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高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分:第5节 导数与函数的极值


第 5 节 导数与函数的极值 【基础知识】 1.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小, f′(a)=0, 而且 在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做 函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0, 而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b) 叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 【规律技巧】 1.求函数 f(x)极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取 极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. 【典例讲解】 例 1 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的 切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex. 【拓展提升】 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注 意分析这个零点是不是原函数的极值点. (2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在 某区间上单调函数没有极值. ex 【变式探究】 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 【针对训练】 1、设函数 f ? x ? ? ln x ? 1 2 1 x ? x. 4 2 (1)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (2)若 g ? x ? ? x? f ? x ? ? 数 n 的值. 2、设函数 f(x)满足 x f '(x)+2xf (x)= A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 【答案】D 2 ? ? 1 2 ? x ? 1? ,当 x ? 1 时, g ? x ? 在区间 ?n, n ? 1? 内存在极值,求整 4 ? ex e2 ,f (2)= , 则 x>0 时,f(x)( x 8 ) 【练习巩固】 1、对二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a 为非零常数) ,四位同学分别给出下列结论,其中 2 有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( A. ?1 是 f ( x) 的零点 C.3 是 f ( x) 的极值 【答案】A ) B.1 是 f ( x) 的极值点 D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上 2.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 【解析】f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2,当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,显然当 x=2

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