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直线与平面垂直的判定及性质


直线与平面垂直的判定及性质

孙景爽

知识探究(一):直线与平面垂直的概念

(1)直线在平面内,

(2)直线与平面平行,
(3)直线与平面相交 (垂直)

大漠孤烟直

A

B

A


B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

α 内不过点B的直线 ⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A

α 内过点B的直线 ⊥ AB所在直线

B

α

B1 C1

C

直线与平面垂直的定义:
文字表示:

画直线与平面平行时,通常把直线画成与 如果一条直线 l与平面α内的任意一条直线都垂直, 表示平面的平行四边形的一边垂直。
则称这条直线与这个平面垂直.记作 l ? ?
平面α的垂线
奎屯

王新敞

新疆

l
直线l的垂面

图形表示:

α

P
垂足

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)
1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面 内所有的直线都垂直. ( ) 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那 么它与平面垂直. ( )
b a
α

知识探究(二):直线与平面垂直的判定定理
1.提出问题:除定义外,有没有比较方便可行的方法 来 判断一条直线与一个平面垂直呢?

探究活动:请同学们拿出一块
三角形的纸片,做如图所示的 试验: 过△ABC的顶点A翻折纸片, 得到折痕AD,将翻折后的纸片 A 竖起放置在桌面上(BD、DC与 桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直? B D C
D A

?

B D

C

A

l
?
C B D

m

C

α

O

n

2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ? ?,n ? ? ? a ? m?n?O ?a ?? ? m ? a ? m , a ? n ? ? O n

线线垂直

?

线面垂直

关键:线不在多,相交则行

例1:如下图,已知a∥b,a⊥α,求证:b⊥α.

a

b

l
α

m

n

知识探究(三):直线与平面垂直的性质

如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何?它们彼此之间具有什么 位置关系? C1
D1
B1 C B

A1
D

A

例2:如图所示,在长方体ABCD- A1B1C1D1中,E∈平面AC,F∈平面A1C1,且 EF⊥平面AC. 求证:EF∥AA1.
证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD, 且 AB∩AD=A, AB?平面AC,AD?平面AC, ∴AA1⊥平面AC. 又∵EF⊥平面AC, ∴EF∥AA1.

三、理论迁移 例3 : 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? 于点A,CB ? ? 于点B,a ? ? , a ? AB, 求证: a // l .
β B l
A a C

α

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直”

a ∥b

变式探究

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面”

a ∥b

变式探究

b
l

a

α

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面”

a ∥b

变式探究

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , b ∥α a⊥ b β β

a ∥b

变式探究

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a⊥β α β

a ∥b

变式探究

a

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a⊥β α β

a ∥b

变式探究

a
b
c

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a⊥β

a ∥b

变式探究

a
b
c

2.逆向探究:


α 交换“条件”与“结论” β

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a⊥β

a ∥b

变式探究

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , b ∥α

a⊥ b

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a⊥β

a ∥b

变式探究

a

b
α

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a⊥ b

b
α

a

b ∥α

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a⊥β

a ∥b

变式探究

a

b
α

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a⊥ b


b
α

a

b ∥α

a ⊥α , b⊥α 性质定理: 1.类比探究:
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a⊥β

a ∥b

变式探究

a
α
β

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a⊥ b ②a ⊥α , β ∥α

b ∥α a⊥β

1.判断下列命题是否正确: 正确的是:①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行; ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

2.若a,b表示直线, ? 表示平面,下列命 题正确的是 (3)(4) 。 (1)a ? ? , a ? b, 则b // ? (2)a // ? , a ? b, 则b ? ? (3)a // ? , b ? ? , 则b ? a (4)a ? ? , b ? ? , 则b ? a

如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E∈平面 AC, F∈平面 A1C1,且 EF⊥平面 AC.求证:EF∥AA1.

∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB?平面AC, AD?平面AC,∴AA1⊥平面AC. 又∵EF⊥平面AC,∴EF∥AA1.

如下图,已知矩形 ABCD 过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于点 E,过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于点 F.

(1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于点G, 求证:AG⊥SD.

[答案]

(1)∵SA⊥平面AC,BC?平面AC,

∴SA⊥BC. ∵ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB, ∴BC⊥AE.又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC. 又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC, 又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.

(1)直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线 面、 面面平行的相互转化的桥梁, 因此必须熟练掌握这些定理, 并能灵活地运用它们. (2)判定线面垂直的方法主要有以下四种: ①直线与平面垂直的定义: 一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,则这条直 线和这个平面垂直.

②直线和平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线和这个平面垂直. ③直线和平面垂直的性质定理: 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也 a∥b? ? ??b⊥α. 垂直于同一平面, a⊥α? ?

小 结
1.知识方法
①线面垂直的性质定理及其应用 ②反证法 ③类比探究,逆向探究

2.数学思想
线面关系 转化 垂直关系 空间问题

线线关系 平行关系 平面问题


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