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高中数学


第2课时

一元二次不等式解法的应用

1.若ax2+bx+c≥0的解集是空集,则二次函数f(x)=ax2+bx

+c的图象开口向 下 ,且与x轴 没有 交点.
2.若ax2 +bx+c>0的解集是实数集R,则二次函数f(x)=ax2 +bx+c的图象开口向 上 ,且二次三项式的判别式Δ <

0.

1.下列不等式中,解集是R的是 A.x2+2x+1>0 1x C.(3) +1>0 B. x2>0 1 1 D. x-2<x

(

)

解析:∵x2+2x+1=(x+1)2≥0,∴A不正确; ∵ x2=|x|≥0,∴B不正确; 1x 1x ∵(3) >0,∴(3) +1>1>0(x∈R),故C正确 ; 1 1 x-2<x?x>0或x<0,∴D不正确,故选C.
答案:C

2.不等式(x2-7x+12)(x2+x+1)>0的解集为

(

)

A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)
B.(-∞,3)∪(4,+∞) C.(-4,-3) D.(3,4) 解析:∵x2 +x+1>0恒成立,∴原不等式等价于x2 -7x+ 12>0,∴x<3或x>4.故选B. 答案:B

3.若关于x的不等式(a-2)x2 +2(a-2)x-4<0的解为一切实

数,则a的取值范围为
A.(-2,2] B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

(

)

解析:由题设条件知:
?a-2<0, ? ①? 2 ? ?Δ=[2?a-2?] -4?a-2?×?-4?<0. ?a<2, ? ∴? ?-2<a<2. ?

∴-2<a<2.

②当a-2=0时,原不等式恒成立.∴a=2. 综合①②可得a的取值范围为:(-2,2].故选A.
答案:A

4.不等式

<0的解集为________.

解析:原不等式等价于

??x-3??x+1?<0 ? ?x+1≠0 ?-1<x<3且x≠2.或用穿根法. ??x-2?2≠0 ?
答案:{x|-1<x<2或2<x<3}

5.若函数f(x)=

的定义域为R,求a的取值范

围.
解:已知函数定义域为R. 即2x 2-2ax-a-1≥0在R上恒成立. 也即x2-2ax-a≥0恒成立, 所以有Δ=(-2a)2-4(-a)≤0,解得-1≤a≤0.

[例1]

关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,

求实数a的取值范围.

[解]

(1)若a2-1=0,

即a=±1时,
若a=1, 不等式变化为-1<0, 解集为R; 若a=-1, 不等式变为2x-1<0, 解集为{x|x<}.

∴a=1时满足条件.

(2)若 a2-1≠0,即 a≠± 时,原不等式解集为 R 的条件 1 是
?a2-1<0 ? ? 2 2 ?Δ=?a-1? +4?a -1?<0 ?

3 解得- <a<1. 5 3 综上所述,当-5<a≤1 时,原不等式解集为全体实数.

[点评]

(1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数(或恒成

立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0; 当
?a>0 a≠0 时,? ?Δ<0

.

(2)不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的条 件是当 a=0 时,b=0,c<0; 当
?a<0 a≠0 时,? ?Δ<0

.类似地,还有 f(x)≤a 恒成立?

[f(x)]max≤a;f(x)≥a 恒成立?[f(x)]min≥a.

迁移变式1

若x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1恒成立,则a的取

值范围是________.

解:原不等式可化为(a+2)x2+4x+a-1≥0, 当 a+2=0,即 a=-2 时, 4x-3≥0 不恒成立, 当 a+2≠0,即 a≠-2 时,
?a+2>0 ? ? ?Δ=16-4?a+2??a-1?≤0 ?



解得 a≥2. ∴a 的取值范围是[2,+∞).

[例 2]

2x+1 2x+1 解不等式 > . x-3 3x-2

2x+1 2x+1 ?2x+1?2 [解] 移项得 - >0, 通分整理得 >0, x-3 3x-2 ?x-3??3x-2?

?x≠-1, ? ?2x+1≠0, 2 ? ∴? ?? ??x-3??3x-2?>0 ? ?x>3或x<2, 3 ?
1 1 2 ∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,3)∪(3,+∞).

迁移变式 2 1 A.[-3, ] 2

x+5 (1)不等式 ≥2 的解集是 ?x-1?2 1 B.[- ,3] 2

(

)

1 C.[2,1)∪(1,3]
2

1 D.[-2,1)∪(1,3]

1 (2)不等式 2x +2x-4≤2的解集为________.

解:(1)首先 x≠1,在此条件下(x-1)2>0,根据不等式性质, 1 原不等式可化为 x+5≥2(x-1)2,即 2x2-5x-3≤0,解得-2 1 ≤x≤3,又 x≠1.所以原不等式的解集为[-2,1)∪(1,3].故选 D. (2)由已知得 2x2+2x-4≤2-1,所以 x2+2x-4≤-1,即 x2+ 2x-3≤0,由此得原不等式的解集为[-3,1].

[例3]

若方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一

个实根,则实数k的取值范围如何? [分析] 此为二次方程根分布问题.

[解] ∵函数 f(x)=kx2-(2k+1)x-3 的图象是连续曲线, 由题意可知 f(-1)f(1)<0 且 f(1)f(3)<0,
??3k-2??-k-4?<0, ? 即? ??-k-4??3k-6?<0, ?

?k>2或k<-4, ? 即? 3 ?k>2或k<-4, ?
解得 k<-4 或 k>2. 故所求的实数 k 的取值范围是 k<-4 或 k>2.

[点评]

解决这类一元二次方程两实根正负性的讨论问题,

只需抓住判别式和韦达定理,由它们构建关于参数的一元二次不
等式组,解之即可.

迁移变式3

m为何值时,关于x的方程(m+1)x2+2(2m+1)x

+(1-3m)=0有两个异号的实根.

解:若有两个异号实根,则此问题等价于
?m+1≠0, ? ? ?x1·2<0, ? x

?m+1≠0, ?m≠-1, ? ? 即?1-3m ?? 1 ?m<-1,或m>3, ? m+1 <0 ? ?

1 ∴m<-1 或 m>3.

[例4]

设A={x|x2-(a+a2)x+a3<0},B={x|x2-3x+2<0},

若A∩B=A,求实数a的取值范围. [分析] 由A∩B=A?A?B,又因为B是可解集合,因此可以

求出B集合.对于A集合,要明确不等式的解集,需判断对应方程 两根的大小,故要就两根的大小对参数a加以讨论,再借助数轴由 A,B两集合的关系,求出a的具体取值范围.

[解]

因为A∩B=A,所以A?B.

B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}.
因为x2-(a+a2)x+a3=(x-a2)(x-a)<0, 所以x介于a与a2之间. 当a<a2,即a>1或a<0时,A={x|a<x<a2}. 若A?B,则需满足 如图1所示,

解得 1≤a≤ 2. 故 1<a≤ 2. 当 a>a2,即 0<a<1 时,A={x|a2<x<a}. 又因为
?a2≥1, ? A?B,需满足? ?a≤2, ?

如图 2 所示.

解得 a≤-1 或 1≤a≤2,故 a 不存在. 当 a=a2,即 a=0 或 a=1 时,A=?,满足 A?B. 综上所述,a 的取值范围为{a|1≤a≤ 2或 a=0}.

迁移变式4

已知集合A={x|x2-x-6>0},B={x|0<x+a<4},

若A∩B=?,求实数a的取值范围.

解:由x2-x-6>0,得(x-3)(x+2)>0,

∴x<-2或x>3.
∴A={x|x<-2或x>3}. 由0<x+a<4,得-a<x<4-a. ∴B={x|-a<x<4-a}. 又∵A∩B=?,∴ 解得1≤a≤2. 故所求实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}.

1.形如“ax2+bx+c>0(或<0)”的不等式恒成立问题时,必 须对a=0与a≠0作分类讨论,以防出错.有些恒成立问题可通过分 离参变量,转化为最值问题去处理. 2.根的分布问题不需要作深入研究,要从数形结合这一方 面加深对三个“二次”问题的理解.

3.可转化为一元二次不等式的不等式 x-a (1)分式不等式 >0,可利用实数运算的符号法则转化 x-b x-a 为二次不等式,由于 >0?(x-a)(x-b)>0,所以分式 x-b 不等式可转化为一元二次不等式来解.

分式不等式的常见解法

(2)指数、对数不等式的解法.

解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质,
因而同底法是解指数、对数不等式的基本方法.当然,最终是将 它们转化为代数不等式,其主要类型和解法是: ①af(x)>aφ(x)?f(x)>φ(x)(a>1)或f(x)<φ(x)(0<a<1). ②logaf(x)>logaφ(x)?f(x)>φ(x)>0(a>1); 或0<f(x)<φ(x)(0<a<1).


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