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第1章-1.2-1.2.2-第2课时组合的综合应用


第 2 课时

组合的综合应用

●三维目标 1.知识与技能 (1)学会运用组合的概念分析简单的实际问题; (2)掌握解决组合问题的常见方法.

2.过程与方法 参与体验组合数的应用,体会将实际问题化归为组合问 题的方法. 3.情感、态度与价值观 培养学生的数学应用意识和创新意识,提高对数学的兴 趣.

r /> ●重点、难点 重点:常见的组合问题的解题策略. 难点:实际问题的转化. 教学时通过例题的讲解让学生体会各种常见组合问题的 题型,掌握应对策略,从而突出重点,化解难点.

课 标 解 读

1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题. 2.能解决无限制条件的组合问题. 3.掌握解决组合问题的常见的方法.

无限制条件的组合问题

在一次数学竞赛中, 某学校有 12 人通过了初试, 学校要从中选出 5 人参加市级培训.在下列条件下,有多少 种不同的选法? (1)任意选 5 人; (2)甲、乙、丙三人必需参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加.

【思路探究】 本题属于组合问题中的最基本的问题, 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确 分析和判断.

【自主解答】 (1)从中任取 5 人是组合问题, 共有 C5 12= 792 种不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必需参加,则只需要从另外 9 人中选 2 人,是组合问题,共有 C2 9=36 种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的 9 人中选 5 人,共有 C5 9=126 种不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,可分两步:先从甲、 乙、丙中选 1 人,有 C1 3=3 种选法;再从另外 9 人中选 4 人,
1 4 有 C4 种选法.共有 C 9 3C9=378 种不同的选法.

解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题, 取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出元 素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构 成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数.在解题时 还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无 重复或遗漏.

现有 10 名教师,其中男教师 6 名,女教师 4 名. (1)现要从中选 2 名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多 少种?

【解】 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数, 就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数,即 C2 10= 10×9 =45. 2×1 (2)可把问题分两类:第 1 类,选出的 2 名是男教师有 C2 6
2 种方法;第 2 类,选出的 2 名是女教师有 C2 4种方法,即 C6+

C2 4=21(种).

有限制条件的组合问题

高二(1)班共有 35 名同学,其中男生 20 名,女 生 15 名,今从中选出 3 名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一女生不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 名女生在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 名女生在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 名女生在内,不同的取法有多少种?

【思路探究】 可从整体上分析,进行合理分类,弄清 关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼.使用两个计数原 理解决.

【自主解答】 (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名, 有 C2 34=561(种). ∴不同的取法有 561 种. (2)从 34 名可选学生中选取 3 名,有 C3 34种.
2 3 或者 C3 - C = C 35 34 34=5 984 种.

∴不同的取法有 5 984 种. (3)从 20 名男生中选取 1 名,从 15 名女生中选取 2 名,
2 有 C1 C 20 15=2 100 种.

∴不同的取法有 2 100 种.

2 3 (4)选取 2 名女生有 C1 C 种,选取 3 名女生有 C 20 15 15种,共 2 3 有选取方式 N=C1 20C15+C15=2 100+455=2 555 种.

∴不同的取法有 2 555 种.
3 (5)选取 3 名的总数有 C3 ,因此选取方式共有 N = C 35 35-

C3 15=6 545-455=6 090 种. ∴不同的取法有 6 090 种.

1.对于含有“必须在内”,“不能在内”,“恰有”, “至少”,“至多”等字眼的问题,应合理使用两个计数原 理. 2.解答有限制条件的组合问题的基本方法

某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴赈灾前线, 其 中这 10 名专家中有 4 名是骨科专家. (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是骨科专家的抽调方法有 多少种? (2)至少有 2 名骨科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有 2 名骨科专家的抽调方法有多少种?

【解】 (1)分两步:第一步,从 4 名骨科专家中任选 2 名,有 C2 4种选法;第二步,从除去骨科专家的 6 人中任取 4
2 4 人,有 C4 6种选法,所以共有 C4C6=90 种抽调方法.

(2)有两种解答方法:方法一(直接法):第一类:有 2 名
4 骨科专家,共有 C2 · C 4 6种选法;第二类:有 3 名骨科专家,共 4 2 有 C3 C3 C6种选 4· 6种选法;第三类:有 4 名骨科专家,共有 C4· 4 3 3 4 2 法.根据分类加法计数原理,共有 C2 · C + C · C + C C6=185 4 6 4 6 4·

种抽调方法.

方法二(间接法):不考虑是否有骨科专家,共有 C6 10种选 法. 考虑选取 1 名骨科专家, 有 C1 C5 没有骨科专家, 4· 6种选法; 有 C6 6种选法,所以共有:
1 5 6 C6 - C · C - C 10 4 6 6=185 种抽调方法.

(3)“至多”两名包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三 种情况:第一类:没有骨科专家,共有 C6 6种选法;第二类:
5 有 1 名骨科专家,共有 C1 · C 4 6种选法;第三类:有 2 名骨科专 4 6 家,共有 C2 · C 种选法.根据分类加法计算原理,共有 C 4 6 6+ 5 2 4 C1 · C + C C6=115 种抽调方法. 4 6 4·

组合应用题的分组问题

6 本不同的书, 求按下列要求各有多少种不同的 选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本.

【思路探究】 (1)是平均分组问题,与顺序无关,相当 于 6 本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,可以理解为一个 人一个人地来取.(2)是“均匀分组”问题.

2 2 【自主解答】 (1)根据分步乘法计数原理得到: C2 C 6 4C 2=

90 种.
2 2 (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C2 6C4C2种方法,这

个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每份两本,设有 x 种方法; 第二步再将这三份分给甲、 乙、 丙三名同学有 A3 3种
2 2 3 方法.根据分步乘法计数原理可得:C2 6C4C2=xA3,所以 x= 2 2 C2 6C4C2 =15. 3 A3

因此分为三份,每份两本一共有 15 种方法.

1. 解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配问 题. 2. 分组问题属于“组合”问题, 常见的分组问题有三种: (1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等; (2)部分均匀分组,应注意不要重复,有 n 组均匀,最后 必须除以 n! ; (3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. 3. 分配问题可以按要求逐个分配, 也可以分组后再分配.

北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加 接待工作,若每天早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最 多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为(
4 4 A.C12 C C 14 12 8 4 4 C12 14C12C8 C. A3 3 4 4 B.C12 A A 14 12 8 4 4 3 D.C12 C C 14 12 8A3

)

【解析】 首先从 14 人中选出 12 人共 C12 14种,然后将
4 4 C4 · C C4 12 8· 12 人平均分为 3 组共 种,然后这两步相乘,得 A3 3 4 4 C12 · C · C 14 12 8 4 4 .将三组分配下去共 C12 · C · C 3 14 12 8种.故选 A. A3

【答案】 A

排解组合的综合问题

有 6 名男医生、 4 名女医生, 从中选 3 名男医生、 2 名女医生到 5 个不同的地区巡回医疗,但规定男医生甲不 能到地区 A,则共有多少种不同的分派方案?
【思路探究】 男医生甲是特殊元素,地区 A 是特殊位 置,因此可分类解决.

【自主解答】 分两类:
2 1 4 第 1 类,甲被选中,共有 C2 5C4C4A4种分派方案; 2 5 第 2 类,甲不被选中,共有 C3 C 5 4A5种分派方案.

根据分类加法计数原理,共有
2 1 4 3 2 5 C2 5C 4C4A4+C5C4A5=5 760+7 200=12 960 种分派方案.

本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题,解决这 类问题的方法是“先选后排”,同时要注意特殊元素、特殊 位置优先安排的原则.

从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数 字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?

【解】 (1)五位数中不含数字 0.
2 第 1 步,选出 5 个数字,共有 C3 C 5 4种选法.

第 2 步,排成偶数——先排末位数,有 A1 2种排法,再排 其他四位数字,有 A4 4种排法.
2 1 4 ∴N1=C3 · C · A · A 5 4 2 4

(2)五位数中含有数字 0.
1 第 1 步,选出 5 个数字,共有 C3 · C 5 4种选法.

第 2 步,排顺序又可分为两小类:

①末位排 0,有 A1 A4 1· 4种排列方法; ②末位不排 0.这时末位数有 C1 1种选法,而因为零不能排
3 在首位, 所以首位有 A1 种排法, 其余 3 个数字则有 A 3 3种排法. 1 1 ∴N2=C3 C1 A4 A3 5· 4(A1· 4+A3· 3).

∴符合条件的偶数个数为
2 1 4 3 1 1 4 1 3 N=N1+N2=C3 C A A + C C (A A + A 5 4 2 4 5 4 1 4 3A 3)=4 560.

忽视分配问题中的相同元素与不同元素致误 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本, 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠 送方法共有( A.4 种 ) B.10 种 C.18 种 D.20 种

【错解】 两种取法:第一种从 2 本画册中取 1 本,将 3 本集邮册全部取出;第二种,将 2 本画册全部取出,从 3
3 1 2 2 1 本集邮册中取 2 本, 第一种有 C1 C A = 8 种. 第二种有 C A4 2 3 4 2C3·

=12,∴一共有 8+12=20 种.

【答案】 D

【错因分析】 第一种、第二种取法都误将其看成分组 问题,在解答过程中忽略书是相同的,从而造成错误.

【防范措施】 解题过程中要深刻理解题意,特别是注 意元素是否重复,弄清其考查的类型.

【正解】 从 2 本同样的画册,3 本同样的集邮册中取 出 4 本有两种取法:第一种,从 2 本画册中取出 1 本,将 3 本集邮册全部取出;第二种,将 2 本画册全部取出,从 3 本 集邮册中取出 2 本,由于画册是相同的,集邮册也是相同的, 因此第一种取法中只需从 4 位朋友中选出 1 人赠送画册,其 余的赠送集邮册,有 C1 4=4(种)赠送方法;第二种取法中只需 从 4 位朋友中选取 2 人赠送画册,其余的赠送集邮册,有 C2 4 =6(种)赠送方法.因此共有 4+6=10(种)赠送方法.
【答案】 B

组合常见问题及对策 1.无条件限制的组合应用题.其解题步骤为: ①判断;②转化;③求值;④作答.

2.有限制条件的组合应用题: ①“含”与“不含”问题: 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元 素和特殊位置, 一般来讲, 特殊要先满足, 其余则“一 视同仁”.若正面入手不易,则从反面入手,寻找问 题的突破口, 即采用排除法. 解题时要注意分清“有 且 仅 有 ”“ 至 多 ”“ 至 少 ”“ 全 是 ”“ 都 不 是”“不都是”等词语的确切含义, 准确把握分类标 准.

②几何中的计算问题: 在处理几何问题 中的组合应用问题时,应先明确几何中的 点、线、面及构型,明确平面图形和立体图 形中的点、线、面之间的关系,将几何问题 抽象成组合问题来解决.

③分组、分配问题:分组问题和分配问题 是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相 同,是不可区分的,而后者即使两组元素个数 相同,但因元素不同,仍然是可区分的.

1.楼道里有 12 盏灯,为了节约用电,需关掉 3 盏不相 邻的灯,则关灯方案有( A.72 种 C.120 种 ) B.84 种 D.168 种

【解析】 需关掉 3 盏不相邻的灯,即将这 3 盏灯插入 9 盏亮着的灯的空中,所以关灯方案共有 C3 10=120(种).故选 C.

【答案】 C

2.直角坐标平面 xOy 上,平行直线 x=n(n=0,1,2,?, 5)与平行直线 y=n(n=0,1,2,?,5)组成的图形中,矩形共有 ( A.25 个 C.100 个 B.36 个 D.225 个 )

【解析】 在垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条,在垂 直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条,四条直线相交得出一个矩
2 形,所以矩形总数为 C2 6×C6=15×15=225 个.

【答案】 D

3.(2013· 大纲全国卷)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名 一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结果共有 ________种.(用数字作答)
2 3 【解析】 由题意知,所有可能的决赛结果有 C1 C 6 5C3=

5×4 6× ×1 =60(种). 2
【答案】 60

4. 3 名男同志和 3 名女同志到 4 辆不同的公交车上服务, (1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名,有多少 种安排方法? (2)若男女各包 2 辆车,有多少种安排方法?

【解】 (1)先将 3 名男同志安排到车上有 A3 4种方法,在 未安排男同志的那辆车安排女同志有 C1 3种方法,还有 2 个女
3 1 2 同志有 A2 种安排方法,故共有 A 3 4C3A3=432 种安排方法. 2 (2)男同志分 2 组有 C2 种方法, 女同志分 2 组有 C 3 3种方法, 2 2 4 将 4 组安排到 4 辆车上有 A4 4种方法,故共有 C3C3A4=216 种

安排方法.

课后知能检测(五)

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(1)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体? (2)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?

【思路探究】 (1) 间接法 → 8选4有C4 8 → 再减去不合题意即共面的顶点 (2) 直接法 → 先确定底面 → 再选顶点

【自主解答】 (1)正方体 8 个顶点可构成 C4 8个四点组, 其中共面的四点组有正方体的 6 个表面和正方体相对棱分别 所在 6 个平面的四个顶点,故可以确定的四面体有 C4 8-12= 58 个. (2)由(1)知,正方体共面的四点组有 12 个,以这个点组 构成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都 可以确定一个四棱锥,故可以确定四棱锥 12C1 4=48 个.

平面上有 9 个点,其中有 4 个点共线,除此外无 3 点共 线. (1)用这 9 个点可以确定多少条直线? (2)用这 9 个点可以确定多少个三角形? (3)用这 9 个点可以确定多少个四边形?

【解】 (1)确定一条直线需要两个点,因为有 4 个点共
2 线,所以这 9 个点所确定直线的条数为 C2 9-C4+1=31.

(2)确定一个三角形需要三个不共线的点,所以这 9 个点
3 确定三角形的个数为 C3 - C 9 4=80.

(3)确定一个四边形需要四个不共线的点,所以这 9 个点
1 3 4 确定四边形的个数为 C4 - C C - C 9 5 4 4=105.


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