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圆锥曲线知识点总结


高中数学圆锥曲线选知识点总结
一、椭圆
1、定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点 的轨迹称为椭圆. 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上<

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图形

标准方程 范围

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?

顶点

?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0,b ?

?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

短轴的长 ? 2b 长轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴、原点对称
c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁 a a

-1-

二、双曲线 1、定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于
F1 F2 )的点的轨迹称为双曲线.即: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。

这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 渐近线方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?

?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

虚轴的长 ? 2b 实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称
c b2 e ? ? 1 ? 2 ? e ? 1? , e 越大,双曲线的开口越阔 a a

y??

b x a

y??

a x b

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线

-2-

1、定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛 物线.定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 2、抛物线的几何性质:
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

标准方程 范围 顶点 对称轴

? p ? 0?
x?0

? p ? 0?
x?0

? p ? 0?
y?0

? p ? 0?
y?0

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?

y轴
? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? p? ? F ? 0, ? 2? ?
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

准线方程 离心率
焦半径

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

e ? 1 , p 越大,抛物线的开口越大
MF ? x0 ? p 2 MF ? ? x0 ? p 2 MF ? y0 ? p 2 MF ? ? y0 ? p 2

M ( x0, y0 )
通径 焦点弦长 公式

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p

AB ? y1 ? y2 ? p

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为 抛物线的“通径”,即 ?? ? 2 p . 4、关于抛物线焦点弦的几个结论:
B 设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,直线 AB
的倾斜角为 ? ,则

-3-

⑴ x1 x2 ?

p2 2p , y1 y2 ? ? p 2 ; ⑵ AB ? ; 4 sin 2 ?

⑶以 AB 为直径的圆与准线相切; ⑷焦点 F 对 A 、 在准线上射影的张角为 B ⑸

?
2



1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P

四、直线与圆锥曲线的位置关系
? ?几何角度 主要适用于直线与圆的位置关系) ( ?直线与圆锥曲线的位置关系? ? ?代数角度(适用于所有直线与圆锥曲线位置关系) 1. 直线与圆锥曲线? ?直线与圆锥曲线相交的弦长问题?利用一般弦长公式(容易) ? ? ?利用两点间距离公式(繁琐) ?

2.直线与圆锥曲线的位置关系: ⑴.从几何角度看:(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与 双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有 一个交点。 ⑵.从代数角度看:设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 ax2 ? bx ? c ? 0 。 ①. 若 a =0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合; 当圆锥曲线是抛物线时,直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若 a ? 0 ,设 ? ? b 2 ? 4ac 。 a . ? ? 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。 b. ? ? 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。c. ? ? 0 时,直线和圆锥曲线没有公 共点,相离。

五、弦长问题:
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而不求, 根据根与系数的关系,进行整体代入。即当直线 斜率为k 与圆锥曲线交于点

A?x 1 , y1 ? , B?x 2 , y 2 ? 时,则

?

?

AB = 1 ? k 2 x1 ? x 2 = 1 ? k 2
= 1?

?x1 ? x 2 ?2 ? 4 x1 x 2
? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2
-4-

1 1 y1 ? y 2 = 1 ? 2 2 k k


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