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【人教A版数学】2012版大一轮复习-1.1


第一章

集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念及其基本运算 基础知识 自主学习
要点梳理 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、 无序性 . (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于关系,用符号 ∈ 或 ? 表示.

区间法 . 图示法 、 列举法 、 描述法 、 (3)集合的表示法



(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数 集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分 为 有限集 、 无限集 、 空集 .

2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A, 则 A ? B (或 B ? A ). ? ? ;A ? A;A?B,B?C?A ? C. 若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非 空子集有
2n-1 个,A 的非空真子集有 2n-2

个.

(2)集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B .

3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 交集:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B} ; 补集:?UA= {x|x∈U,且 x?A} (2)集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. . U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集.

[难点正本 疑点清源] 1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征,尤 其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用.在解决含参数 问题时,要注意检验,否则很可能会因为不满足“互异性”而 导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题 时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能 性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的情况. 3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集 合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是 0.{?}是含有 一个元素?的集合.??{0},??{?},?∈{?},{0}∩{?}=?.

基础自测 1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5}, B={1,3,5,7}, {2,4} 则 A∩(?UB)=________.

解析

?UB={2,4,6},A∩(?UB)={2,4}.

2.(2010· 江苏)设集合 A={-1,1,3}, B={a+2,a2+4}, A∩B={3},则实数 a 的值为________. 1
解析 义. 当 a+2=3,即 a=1 时,B={3,5},此时 A∩B={3}. 故 a=1. 因为 A∩B={3},当 a2+4=3 时,a2=-1 无意

3.已知集合 A={-1,0,4},集合 B={x|x2 -2x-3≤0,x∈N},全集为 U,则图中 阴影部分表示的集合是 A.{4} C.{4,5}
解析

( B ) B.{4,-1} D.{-1,0}

由题可知集合 B={0,1,2,3}, 阴影部分表示由属于

集合 A 但不属于集合 B 的元素组成的集合, 则阴影部分 表示的集合为{-1,4}.故选 B.

点评 从图形中读懂集合间的关系是解决本题的关键.

4.已知 等于

? 2 ? ? ? ?x| <1?,N={y|y= M=? x ? ? ?

x-1},则 N∩(?RM) ( B ) B.[0,2] D.[1,2]

A.(1,2) C.?
解析 因为
? 2 ? ? ? ?x| <1?={x|x>2 M=? x ? ? ?

或 x<0},所以?RM=

[0,2],又 N={y|y= x-1}=[0,+∞),故 N∩(?RM)= [0,2].

易误警示 求解集合 M、N 时易错.

题型分类
题型一 例 1 集合的基本概念

深度剖析

定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,

y∈B},设集合 A={0,1},B={2,3},则集合 A⊙B 的 所有元素之和为________. 思维启迪 集合 A⊙B 的元素:z=xy(x+y).求出 z 的 所有值,再求其和.
解析 这里给出了一个新的符号 A⊙B,实质上它就是

一个集合,其中的元素 z=xy(x+y),其中 x∈A={0,1}, y∈B={2,3}.可利用集合描述法中元素 z 的性质,简单 的分类讨论,求出 z 的所有可能的取值即可求得答案.

当 x=0 时,z=0;当 x=1,y=2 时,z=6;当 x=1, y=3 时,z=12. 故集合 A⊙B 中的元素有如下 3 个:0,6,12. 所有元素之和为 18.
答案 18
探究提高 理解集合和集合元素的特征属性, 是解决本

题的关键.在确定 z 的值时,要根据 x,y 的不同取值分 类讨论,体现了分类讨论的思想方法.

变式训练 1 设

? b ? ? ? ?a, ,1?={a2, a, b∈R, 集合? a ? a+b,0}, ? ?

则 a2 011+b2 012 的值为________. -1
b 解析 由于 a≠0,则a=0,∴b=0. ∴a2=1,又 a≠1,∴a=-1. 故 a2 011+b2 012=-1.

题型二

集合与集合的基本关系

例 2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B=
? ? 1 ? ? ?x|- <x≤2?. 2 ? ? ? ?

(1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试 说明理由. 思维启迪 在确定集合 A 时,需对 x 的系数 a 进行讨
论.利用数轴分析,使问题得到解决.



A 中不等式的解集应分三种情况讨论:

①若 a=0,则 A=R; ②若 a<0,则 ③若 a>0,则
? 4 ? 1? ? ?x| ≤x<- ?; A=? a a? ? ? ? ? 1 4? ? A=?x|-a<x≤a?. ? ? ? ?

(1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,

1 ?4 ?a>-2 则? ?-1≤2 ? a

?a<-8 ? ,∴? 1 ,∴a<-8. ?a≤-2 ?

当 a>0 时,若 A?B,如图,

1 ? 1 ?-a≥-2 则? ?4≤2 ?a

?a≥2 ? ,∴? ?a≥2 ?

.∴a≥2.

综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2.

(2)当 a=0 时,显然 B?A;当 a<0 时,若 B?A,如图,

1 ?4 ?a≥-8 ?a≤-2 ? 则? ,∴? 1 . 1 ?a>-2 ?- >2 ? ? a 1 ∴- <a<0;当 a>0 时,若 B?A,如图, 2

1 ? 1 ?-a≤-2 则? ?4≥2 ?a

?a≤2 ? ,∴? ?a≤2 ?

.∴0<a≤2.

1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2

(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1)、(2)知,a=2.
探究提高 在解决两个数集关系问题时, 避免出错的一

个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在 解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨 论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每 一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐 类讨论;④归纳结论.

变式训练 2 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x +a2-1=0}, (1)若 B?A,求 a 的值; (2)若 A?B,求 a 的值.
解 (1)A={0,-4}, ①当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0, 解得 a<-1; ②当 B 为单元素集时,a=-1,此时 B={0}符合题意; ③当 B=A 时,由根与系数的关系得: ?-2?a+1?=-4 ? ? 2 ,解得 a=1. ?a -1=0 ? 综上可知:a≤-1 或 a=1. (2)若 A?B,必有 A=B,由(1)知 a=1.

题型三

集合的基本运算

例 3 若集合 A={x|x2-2x-8<0},B={x|x-m<0}. (1)若 m=3,全集 U=A∪B,试求 A∩(?UB); (2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=A,求实数 m 的取值范围. 思维启迪


(1)分别求出集合 A、B,利用数轴分析.

(2)A∩B=A 转化为 A?B.
(1)由 x2-2x-8<0,得-2<x<4, ∴A={x|-2<x<4}. 当 m=3 时,由 x-m<0,得 x<3, ∴B={x|x<3}, ∴U=A∪B={x|x<4},?UB={x|3≤x<4}. ∴A∩(?UB)={x|3≤x<4}.

(2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 又 A∩B=?,∴m≤-2. (3)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 由 A∩B=A,得 A?B,∴m≥4.
探究提高 集合的基本运算包括交集、并集和补集.在

解题时要注意借助数轴或 Venn 图进行分析,并注意运 用补集的思想方法.

变式训练 3 (2010· 重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2 +mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. -3
解析 ∵?UA={1,2}, ∴A={0,3},∴0,3 是方程 x2+mx

=0 的两根,∴m=-3.

易错警示 1.忽略空集致误 试题: 分)已知集合 A={-1,1}, (5 B={x|ax+1=0}, 若 B?A,则实数 a 的所有可能取值的集合为____.
学生答案展示

{-1,1}
审题视角 (1)从集合的关系看,B?A,则 B=?或 B≠ 1 1 ?.(2)从集合的元素看,B≠?时,B 中的元素为-a,-a 1 1 必是 A 的元素,即-a=1 或-a=-1.

解析

当 a=0 时,B=??A,符合要求. ? 1? ? ? 当 a≠0 时,B=?-a??A. ? ? 1 1 ? ? ∴-a=1 或-a=-1,即 a=-1 或 a=1. ∴实数 a 的所有可能取值的集合为{-1,0,1}.
正确答案 {-1,0,1}
批阅笔记 本题考查的重点是集合的关系以及集合元素

的特征.在解答本题时,存在两个突出错误.一是极易 1 忽略集合 B 为?的情况; 二是忽视对 B 中的元素-a的值 为 1 或-1 的讨论.在解决类似问题时,一定要注意分 类讨论,避免误解.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.集合中的元素的三个性质,特别是无序性和互异性 在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符 号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合 理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的 取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可 借助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.

失误与防范 1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止 漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系; 二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他 情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常 用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是 空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB) =?这五个关系式的等价性.
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