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§2.1.1 指数与指数幂的运算导学案


§ 2.1.1 姓名
学习目标

指数与指数幂的运算导学案 班级 学号

1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性; 2. 了解根式的概念及表示方法; 3. 理解根式的运算性质.

学习过程
一、课前准备 复习 1: (初中根式的概念)如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的 作 ; 如果一

个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的 ,记作 ,记 .

探究任务一:根式的概念及运算
考察: (?2)2 ? 4 ,那么 ?2 就叫 4 的 ; 33 ? 27 ,那么 3 就叫 27 的 . .
n



(?3) ? 81 ,那么 ?3 就叫做 81 的
4

依此类推,若 x ? a ,,那么 x 叫做 a 的
n

新知:一般地,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ( n ? 1 , n ? ? ? .简记: n a .
例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 . 反思:当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? 例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 , 记: x ? n a . 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: 81 的 4 次方根就是 ,记: ? n a .

th root ),其中

强调:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,即 n 0 ? 0 .
试试: b 4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b 3 ? a ,则 a 的 3 次方根为 .

新知:像 n a 的式子就叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数(radical exponent) ,a 叫做被开方数(radicand).
n n a 结论: ( n a )n ? a . 当 n 是奇数时,

?a (a ? 0) n n ? a; a ?| a |? ? 当 n 是偶数时, . ??a (a ? 0)

※ 典型例题 例 1 求下类各式的值:
(1)
3

(?a)3 ;

(2)

4

(?7)4

1

(3) 6 (3 ? ? )6 ;

(4)

2

(a ? b)2 ( a ? b ).

探究任务二:分数指数幂
引例:a>0 时, 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 ,则类似可得
3
10

3

a12 ?



a2 ? (a 3 )3 ? a 3 ,类似可得 a ?

3

2

2

.

新知:规定分数指数幂如下
a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ;
m

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) .

试试: (1)将下列根式写成分数指数幂形式:
2

35 =
a =
2



3

54 =
?



m

(a ? 0, m ? N ) .
2

(2)求值: 8 3 ;

55 ;

6

?

4 3



a

?

5 2

.

反思:① 0 的正分数指数幂为 ;0 的负分数指数幂为 . 小结: 规定了分数指数幂的意义后, 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数, 那么整数指 数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

有理数指数幂的运算性质: ( a ? 0, b ? 0, ar · ar ? ar ? s ; (ar )s ? ars ; (ab)r ? a r a s .
※ 典型例题
2 ? 4

r, s ? Q )

例 1 求值: 27 3 ;

16 3 ;

3 ( )?3 ; 5

(

25 ? 2 ) 3. 49

例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b2 ? b ; (2) b3 ?5 b3 ; (3) 3 b 4 b .

例 3 计算(式中字母均正) : (1) (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ;
2 1 1 1 1 5 1 3

(2) (m 4 n 8 )16 .

2

例 4 计算: a3 (1) a ?3 a 4

(a ? 0) ;

(2) (2m2 n 5 )10 ? (?m 2 n?3 )6 (m, n ? N ? ) ;

?

3

1

(3) ( 4 16 ? 3 32) ? 4 64 .

小结:在进行指数幂的运算时,一般地,化指数为正指数,化根式为分数指数幂,对含有指 数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 无理数指数幂 a? (a ? 0,? 是无理数) 是一个确定的实数.实数指数幂的运算性质同样适用于 无理数指数幂。

课堂练习: 已知 a 2 ? a (1) a ? a ;
?1

1

?

1 2

=3,求下列各式的值: (2) a ? a ;
2 ?2

(3)

a2 ? a a2 ? a
1

3

? ?

3 2 1 2

〖作业〗
1. 化简下列各式: (1) (
36 3 )2 ; 49

(2)

a2 b

b3 a . a b3

3

2. 计算: (1) 3 3 ?4 3 ?4 27 ;

8a3 4 ) . (2) 6 ( 125b3

3.已知 a 2 ? a (1) a ? a
1 2

1

?

1 2

? 3 ,求:

?

1 2



(2) a 2 ? a 2 .

3

?

3

4. 已知 x+x-1=3,求下列各式的值. (1) x 2 ? x 2 ;
1 ? 1

(2) x 2 ? x 2 .

3

?

3

4


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