|的最 π 小正周期为 ,即命题 q 为假命题.由于 p 真、q 假,故 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题; 2 由于 ? p 假、q 假,故( ? p)∨q 为假命题;由于 ? p 假, ? q 真,故( ? p)∧( ? q)为假命 题. 5.B 【解析】 若 a=0 时, 不等式 ax +2x+1<0 等价为 2x+1<0, 解得 x<-
2

1 , 结论成立. 当 a≠0 2

时,令 f(x)=ax +2x+1,要使 ax +2x+1<0 成立,则满足 ? a<0,综上 a<1,选 B. 6.D 2 2 【解析】对于命题 p,x +1-2x=(x-1) ≥0, 2 即对任意的 x∈R,都有 x +1≥2x, 因此命题 p 是假命题. 2 对于命题 q,若 mx -mx-1<0 恒成立, 2 则当 m=0 时, mx -mx-1<0 恒成立; 2 当 m≠0 时,由 mx -mx-1<0 恒成立得

2

2

?a ? 0 或 a<0,解得 0<a<1 或 ?? ? 0

?m ? 0 ,即-4<m<0. ? 2 ? ? ? m ? 4m ? 0
因此若 mx -mx-1<0 恒成立,则-4<m≤0, 故命题 q 是真命题. 因此,“ ? p”是真命题,“ ? q”是假命题,“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题,选 D. 7.B 【解析】函数 y=log2x 与 y=log3x 的图象如图(1)所示,函数 y=2-x 与 y=lnx 的图象如 图(2)所示.如图可知,p 假 q 真,故选 B.
2

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8.D 【解析】当 x>0 时,(

1 x x 3 x 1 x 1 x ) ×3 =( ) >1,总有( ) >( ) ,因此命题 p1 是假命题;当 x= 2 2 2 3
1

1 1 1 1 1 ? 1 ?2 时,log 1 =1> log 1 =log32,因此命题 p2 是真命题; 当 x= 时,log 1 =1> ? ? 2 2 2 2 2 ?2? 2 3 2


1 1 1 x 1 0 1 ,因此命题 p3 是假命题;当 x∈(0, )时,( ) <( ) =1= log 1 < log 1 x,即 3 2 2 3 2 3 3

(

1 x ) < log 1 x,因此命题 p4 是真命题.综上所述,其中的真命题是 p2,p4,选 D. 2 3

9.A 【解析】由于函数 g(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在 x0∈[-1,2]使得 g(x1) =f(x0),因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集.函数 f(x)的值域是[- 1,3],函数 g(x)的值域是[2-a,2+2a],则有 2-a≥-1 且 2+2a≤3,即 a≤ 故 a 的取值范围是(0,

1 ,又 a>0, 2

1 ]. 2

10.①②③④ 2 【解析】命题 p:? x∈R,使 tanx=1 正确,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也正 确,∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧( ? q)”是假命题;③命题“( ? p)∨q”是 真命题;④命题“( ? p)∨( ? q)”是假命题. 11.(-∞,-2]∪(-1,+∞) 2 【解析】命题 p 是真命题时,m≤-1,命题 q 是真命题时,m -4<0,解得-2<m<2,所以 p ∧q 是真命题时,-2<m≤-1,故 p∧q 为假命题时,m 的取值范围是 m≤-2 或 m>-1. 12.①④ 【解析】直线 l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0,则 l1∥l2 的充要条件是 ab=1 且 c≠3b,所 2 以 ab = 1 是 l1 ∥ l2 的必要条件,故①正确.方程 x + mx + 1 = 0 有两个负根等价于

? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,解得 m≥2,故②错误.若|a|=|b|,则 a=b 为假命题,故③错误.解 ? 2 ?? ? m ? 4 ? 0
答案第 2 页,总 4 页

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不等式 x -3x+2>0 得 x<1 或 x>2, 所以 x<0 是 x -3x+2>0 的充分不必要条件, 故④正确. 13.[1,2] 【解析】解:p:Δ <0 且 a>0,故 a>2;

2

2

2 +1 对?x∈(-∞,-1)恒成立, x 2 设 g(x)=2x- +1, x
q:a>2x- 则 g(x)在(-∞,-1)上单调递增,g(x)<1,故 a≥1. “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假. 故 1≤a≤2,则实数 a 的取值范围为[1,2]. 14.(-2,2] 【解析】解:命题 P:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增, ∴0<a<1. 2 又∵命题 Q:不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立, ∴a=2 或 ?

? ?a ? 2 ? 0 2 ? ?? ? 4 ? a ? 2 ? ? 16 ? a ? 2 ? ? 0

即-2<a≤2. ∵P∨Q 是真命题, ∴a 的取值范围是(-2,2]. 15.{a|a>-

5 } 2

【解析】解:先考查命题 p: 若 a=0,则容易验证不合题意; 故?

? ?a ? 0 ? ? f ? ?1? ? f ?1? ? 0

解得 a≤-1 或 a≥1. 再考查命题 q: ∵x∈[

1 3 , ] , 2 2 2 1 3 )在[ , ]上恒成立. x 2 2

∴3(a+1)≤-(x+ 易知(x+

2 9 )max= , x 2 9 故只需 3(a+1)≤- 即可. 2 5 解得 a≤- . 2
∵命题“p 且 q”是假命题, ∴命题 p 和命题 q 中一真一假或都为假. 当 p 真 q 假时,-

5 <a≤-1 或 a≥1; 2

当 p 假 q 真时,a∈?;
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当 p 假 q 假时,-1<a<1. 综上,a 的取值范围为{a|a>-

5 }. 2

16.(-∞,-2)∪(2,+∞) 2 2 【解析】解:由 2x +ax-a =0 得(2x-a)(x+a)=0, ∴x=

a 或 x=-a, 2 a |≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2. 2
2

∴当命题 p 为真命题时|

又“只有一个实数 x0 满足 x0 +2ax0+2a≤0”, 2 即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, 2 ∴Δ =4a -8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴p 假 q 假,∴|a|>2,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).

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