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高中数学数形结合思想在解题中的应用


高中数学数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且 解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学 问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题简单化,抽象 问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,

它是数学的规律性与灵活 性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对 应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、 三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到 事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域, 最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且 能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意 培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例 1. 若关于x的方程x ? 2kx ? 3k ? 0的两根都在 ? 1和3之间,求k的取值范围。
2

程 分析: 令f ( x) ? x ? 2kx ? 3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方 f ( x) ? 0
2

的解,由y ? f ( x)的图象可知,要使二根都在 ? 1, 3之间,只需f (?1) ? 0, (3) ? 0 , f

f (?

b 0) ) ? f (?k ) ? 0 同时成立,解得 ? 1 ? k ? 0,故k ? (?1, 2a

例 2. 解不等式 x ? 2 ? x 解:法一、常规解法:

?x ? 0 ? 原不等式等价于 ( I ) ? x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? x 2 ?

?x ? 0 或( II ) ? ?x ? 2 ? 0

解( I ) ,得0 ? x ? 2;解( II ) ,得 ? 2 ? x ? 0
1

综上可知,原不等式的解集为{x|?2 ? x ? 0或0 ? x ? 2} ? {x|?2 ? x ? 2}
法二、数形结合解法:

令y1 ?

x ? 2 ,y2 ? x,则不等式 x ? 2 ? x的解,就是使y1 ?

x ? 2 的图象

在y2 ? x的上方的那段对应的横坐标, 如下图,不等式的解集为{x| x A ? x ? x B }
而x B 可由 x ? 2 ? x,解得,x B ? 2 ,x A ? ?2 , 故不等式的解集为{x|?2 ? x ? 2}。
例 3. 已知0 ? a ? 1,则方程a A. 1 个 B. 2 个
|x |

?|log a x| 的实根个数为(
D. 1 个或 2 个或 3 个
|x |

)

C. 3 个

分析: 判断方程的根的个数就是判断图象y ? a 与y ?|log a x| 的交点个数,画 出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有 2 个实根,选(B) 。

例 4. 如果实数x、y满足( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3,则

y 的最大值为( x

)

A.

1 2

B.

3 3
2 2

C.

3 2

D. 3

分析: 等式( x ? 2) ? y ? 3有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,

y y?0 ? 则表示圆上的点( x,y) 与坐 x x?0 标原点(0,0) 的连线的斜率。如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点A 圆心为(2 ,0) ,半径r ? 3,( 如图) ,而
在以(2 ,0) 为圆心,以 3为半径的圆上移动,求直线OA的斜率的最大值,由图

可见,当∠A在第一象限,且与圆相切时,OA的斜率最大,经简单计算,得最
大值为tg60° ? 3

2

例 5. 已知x,y满足

x2 y2 ? ? 1,求y ? 3x的最大值与最小值 16 25 x2 y2 ? ? 1下求最值问题,常采用 16 25

分析: 对于二元函数y ? 3x在限定条件 构造直线的截距的方法来求之。

令y ? 3x ? b,则y ? 3x ? b,
x2 y2 ? ? 1上求一点,使过该点的直线斜率为 3, 16 25 且在y轴上的截距最大或最小, 原问题转化为:在椭圆 由图形知,当直线y ? 3x ? b与椭圆
截距。

x2 y2 ? ? 1相切时,有最大截距与最小 16 25

? y ? 3x ? b ? 2 ? 1 6 9 2 ? 9 6 x? 1 6 2 ? 4 0 0? 0 x b b ?x y2 ?1 6 ? 2 5 ? 1 ?

由? ? 0,得b ? ±13,故y ? 3x的最大值为13,最小值为 ? 13。
例 6. 若集合M ? ?( x,y) ?

? ? ? ?

? ? x ? 3 cos? ? (0 ? ? ? ? )?,集合N ? {( x,y)| y ? x ? b} ? ? y ? 3 sin ? ?

2

且M ? N≠?,则b的取值范围为
2

分析: M ? {( x,y)| x ? y ? 9 ,0 ? y ? 1},显然,M表示以(0,0) 为圆心, 以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分, (如图) ,而 N 则表示一条直线,其斜率 k=1,纵截

距为b,由图形易知,欲使M ? N≠?,即是使直线y ? x ? b与半圆有公共点, 显然b的最小逼近值为 ? 3,最大值为3 2 ,即 ? 3 ? b ? 3 2

例 7. 点M是椭圆

x2 y2 ? ? 1上一点,它到其中一个焦点F1 的距离为2 ,N为 25 16


MF1 的中点,O 表示原点,则|ON|=(

A.

3 2

B. 2

C. 4

D. 8
3

分析:①设椭圆另一焦点为 F2, (如图) 则| MF1 |?| MF2 | ? 2a,而a ? 5 ,

| MF1 | ? 2,∴| MF2 | ? 8
∴ON 是△MF1F2 的中位线,

又注意到 N、O 各为 MF1、F1F2 的中点,

∴| ON | ?

1 1 | MF2 | ? ×8 ? 4 2 2

②若联想到第二定义,可以确定点 M 的坐标,进而求 MF1 中点的坐标,最后利用两点间的距 离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量,方法较之①显得有些复杂。 例 8. 已知复数z满足| z ? 2 ? 2i| ?

2 ,求z的模的最大值、最小值的范围。

分析: 由于| z ? 2 ? 2i| ?| z ? (2 ? 2i )| ,有明显的几何意义,它表示复数z对应的

点到复数2 + 2i对应的点之间的距离,因此满足| z ? (2 ? 2i )| ? 2 的复数z对应点
Z,在以(2 ,2) 为圆心,半径为 2 的圆上,( 如下图) ,而| z| 表示复数z对应的 点Z到原点O的距离,显然,当点Z、圆心C、点O三点共线时,| z| 取得最值,

| z|min ? 2 ,| z|max ? 3 2 ,

∴| z| 的取值范围为[ 2 ,3 2 ]
例 9. 求函数y ?

sin x ? 2 的值域。 cos x ? 2 sin x ? 2 解法一(代数法) 则y ? : 得y cos x ? 2 y ? sin x ? 2 , cos x ? 2
s i n ? y c o s ? ?2 y ? 2 , y 2 ? 1 s i nx ? ? ) ? ?2 y ? 2 x x (

∴ sin( x ? ? ) ?
?2 y ? 2 y ?1
2

?2 y ? 2 y2 ? 1

,而|sin( x ? ? )| ? 1
?4 ? 7 ?4 ? 7 ?y? 3 3

∴|

| ? 1,解不等式得

?4 ? 7 ?4 ? 7 , ] 3 3 y ? y1 sin x ? 2 的形式类似于斜率公式y ? 2 解法二(几何法) y ? : cos x ? 2 x 2 ? x1 ∴函数的值域为[
4

y?

sin ?2 x 表示过两点P0 (2 , ? 2) ,P(cos x, sin x) 的直线斜率 cos x ? 2

由于点P在单位圆x 2 ? y 2 ? 1上,如图, 显然,k P0 A ? y ? k P0 B

设过P0 的圆的切线方程为y ? 2 ? k ( x ? 2)
则有 |2 k ? 2| k ?1
2

? 1,解得k ?

?4 ± 7 3

即k P0 A ?

?4 ? 7 ?4 ? 7 ,k P0 B ? 3 3



?4 ? 7 ?4 ? 7 ?y? 3 3
例 10. 求函数u ?

∴函数值域为[

?4 ? 7 ?4 ? 7 , ] 3 3

2t ? 4 ? 6 ? t 的最值。

分析: 由于等号右端根号内t同为t的一次式,故作简单换元 2t ? 4 ? m,无法 转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显 得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。 解: 设x ?

2t ? 4 ,y ? 6 ? t ,则u ? x ? y

且x 2 ? 2 y 2 ? 16(0 ? x ? 4 ,0 ? y ? 2 2 )

所给函数化为以u为参数的直线方程y ? ? x ? u,它与椭圆x 2 ? 2 y 2 ? 16在
第一象限的部分(包括端点)有公共点, (如图)

um i n? 2 2
相切于第一象限时,u 取最大值

?y ? ?x ? u ? 3x 2 ? 4u x? 2u 2 ? 1 6? 0 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 1 6
解? ? ? ,得u ? ±2 6,取u ? 2 6
∴um a x? 2 6
三、总结提炼 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥 着奇特功效,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。 四、强化训练 见优化设计。
5

【模拟试题】 一、选择题: 1. 方程 lg x ? sin x 的实根的个数为( A. 1 个 A. (1, ? ?) C. ( ??, ? 1] ?[1, ? ?) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4. 适合 | z ? 1| ? 1 且 arg z ? A. 0 个 5. 若 不 等 式 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) C. 2 ? 10
2

) D. 4 个 ) B. ( ?1,1) D. ( ??, ? 1) ?(1, ? ?) )

B. 2 个

C. 3 个

2. 函数 y ? a| x|与y ? x ? a 的图象恰有两个公共点,则实数 a 的取值范围是(

3. 设命题甲: 0 ? x ? 3 ,命题乙: | x ? 1| ? 4 ,则甲是乙成立的( B. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件

?
4

的复数 z 的个数为( C. 2 个

) D. 4 个

B. 1 个

x ? a ? x (a ? 0) 的 解 集 为 {x| m ? x ? n},且| m ? n| ? 2a, 则 a 的 值 为

6. 已知复数 z1 ? 3 ? i,| z2 | ? 2,则| z1 ? z2 | 的最大值为( A.

10 ? 2

B. 5 B. (1,2) )

D. 2 ? 2 2 )

7. 若 x ?(1, 2) 时,不等式 ( x ? 1) ? log a x 恒成立,则 a 的取值范围为( A. (0,1) 为 x ? 0 ,则( C. (1,2] D. [1,2]

8. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 在( ??,2) 上为增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象的对称轴 A. f ( ?1) ? f (3) C. f ( ?1) ? f ( ?3) 二、填空题: 9. 若复数 z 满足 | z| ? 2 ,则 | z ? 1 ? i| 的最大值为___________。 10. 若 f ( x ) ? x ? bx ? c 对任意实数 t,都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) ,则 f (1) 、f ( ?3) 、 f (4) 由
2

B. f (0) ? f (3) D. f (2) ? f (3)

小到大依次为___________。 11. 若 关 于 x 的 方 程 x ? 4| x|?5 ? m 有 四 个 不 相 等 的 实 根 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为
2

___________。 12. 函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 6 x ? 13 的最小值为___________。 1? x2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是

13. 若 直 线 y ? x ? m 与 曲 线 y ? ___________。

6

三、解答题: 14. 若方程 lg( ? x ? 3x ? m) ? lg(3 ? x) 在[0,3] 上有唯一解,
2

求 m 的取值范围。 15. 若不等式 4 x ? x ? ( a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x|0 ? x ? 2} ,求 a 的取值范围。
2

16. 设 a ? 0且a≠1 ,试求下述方程有解时 k 的取值范围。

l o g( x ? ak ) ? l o g2 ( x 2 ? a 2 ) a a

7

【试题答案】 一、选择题 1. C 提示:画出 y ? sin x,y ? lg x 在同一坐标系中的图象,即可。

2. D 提示:画出 y ? a| x|与y ? x ? a 的图象

情形 1: ?

?a ? 0 ?a ?1 ?a ? 1

情形 2: ? 3. A 4. C

?a ? 0 ? a ? ?1 ?a ? ?1

提示: |Z-1|=1 表示以 0) (1, 为圆心, 1 为半径的圆, 以 显然点 Z 对应的复数满足条件 arg z ? 另外,点 O 对应的复数 O,因其辐角是多值,它也满足 arg z ?

?
4



?
4

,故满足条件的 z 有两个。
8

5. B 提 示 : 画 出 y?

x?a

y ? x 的 图 象 , 依 题 意 , m ? ?a,n ? a, 从 而

a ? a ? a ? a ? 0或 2 。

6. C 提示:由 | z2 | ? 2 可知,z2 对应的点在以(0,0)为圆心,以 2 为半径的圆上,

而 | z1 ? z2 | ?| z2 ? ( ? z1 )| ?| z2 ? ( ?3 ? i )| 表示复数 z2 与 ? 3 ? i 对应的点的距离, 结合图形,易知,此距离的最大值为:

| PO|?r ? ( ?3 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 2 ? 10 ? 2
7. C 提示:令 y1 ? ( x ? 1) ,y 2 ? log a x ,
2

若 a>1,两函数图象如下图所示,显然当 x ?(1, 2) 时,

9

要使 y1 ? y 2 ,只需使 log a 2 ? (2 ? 1) ,即a ? 2 ,综上可知
2

当 1 ? a ? 2 时,不等式 ( x ? 1) ? log a x 对 x ?(1, 2) 恒成立。
2

若 0 ? a ? 1,两函数图象如下图所示,显然当 x ?(1, 2) 时,不等式 ( x ? 1) ? log a x 恒不
2

成立。

可见应选 C 8. A 提示:f(x+2)的图象是由 f(x)的图象向左平移 2 个单位而得到的,又知 f(x+2)的图象关于直线 x=0(即 y 轴)对称,故可推知,f(x)的图象关于直线 x=2 对称,由 f(x)在( ??,2 )上为增函数, 可知,f(x)在 (2, ? ?) 上为减函数,依此易比较函数值的大小。

二、填空题: 9. 2 ? 2 提示:|Z|=2 表示以原点为原心,以 2 为半径的圆,即满足|Z|=2 的复数 Z 对应的点在圆 O 上 运动, (如下图) ,而|z+1-i|=|z-(-1+i)|表示复数 Z 与-1+i 对应的两点的距离。

10

由图形,易知,该距离的最大值为 2 ? 2 。 10. f (1) ? f (4) ? f ( ?3) 提示:由 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 知,f(x)的图象关于直线 x=2 对称,又 f ( x ) ? x ? bx ? c 为二
2

次函数,其图象是开口向上的抛物线,由 f(x)的图象,易知 f (1) 、f ( ?3) 、f (4) 的大小。

11. m ?(1,5) 提示:设 y1 ? x ? 4| x|?5
2

y2 ? m ,画出两函数图象示意图,要使方程 x 2 ? 4| x|?5 ? m 有

四个不相等实根,只需使 1 ? m ? 5

12. 最小值为 13
2 提示:对 x ? 2 x ? 2 ?

( x ? 1) ? ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ,联想到两点的距离公式,它 ( x ? 3) 2 ? (1 ? 3) 2 表示点(x,1)到点

2 表示点(x,1)到(1,0)的距离, x ? 6 x ? 13 ?

(3,3)的距离,于是 y ?

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 6 x ? 13 表示动点(x,1)到两个定点(1,0) 、

(3,3)的距离之和,结合图形,易得 y min ? 13. m ? ( ? 2 , ? 1]

13 。

11

提示:y=x-m 表示倾角为 45°,纵截距为-m 的直线方程,而 y ?

1 ? x 2 则表示以(0,0)

为圆心,以 1 为半径的圆在 x 轴上方的部分(包括圆与 x 轴的交点) ,如下图所示,显然,欲使直 线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距 ? m ?[1, 2 ) ,即 m ? ( ? 2 , ? 1] 。 三、解答题:

?? x 2 ? 3 x ? m ? 0 ?? x 2 ? 3 x ? m ? 0 ? ? ?3 ? x ? 0 14. 解:原方程等价于 ? ? ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?? x 2 ? 4 x ? 3 ? m ? ?? x 2 ? 3 x ? m ? 3 ? x ?
令 y1 ? ? x ? 4 x ? 3,y2 ? m ,在同一坐标系内,画出它们的图象,
2

其中注意 0 ? x ? 3 ,当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解, 由下图可见,当 m=1,或 ?3 ? m ? 0 时,原方程有唯一解,因此 m 的取值范围为[-3,0] ? {1}。

注:一般地,研究方程时,需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性研究 方程的解的情况。 15. 解:令 y1 ?

4 x ? x 2 ,y 2 ? (a ? 1) x,其中y1 ? 4 x ? x 2 表示以(2,0)为圆心,以 2
2

为半径的圆在 x 轴的上方的部分(包括圆与 x 轴的交点) ,如下图所示, y2 ? (a ? 1) x 表示过原点 的直线系,不等式 4 x ? x ? ( a ? 1) x 的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的 x 值。

由于不等式解集 A ? {x|0 ? x ? 2} 因此,只需要 a ? 1 ? 1,∴a ? 2 ∴a 的取值范围为(2,+ ? ) 。
12

16. 解:将原方程化为: log a ( x ? ak ) ? log a ∴ x ? ak ?

x2 ? a2 ,

x 2 ? a 2 ,且x ? ak ? 0,x 2 ? a 2 ? 0

令 y1 ? x ? ak ,它表示倾角为 45°的直线系, y1 ? 0 令 y2 ?

x 2 ? a 2 ,它表示焦点在 x 轴上,顶点为(-a,0) (a,0)的等轴双曲线在 x 轴上

方的部分, y2 ? 0 ∵原方程有解, ∴两个函数的图象有交点,由下图,知

?ak ? a或 ? a ? ?ak ? 0
∴ k ? ?1或0 ? k ? 1 ∴k 的取值范围为 ( ??, ? 1) ?(0,1)

13


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