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三角形的内切圆和外接圆


三角形的内切圆和外接圆
【基础知识】 切线的判定:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 三角形的内切圆:和三角形三条边都相切的圆,叫三角形的内切圆 内切圆。 内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫三角形的内心 内心。 内心 三角形的外接圆:过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆 外接圆。 外接圆 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点的交点,叫做三角形的外心 外心。 外心 【例题】 1.如图,已知⊙O 中,AB 是直径,过 B 点作⊙O 的切线 BC,连结 CO.若 AD∥OC 交⊙O 于 D. 求证:CD 是⊙O 的切线.

2.

如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O 的半径为 3.

(1) 当圆心 O 与 C 重合时,⊙O 与 AB 的位置关系怎样? (2)若点 O 沿 CA 移动时,当 OC 为多少时,⊙C 与 AB 相切?

3.已知:如图,△ABC 中,内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F,若 ∠FDE=70°,求∠A 的度数.

4. 如图,正三角形的内切圆半径为 1,那么这个正三角形的边长为( A. 2 B. 3 C. 3

) D. 2 3

5. △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求△ABC 的内切圆的半径长。

6. 任意△ABC 中内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F. 求证:△DEF 是锐角三角形。

7. 如图,已知 ?ABC 内接于⊙ O ,AE 切⊙ O 于点 A,BC∥AE,求证:?ABC 是等腰三角形. B A O

·

E

C

P

【巩固练习】 1.一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形一定是( A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 ) I · B C 。 ) A

2.如右图,I 是 ?ABC 的内心,则下列式子正确的是( A、∠BIC= 180° -2∠A C、∠BIC= 90° +∠A/2 B、∠BIC=2∠A D、∠BIC= 90° -∠A/2

E、 G 则 3. ?ABC 外切于⊙O, F、 分别是⊙O 与各边的切点, ?EFG 的外心是 ?ABC 的 4.直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12,那么它的外接圆的半径为 为 . .

,内切圆半径

5. 等边三角形内切圆半径,外接圆半径分别为 r, R ,则 r : R =

6. ?ABC 的内切圆⊙I 与 AB、 CA 分别切于 D、 F 点, BC、 E、 且∠FID=∠EID= 135° , ?ABC 则 为 . 7. 如图,△ABC 中,I 是内心,AI 交 BC 于 D,交△ABC 的外接圆于 E。 2 求证: (1)IE=EC; (2)IE =ED·EA。 A

I D B E C

8. 如图,△ABC 中,以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D,∠ACD=∠ABC. (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点 E 是 BC 上一点,已知 BE=6,tan∠ABC=
2 5 ,tan∠AEC= ,求圆的直径. 3 3

A
D

B

E

C

9.如图所示.P 是⊙O 外一点.PA 是⊙O 的切线.A 是切点.B 是⊙O 上一点.且 PA=PB, 连接 AO、BO、AB,并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)求证: AQ?PQ= OQ?BQ。

Q _ A _

O _ P _

B _


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