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1.3三角函数的诱导公式(第一课时)


三角函数
1.3 三角函数的诱导公式 (第1课时)

一切立体图形中最美的是球形, 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派

圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔

一.复习回顾

任意角三角函数的定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:
(1)正弦sinα= (2)余弦cosα=

y
P(x,y)

y

x
O

(3)正切tanα=

y x

x

诱导公式(一)

sin(? ? k ? 360 ) ? sin ?

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? k ? 360 ) ? cos ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? k ? 360 ) ? tan ? tan(? ? 2k? ) ? tan ? 其中 k ? Z 其中 k ? Z

实质:终边相同,三角函数值相等
用途:“大”角化“小”角

r ?1 sin ? ? y

公式二
cos? ? x
y tan ? ? x

sin(? ? ? ) ? ? y cos(? ? ? ) ? ? x
?y y tan(? ? ? ) ? ? ?x x

? ??
P'

?

公式二
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

公式二
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

? ??
sin(? ?

?

?
3

) ? ? sin

?
3

? ?

3 2

cos(30? ? 180? ) ? ? cos 30? ? ? 3 2

tan(? ?

?
4

) ? tan

?
4

?1

记忆方法:利用图形

公式一和公式二的比较
公式一
sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?
sin750? ? sin(30? ? 2 ? 360?) ? sin30? sin1230? ? sin(120? ? 3 ? 360? ) ? sin120? 29 5 5 cos ? ? cos( ? ? 6? ) ? cos ? 4 4 4 19 5 5 tan( ? ? ) ? tan( ? ? 8? ) ? tan ? 3 3 3

公式二
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
3 sin(? ? ) ? ? sin ? ? 3 3 21 cos(30? ? 180? ) ? ? cos 30? ? ? 2 ? ? tan(? ? ) ? tan ? 1 4 4 5 2 2 sin ? ? sin( ? ? ? ) ? sin ? 3 3 3

?

?



任意角 ? 0 ~ 2? 的角

? ~ 2?的角 ? 0 ~ ?的角

公式四
角度 0? 弧度 10

30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180?
1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

sin ? 10

cos? 11
tan ? 0
1

4 6 3 2 12 13 1 11 1 2 2 2 13 1 2 11 1 0 2 2 2 1 13 1 1 1 1 1 3 \ ? 3 ?1 3

1? 2 1? 3 3 4 13 12 2 2 11 12 ? ? 2 2

1 5?

1

6 11 2

?
0

1

1 3 1 ?1 ? 2 1 3 1
? 3

0

r ?1 sin ? ? y

公式四
cos? ? x
y tan ? ? x

sin(? ? ? ) ? y cos(? ? ? ) ? ? x
y y tan(? ? ? ) ? ?? ?x x

P'

? ??

?

公式四
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

公式四
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

公式四

? ??
1 sin150? ? sin(180? ? 30?) ? sin30? ? 2 1 cos120? ? cos(180? ? 60?) ? ? cos60? ? ? 2 3 ? ? tan ? ? tan(? ? ) ? ? tan ? ?1 4 4 4

?

钝角→锐角

记忆方法:利用图形

r ?1 sin ? ? y
cos( ?? ) ? x

公式三
cos? ? x
y tan ? ? x

sin( ?? ) ? ? y
?y y tan( ?? ) ? ?? x x

?
??

公式三
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式三
公式三
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
sin( ?750? ) ? ? sin 750?

?
??

29 5 cos( ? ? ) ? cos ? 4 4 19 19 tan( ? ? ) ? ? tan ? 3 3

记忆方法:利用图形

负角→正角

公式一:

公式二:

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
公式三: 公式四:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

公式一 ~ 四可用下面的话来概括:

? ? 2k? (k ? Z ),?? ? , ? ? ?的三角函数值, 等于角?的同名函数值,前面加上一个把?
看成锐角时原函数值的符号。

公式一:

公式二:

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
公式三: 公式四:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?
同名函数

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
符号看象限

解题一般步骤
(公式三) ? ? (公式一) ? ? k 2?

负角

正角

0~2π

(公式二) ? ??

0~π

(公式四) ? ??

锐角

例1、 将下列各三角函数化成锐角三角函数 (1) sin(-699? ) (3) tan(-872? ) (2) cos(-1525? ) (4) cos(92? )

答案:(1) –sin21? (2) cos85? (3) tan28? (4) -sin2?


例2 求下列三角函数值: (1) sin 225? ;


(2)cos ? 1290

?

?

?



2 解: (1)sin 225? ? sin(180? ? 45? ) ? ? sin45? ? ? 2
(2)cos( ?1290? ) ? cos1290? ? cos(210? ? 3 ? 360? )

? cos 210? ? cos(180? ? 30? ) ? ? cos30?

3 ?? 2


求下列各三角函数:



? 13 ? (1) cos?? 1665 ? ;(2) sin? ? ? ?. ? 4 ?
?

16? 16 ? ) sin(); ) sin(- (3 ); 3 3

o ( 4 ) cos (4)cos -2040 ? -2040

?

?

3 ?5? tan ? 4

11 ?6?sin ? 6

课堂

例题

cos(180? ? ? ) ? sin(? ? 360?) 例2:化简: sin(?? ? 180?) ? cos(?180? ? ? ) cos(180? ? ? ) ? sin(360? ? ? ) 解: sin(?? ? 180?) ? cos(?180? ? ? ) ? ? cos? ? ? sin ? ? sin?? (? ? 180?)?? cos?? (? ? 180?)?
?

?? cos? ? ? sin ?
? sin(? ? 180?) ? cos(? ? 180?)

(? cos? ) ? sin ? ? ?1 ? ?? sin ? ? ? (? cos? )


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