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高中数学 2.3等差数列的前n项和教案(1) 新人教A版必修5


第五课时

2.3.1

等差数列的前 n 项和(一)

教学要求:掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项和公式解决一些 简单的与前 n 项和有关的问题. 教学重点:等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点:灵活运用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程: 一、复习准备: 1. 复习:等差数列的概念、通项公式、等差中项,等差数列的性质. 2. 提问:小明喜欢摆积木,幼儿园的老师给他布置了这样一个任务,要求他将一堆形状规则的 正方形积木摆放“整齐” ,最下面一层摆 13 个,往上一层摆 11 个,再往上一层摆 9 个, 、 、 、依 次往上,当摆到第 6 层时,问需要几个这样的正方形积木?如果已知小明将老师给的积木全部 摆完时, 最上层的积木恰有 3 个, 你能说出老师总共给了多少个这样的小正方形积木给小明吗? 二、讲授新课: 1. 教学等差数列前 n 项和公式: ① 等差数列前 n 项和的定义:一般地,我们称 a1 ? a2 ? a3 ? ? an 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 用 Sn 表示,即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an . n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ② 等差数列前 n 项和公式: S n ? 或 S n ? na1 ? .(实际解题时根据题目 2 2
给出的已知条件选择合适的方法来解决) 2. 例题讲解: 例 1、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 84, S20 ? 460 ,求 S28 . (学生练 ?学生板书 ?教师点评及规范) 练习:⑴在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a99 ? 200 ,求 S101 . ⑵在等差数列 ?an ? 中,已知

a15 ? a12 ? a9 ? a6 ? 20 ,求 S20 .
例 2、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n ?
2

1 n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数 2

列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 【结论】数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与 an 的关系: 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 ,即 an = ? 例 3、在等差数列 ?an ? 中,已知 S10 ? 310, S20 ? 1220 ,求 S30 . 结论:等差数列中 S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 ,成等差数列. (推广:等差数列中 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等差数列.) 3. 小结:等差数列前 n 项和的定义、公式,性质及其应用. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P52 页 第1题 2. 作业: 教材 P52-P53 页 A 组 第 2、3 题
用心 爱心 专心 1

?S1 ( n ? 1) . ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

第六课时 2.3.2 等差数列的前 n 项和(二) 教学要求:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式. 教学难点:灵活应用求和公式解决问题. 教学过程: 一、复习准备: 练习:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 差数列吗? 二、讲授新课: 项和的公式研究 的最值.

1 2 2 n ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等 4 3

1. 探究:一般地,如果一个数列 ?a n ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数, 且 p ? 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? (是, a1 ? p ? q ? r , d ? 2 p ). 由此,等差数列的前 n 项和公式 S n ? na1 ?

n(n ? 1)d d 2 d 可化成式子: S n ? n ? (a 1 ? )n , 2 2 2

当d≠0,是一个常数项为零的二次式. 2. 教学等差数列前 n 项和的最值问题: ① 例题讲解: 例 1、数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 50, d ? ?0.6 . (1)从第几项开始有 an ? 0 ; (2)求此数列 的前 n 项和的最大值. 结论:等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥
王新敞
奎屯 新疆

0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值;当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n
王新敞
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d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值. 2 2 练习:在等差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值.
的值.(2)由 S n ? 例 2、有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到一定时期 到期,可以提出全部本金及利息,这是整取. 它的本利和公式如下:本利和=每期存入金额 ?

1 ? ? ,到第 12 个 存期+ 存期 ? (存期+1) ? 利率? . 若某人每月初存入 100 元,月利率 5.1%。 ? 2 ? ?
月底的本利和是多少?若每月初存入一笔金额,月利率 5.1%。 ,希望到第 12 个月底取得本利和 2000 元,那么第月初应存入多少金额? 3. 小结:等差数列前 n 项和公式、性质及其应用. 三、巩固练习: 1. 练习:设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 12 , S12 ? 0, S13 ? 0 , (1)求公差 d 的取 值范围; (2) S1 , S2 ,

, S12 中哪一个最大,并说明理由.
B 组第 1 题
用心 爱心 专心 2

2. 作业:教材 P53 页 A 组第 4 题


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