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非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第十一章算法初步推理与证明复数第3节直接证明与间接证明课件


备 高 考

研 考 点

第三节 直接证明与间接证明
理 教 材 分 层 限 时 跟 踪 练

备高考| 3 个任务

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法. 3.会用分析法、综合法及反证法证明相应的问题.

理教材| 回扣自测
要点梳理 一、直接证明 内容 综合法 利用已知条件和某些数学定义、 定义 公理、定理等,经过一系列的
推理论证 ,最后推导出所要证

分析法 从要证明的结论 出发,逐步寻求使 它成立的充分 条件,直到最后把要 证明的结论归结为判定一个明显成 立的条件(已知条件、定理、定义、 公理等)为止

明的结论成立

实质 框图 表示 文字 语言

由因导果 P?Q1 → Q1?Q2 →?→ Qn?Q 因为??所以?? 或由??得??

执果索因 Q?P1 → P1?P2 →?→ 得到一个明显?成立的条件 要证??只要证?? 即证??

[易错提醒] 用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性, 常常用“要证?欲证??”“只要证?”“即证?” 等分析到一个明显成立的结论.

二、间接证明——反证法 1.定义 假设原命题不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明了 法叫作反证法.
原命题成立

,这样的证明方

2.证明步骤 (1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真; (2)归谬——把“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾; (3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.

基础自测 1.判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( (2)反证法是指将原命题条件否定,推出矛盾.( ) ) )

(3)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( (4)证明不等式 3+ 5> 2+ 6最适合的方法是分析法.(
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

)

2.命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ= (cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”过程应用了( A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 )

【解析】 结合推理及分析法和综合法的定义可知,B 正确.
【答案】 B

3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( A.2ab-1-a2b2≤0 ?a+b?2 C. 2 -1-a2b2≤0

)

4 4 a + b B.a2+b2-1- 2 ≤0

D.(a2-1)(b2-1)≥0

【解析】 a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0.

【答案】 D

4.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60° ”时,应假 设( ) A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 【解析】 因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所以“三角形

三个内角至少有一个不大于 60° ”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大 于 60° ”,即“三个内角都大于 60° ”. 【答案】 B

5.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0, b a 其中能使a+b≥2 成立的条件的个数是________.

b a b a 【解析】 要使a+b≥2,只要a>0 且b>0,即 a、b 不为 0 且同号即可,故 ①③④符合.
【答案】 3

研考点| 梯度提升

考向 1 分析法 题型:解答题 难度:低 命题指数:★☆☆ 命题热点:证明不等式、等式.

基础考点

[自主突破]
? π? ? π? 1 ? ? ? ? 已知函数 f(x)=tan x,x∈ 0,2 ,若 x1,x2∈ 0,2 ,且 x1≠x2,求证:2[f(x1) ? ? ? ? ?x1+x2? ? +f(x2)]>f? ? 2 ?. ? ?

?x1+x2? 1 ? 【证明】 要证2[f(x1)+f(x2)]>f? ? 2 ?, ? ?

x 1 +x 2 1 即证2(tan x1+tan x2)>tan 2 , x1+x2 1? sin x1 sin x2 ? 只需证2?cos x +cos x ?>tan 2 , ? 1 2? sin?x1+x2? sin?x1+x2? 只需证2cos x cos x > . 1 2 1+cos?x1+x2?
? π? 由于 x1、x2∈?0,2?,故 x1+x2∈(0,π). ? ?

∴cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0, 故只需证 1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2, 即证 1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2, 即证 cos(x1-x2)<1.
? π? 由 x1、x2∈?0,2?,x1≠x2 知上式是显然成立的, ? ? ?x1+x2? 1 ? 因此,2[f(x1)+f(x2)]>f? ? 2 ?. ? ?

[规律总结] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的 知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不 等式,常考虑用分析法. 2.分析法的证明思路:先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充 分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等) 或要证命题的已知条件时命题得证. 3.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个 与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原 命题得证.

考向 2 综合法 题型:解答题 难度:中 命题指数:★★★

能力考点

命题热点:(1)数列证明题. (2)立体几何证明题. (3)与函数、方程、不等式相结合的证明题.

[师生共研] (2015· 北 京 高 考 ) 已 知 数 列 {an} 满 足 : a1 ∈ N* , a1≤36 , 且 an + 1 =
? ?2an,an≤18, ? ? ?2an-36,an>18

(n=1,2,?).记集合 M={an|n∈N*}.

(1)若 a1=6,写出集合 M 的所有元素; (2)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数, 证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (3)求集合 M 的元素个数的最大值.

【解】 (1)6,12,24. (2)证明: 因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数, 所以不妨设 ak 是 3 的倍数.
? ?2an,an≤18, 由 an+1=? ? ?2an-36,an>18

可归纳证明对任意 n≥k,an 是 3 的倍数.

如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k>1,因为 ak=2ak-1 或 ak=2ak-1-36,所以 2ak-1 是 3 的倍数,于是 ak
-1

是 3 的倍数.类似可得,ak-2,?,a1 都是 3 的倍数. 从而对任意 n≥1,an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数. 综上, 若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数, 则 M 的所有元素都是 3 的倍数.

? ?2an-1,an-1≤18, (3)由 a1≤36,an=? ? ?2an-1-36,an-1>18

可归纳证明 an≤36(n=2,3,?).

? ?2a1,a1≤18, 因为 a1 是正整数,a2=? ? ?2a1-36,a1>18,

所以 a2 是 2 的倍数.

从而当 n≥3 时,an 是 2 的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an 是 3 的倍数. 因此当 n≥3 时,an∈{12,24,36},这时 M 的元素个数不超过 5.

如果 a1 不是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an 不是 3 的倍数. 因此当 n≥3 时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时 M 的元素个数不超过 8. 当 a1=1 时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数的最大值为 8.

[规律总结] 综合法证题的思路

[变式训练] 设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ac≤3; a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥1.

【证明】 (1)由 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以 3(ab+bc+ca)≤1, 1 即 ab+bc+ca≤3.

a2 b2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, c2 a +a≥2c, a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c) a2 b2 c2 ≥2(a+b+c),即 b + c + a ≥a+b+c, a2 b2 c2 所以 b + c + a ≥1.

考向 3 反证法 题型:解答题 难度:中 命题指数:★☆☆

能力考点

命题热点:(1)证明存在性问题. (2)证明否定性、唯一性命题.

[师生共研] 设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

【解】 (1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+?+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1, ①


qSn=a1q+a1q2+?+a1qn, ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, a1?1-qn? ∴Sn= , 1-q q=1, ?na1, ? ∴Sn=?a1?1-qn? , q≠1. ? ? 1-q



(2)假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+ 1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k-1 k+1 k-1 k+1 a2 q + 2 a q = a q · a q + a q + a q , 1 1 1 1 1 1

∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1. ∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾, ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

[规律总结] 1.当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现 时,可用反证法来证,反证法关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与 已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等. 2.用反证法证明不等式要把握三点:①必须否定结论;②必须从否定结论 进行推理;③推导出的矛盾必须是明显的.

[变式训练] 1 已知 x∈R,a=x +2,b=2-x,c=x2-x+1.
2

证明:a,b,c 至少有一个不小于 1.

【证明】 假设 a,b,c 均小于 1, 即 a<1,b<1,c<1, 则有 a+b+c<3, 1 而 a+b+c=2x -2x+2+3
2

? 1?2 =2?x-2? +3≥3, ? ?

故两者矛盾,所以假设不成立. 故 a,b,c 至少有一个不小于 1.


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