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用二分法求方程的近似解


用二分法求方程的近似解

主讲:黄冈中学教师 汤彩仙 一、知识概述 1、定义

对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数 y=f(x), 通过不断地将函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法. 2、用二分法求函数零点的近似值

已知函数

的定义域为区间 D,求它在 D 上的一个零点 x0(变号零点)的近似

值,使它与零点的误差不超过 ( >0).

第一步:在 D 内取一个闭区间

,使



异号,即







第二步:取

,计算 f(x0)和 f(a0).

判断:①如果

,则

就是

的零点,计算终止.

②如果

,则零点位于区间

中,令



③如果

,则零点位于区间

中,令



第三步:取

,计算 f(x1)和 f(a1).

判断:①如果

,则 x1就是

的零点,计算终止.

②如果

,则零点位于区间

中,令



③如果 …

,则零点位于区间

中,令



重复以上步骤,直到求出近似解. 二、例题讲解 例1、判断函数 y=x3-x-1在区间[1, 1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点 (精 确度为0.1) . 解: 设 f(x)=x3-x-1,则 f(1)=-1,f(1.5)=0.875>0,∴f(x)在区间[1,1.5]内有零点, 用二分法逐次计算,列表如下: 区间 [1,1.5] [1.25,1.5] [1.25,1.375] [1.3125,1.375] 中点值 1.25 1.375 1.3125 1.34375 中点函数近似值 -0.3 0.22 -0.05 0.08

由于1.375-1.3125=0.0625<0.1,

所以函数的一个近似零点为1.3125.

例2、关于 x 的方程 解: ,则 t>0,原方程变形为

存在零点,则

_______.





此方程存在大于零的零点.

当方程有2个大于零的零点时,满足

.∴



∵x1x2=4>0,∴此方程不可能有一个大于零与一个小于或等于零的零点.

综上可得

.

例3、求使 解: 当 x<2时,方程

成立的零点的集合.

,解得 x=0,或 x=1;

当 x=2时,方程为0=2,无解;

当 x>2时,

,解得



综上可知,所求解集为



例4、在26枚崭新的金币中,有一枚外表相同却质量稍轻的假币,现在只有一架天平, 请问最多称几次就可以发现这枚假币? 解: 最多4次.第1次将26枚金币平均分成两份,放在天平两盘中,假币一定在轻的那 13枚金币里面;第2次将这13枚金币拿出一枚,将剩余的12枚平均分成两份再称,若天 平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定是较轻的那6枚里面;第3 次将这6枚平均两份,则假币一定在轻的那3枚里面;第4次将这3枚取任意2枚放在天平 上,若平衡,则剩余的那一枚即为假币,若不平衡,则轻的那一枚就是假币.综上知, 最多称4次就可以发现这枚假币.


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