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11.3相互独立事件同时发生的概率(3)--独立重复试验


11.3相互独立事件同时 11.3相互独立事件同时 发生的概率(3) 发生的概率(3)
3. 独立重复试验的概率

2011年5月12日星期四 年 月 日星期四

复习回顾: 复习回顾:
1、互斥事件: 、互斥事件: 不可能同时发生的两个事件 对立事件: 对立事件:必有一个发生的互斥事件 事件A( 事件 (或B)是否发生对事件 )是否发生对事件B 相互独立事件: 相互独立事件: (或A)发生的概率没有影响 ) 2、互斥事件有一个发生的概率公式: 、互斥事件有一个发生的概率公式:

P( A+ B) = P( A) + P(B)

3、对立事件的概率的和等于1.即 对立事件的概率的和等于1.即 P(A)+ P(A)+P( A )=1 或P( A )=1-P(A) )= )=14、相互独立事件同时发生的概率公式: 、相互独立事件同时发生的概率公式:

P( A? B) = P( A) ? P(B)

问题1 某射手射击 某射手射击1次 问题 :某射手射击 次,击中目标的概率是
0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中相 ,他连续射击 次 且各次射击是否击中相 互之间没有影响,那么他第二次未击中其它 互之间没有影响, 三次都击中的概率是多少? 三次都击中的概率是多少?
解:记“射手射击一次击中目标”为事件A 射手射击一次击中目标”为事件 连续射击4次是相互独立的 连续射击 次是相互独立的

P ( A ? A ? A ? A) = P( A) ? P A ? P( A) ? P( A)

()

问题 2:某射手射击一次,击中目标的概率 :某射手射击一次, 次恰好击中目标3次的概率 是0.9,求他射击 次恰好击中目标 次的概率 ,求他射击4次恰好击中目标 次的概率.
思考1:设该射手第 、 、 、 次射击击中目标 思考 :设该射手第1、2、3、4次射击击中目标 的事件分别为 A1、A2、A3、A4 ,事件 A1、A2、A3、A4 是否相互独立? 是否相互独立? 是相互独立 思考2:写出该射手射击4次恰好击中目标 次的 思考 :写出该射手射击 次恰好击中目标3次的 次恰好击中目标 所有可能性? 所有可能性? 次射击中, 解:分别记在第1、2、3、4次射击中,射手击中 分别记在第 、 、 、 次射击中 目标为事件 A1、 A2、 A3、 A4 ,未击中目标为事 未击中目标为事 那么,射击4次 击中3次共 件 A1、2、3、4 , 那么,射击 次,击中 次共 A A A 有下面四种情形: 有下面四种情形: A ? A2 ? A ? A4 A ? A2 ? A ? A4 1 3 1 3

A ?A ?A ?A 1 2 3 4

A ? A2 ? A ? A4 1 3

问题 2:某射手射击一次,击中目标的概率 :某射手射击一次, 次恰好击中目标3次的概率 是0.9,求他射击 次恰好击中目标 次的概率 ,求他射击4次恰好击中目标 次的概率.
思考3:写出该射手射击 次恰好击中目标 次恰好击中目标3次 思考 :写出该射手射击4次恰好击中目标 次 的所有可能性的概率表达式 概率表达式, 的所有可能性的概率表达式,及其概率之间 的关系? 的关系?

= P (1? P)
3

) ( ) ( = P(A ? A ? A ? A ) = P(A ? A ? A ? A )
P A ? A2 ? A3 ? A4 = P A ? A2 ? A3 ? A4 1 1
1 2 3 4

1

2

3

4

1

归 纳:
某射手射击一次, 某射手射击一次,击中目标的 概率是0.9,求他射击4次恰好击中 概率是 ,求他射击 次恰好击中 目标3次的概率 次的概率. 目标 次的概率
把这种事件看做独立重复试验 , 把这种事件看做独立重复试验 它的特点是什么? 特点是什么 它的特点是什么? 计算结果是多少?如果射击5次 计算结果是多少?如果射击 次 结果是多少 射击 恰好击中目标3次呢 你能求出 恰好击中目标 次呢.你能求出 次呢 答案并总结出规律吗 并总结出规律 答案并总结出规律吗?

一、独立重复试验定义: 独立重复试验定义: 在同样的条件下,重复地 各次之间相互独立 在同样的条件下,重复地,各次之间相互独立 地进行的一种试验 . 二、独立重复试验的基本特征: 独立重复试验的基本特征: 基本特征 1、每次试验是在同样条件下进行,试验是一系列 、每次试验是在同样条件下进行, 并非一次而是多次. 的,并非一次而是多次 2、各次试验中的事件是相互独立的. 、各次试验中的事件是相互独立的 3、每次试验都只有两种结果,即某事件要么发生 、每次试验都只有两种结果, 要么不发生, 要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是 一样的. 一样的

进一步探讨
某射手射击4次 某射手射击 次,恰有三枪击中时共有 1 3 种情形? 种情形?每一种情形的概率是 P (1? P) 1 3 3 该射手恰有 恰有三枪击中的概率 该射手恰有三枪击中的概率 C4 P (1? P)

C

3 4

某射手射击5次 某射手射击 次,恰有三枪击中时共有 2 P3 (1? P) 种情形? 种情形?每一种情形的概率是 2 3 3 该射手恰有 恰有三枪击中的概率 该射手恰有三枪击中的概率 C5 P (1? P)

C

3 5

某事件的概率为P, 次独立重复试验中, 某事件的概率为 ,在n次独立重复试验中, 次独立重复试验中 k 这事件恰好发生 恰好发生k次 种不同的情形, Cn 这事件恰好发生 次,有 种不同的情形,每 n?k k 一种情形发生的概率是 写 P (1? P) n?k k 出概率公式 Cn Pk (1? P)

二项分布公式) 三、公式 (二项分布公式 二项分布公式
如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 次独立重复试验中,这个事件恰 次独立重复试验中, ,那么在n次独立重复试验中 好发生k次的概率计算公式 次的概率计算公式: 好发生 次的概率计算公式:

P (k) = C p (1? p) n
k n k

n?k

或P (k ) = C p q n
k n k

n?k

(q =1? p)

一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是P 一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率

P (k) = C P (1? P) n
k n k

n?k

二项分布公式

是( 1? P) P) 展开式中的第k +1项 ( +
n

例1.设一射手平均每射击10次中靶4次,求在 1.设一射手平均每射击10次中靶4 设一射手平均每射击10次中靶 五次射击中 击中一次, ①击中一次, 第二次击中, ②第二次击中, 击中两次, ③击中两次, 第二、三两次击中, ④第二、三两次击中, 至少击中一次的概率. ⑤至少击中一次的概率. 例2.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果 2.某气象站天气预报的准确率为80%,计算( 某气象站天气预报的准确率为80%,计算 保留两个有效数字): 保留两个有效数字): 次预报中恰有4次准确的概率; (1) 5次预报中恰有4次准确的概率; 次预报中至少有4次准确的概率. (2) 5次预报中至少有4次准确的概率.

例3.甲、乙两人进行五局三胜制的乒乓球比赛,若 3.甲 乙两人进行五局三胜制的乒乓球比赛, 甲每局获胜的概率是0.6 乙每局获胜的概率是0.4. 0.6, 甲每局获胜的概率是0.6,乙每局获胜的概率是0.4. (1)求甲以3:0获胜的概率; 求甲以3:0获胜的概率; 3:0获胜的概率 (2)求甲以3:1获胜的概率; 求甲以3:1获胜的概率; 3:1获胜的概率 (3)求甲以3:2获胜的概率. 求甲以3:2获胜的概率. 3:2获胜的概率 05, 例 4. 某一批产品的次品率 P=0.05 , 进行重复抽样检 选取4个样品, 查,选取4个样品,求其中恰有两个次品的概率和其 中至少有两个次品的概率. 中至少有两个次品的概率.

某人参加一次考试, 例 5. 某人参加一次考试 , 若五道题中解对四题则 为及格,已知他的解题正确率为3 为及格,已知他的解题正确率为3/5,试求他能及 格的概率. 格的概率.

10门炮同时向目标各发射一发炮弹 门炮同时向目标各发射一发炮弹, 例 6. 有 10 门炮同时向目标各发射一发炮弹 , 如果 每门炮的命中率都是0 求目标被击中的概率. 每门炮的命中率都是0.1,求目标被击中的概率.

课堂练习: 课堂练习: 种植某种树苗, 成活率为0 1. 种植某种树苗 , 成活率为 0.9 , 现在种植这 种树苗5 试求: 种树苗5棵,试求: 全部成活的概率; (1)全部成活的概率; 全部死亡的概率; (2)全部死亡的概率; 恰好成活4棵的概率; (3)恰好成活4棵的概率; 至少成活3棵的概率. (4)至少成活3棵的概率. 2. 甲 、 乙两人下象棋, 每下三盘, 甲平均能胜 乙两人下象棋 , 每下三盘 , 二盘,若两人下五盘棋, 二盘 , 若两人下五盘棋 , 甲至少胜三盘的概率是 多少? 多少?

3. 在 一 份 试 题 中 出 了 六 道 判 断 题 , 正 确 的 记 不正确的记“ “√”号,不正确的记“×”号.若解答者完全随 便地记上六个符号.试求: 便地记上六个符号.试求: 全部解答正确的概率; (1)全部解答正确的概率; 正确解答不少于4道的概率; (2)正确解答不少于4道的概率; (3)至少正确解答一半的概率. 至少正确解答一半的概率. 某人对一目标进行射击, 4. 某人对一目标进行射击 , 每次命中率都是 25.若使至少命中1次的概率不少于0 75, 0.25.若使至少命中1次的概率不少于0.75,至少 应射击几次? 应射击几次?

例7.某城市的发电厂有5台发电机组,每台机组在一 7.某城市的发电厂有5台发电机组, 某城市的发电厂有 个季度里停机维修率为1/4 1/4, 个季度里停机维修率为1/4,已知两台以上机组停机 维修,将造成城市缺电.计算: 维修,将造成城市缺电.计算: ①该城市在一个季度里停电的概率; 该城市在一个季度里停电的概率; ②该城市在一个季度里缺电的概率. 该城市在一个季度里缺电的概率. 校乒乓球队与高二(2)班乒乓球队举行对抗赛, (2)班乒乓球队举行对抗赛 例8. 校乒乓球队与高二(2)班乒乓球队举行对抗赛, 当校队队员与(2)班队员比赛时, (2)班队员比赛时 当校队队员与(2)班队员比赛时,校队队员获胜的概率 0.6.现在校、班双方商量对抗赛的方式, 为0.6.现在校、班双方商量对抗赛的方式,提出了三 种方案: 双方各出3 双方各出5 种方案:⑴双方各出3人;⑵双方各出5人;⑶双方各 出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜 三种方案中,哪一种方案对班队有利( 利.问:三种方案中,哪一种方案对班队有利(班队获 胜的概率更大一些) 胜的概率更大一些)?

训练与测试: 训练与测试:
1、每次试验的成功率为P(0<P<1),重复进行 次 、每次试验的成功率为 ( < < ) 重复进行 重复进行10次 试验,其中前七次未成功后三次成功的概率( 试验,其中前七次未成功后三次成功的概率( C )
A.C
3 10

P 3 (1 ? P ) B .C
7

3 10

P 3 (1 ? P ) C
3

.P

3

(1 ? P )7 D

.P

7

(1 ? P )3

2、 在某一试验中 A出现的概率为 ,则在 次试 、 在某一试验中, 出现的概率为P,则在n次试 出现的概率为 k n?k k P = Cn (1? P) P 出现k次的概率为 验中 A出现 次的概率为 3、100件产品中有 件不合格,有放回地连续抽取 、 件产品中有3件不合格 件产品中有 件不合格,有放回地连续抽取10 每次一件, 件产品中恰有 件产品中恰有2件不合格的概率为 次,每次一件,10件产品中恰有 件不合格的概率为

P =C (0.03) (1? 0.03)
2 10 2

8

4、某人投篮的命中率为2/3,他连续投 次,则至多 、某人投篮的命中率为 ,他连续投5次 5 投中4次的概率为 投中 次的概率为 5? 2 ? 1?C5 ? ? ? 3?

5、某产品的合格率是0.9,下列事件可看做独立重复试 、某产品的合格率是 , 验的是( 验的是( C ) A. 一次抽三件,都是合格产品; 一次抽三件,都是合格产品; B.一次抽三件,只有 件是次品; 一次抽三件, 件是次品; 一次抽三件 只有2件是次品 C. 抽后放回,连续抽三次,都是次品; 抽后放回,连续抽三次,都是次品; D. 抽出后,合格品不放回,次品放回,连抽三次,都是 抽出后,合格品不放回,次品放回,连抽三次, 合格品. 合格品 的概率是( 的概率是( A. C.
?4? ? ? ?5?
4

4 6、某机器正常工作的概率是 天内有4天正常工作 、 ,5天内有 天正常工作 天内有 5

B
4



?1? ?? ? ?5?

B. D.

4 ?4? C5 ? ? ? ?5?

?4? ?1? ? ??? ? ? 5? ?5?

?1? ?? ? ?5? 4 4? ?1? ? C54 ? ? ? ? ? ? ?5? ?5?

4

7、在4次独立重复试验中,若已知事件A至少发 次独立重复试验中,若已知事件A
65 则事件A 生一次的概率是 81 ,则事件A在一次试验中发生

的概率是( 的概率是(
1 A. 3

A )
2 B. 5 5 C. 6

D.以上都不对. D.以上都不对. 以上都不对

8、在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生 次独立重复试验中,随机事件A 一次的概率不大于其恰好发生两次的概率, 一次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事 在一次试验中发生的概率P的取值范围是( 件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是( A)
0 1 0 1] A. [0 . 4,) B. (0,.4 ] C. [0, . 6 ) D. (0 .6,

9.甲,乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队 甲 乙两队参加乒乓球团体比赛, 与乙队之比为3: , 与乙队之比为 :2,若比赛时均能正常发 挥技术水平,则在5局 胜制中 甲打完4 胜制中, 挥技术水平,则在 局3胜制中,甲打完 3 2 2 ? 3? 2 局才能取胜的概率为 C3 ? ( ) ? ( ) ? ? ? 5 5 ? 5? 10.每次试验的成功率为 (0<P<1),重复 每次试验的成功率为P( ),重复 每次试验的成功率为 ), 进行试验直至第n 次才取得r( 进行试验直至第 次才取得 (0≤r≤n), ), r ?1 次成功的概率为 Cn?1 ? Pr?1 ? (1? P)n?r ? P 11.若奖券的中奖面为 若奖券的中奖面为1/5 ,最少应购奖券 若奖券的中奖面为 _____张,才能保证至少有一张奖券中奖的 14 张 才能保证至少有一张奖券中奖的 4 n 概率大于0.95 . 概率大于 1? ( ) > 0.95
5


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