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2014届人教A版数学(理)课件:第3章 第8节 正弦定理、余弦定理的应用举例


第八节

正弦定理、余弦定理的应用举例

1.仰角和俯角

上方 的角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线______
下方 的角叫俯角(如图3-8-1①). 叫仰角,在水平线_______

2.方位角和方向角
顺时针 转到目标方向线的水 (1)方位角:从指北方向 ___

______

平角,如B点的方位角为α(如图3-8-1②).
(2) 方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° 等. 3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比.

1. (人教A版教材习题改编)如图 3- 8- 2所示,已知两座灯塔 A和B与 海洋观察站C的距离都等于a km,灯 塔 A在观察站C的北偏东 20°,灯塔B 在观察站 C的南偏东40°,则灯塔A与 灯塔 B的距离为( ) A. a km B. 3a km C. 2a km D. 2a km

【解析】 120° ,

在△ABC中,AC=BC=a,∠ACB=

∴AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,AB= 3a.

【答案】

B

2.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若 ∠ CAB=75°,∠ CBA=60°,则 A、 C两点之间的距离为 ________千米.
【解析】 °, ∴∠ACB=180°-75°-60°=45°, AC AB 又AB=2,由正弦定理,得 = ,故AC sin 60° sin 45° = 6. 在△ABC中,∠CAB=75°,∠CBA=60

【答案】

6

3.一船自西向东航行,上午 10时到达灯塔 P 的南偏

西 75°、距塔 68海里的 M 处,下午 2时到达这座灯塔的东
南方向的N处,则这只船航行的速度为________海里/时.

【解析】 如图.由题意知∠MPN=75°+45°=120 °,∠PNM=45°. 在△PMN中,由正弦定理,得 MN PM = ,∴MN=34 6. sin 120° sin 45°

又由M到N所用时间为14-10=4小时, 34 6 17 ∴船的航行速度v= = 6(海里/时). 4 2
17 【答案】 6 2

4 . (2013· 梅州模拟 ) 如图 3 - 8 - 3 ,为了测量河的宽

度,在一岸边选定两点A,B望对岸的标记物C,测得∠CAB
= 30°,∠ CBA = 75°, AB = 120 m .则这条河的宽度为 ________m.

【解析】 因为∠ CAB= 30° ,∠CBA= 75°, 则∠ ACB= 180°- 30°- 75°= 75°, 所以 AC= AB=120 m, 1 1 1 所以 S△ ABC= · AC· AB· sin A= ×120× 120× =3 2 2 2 600, 1 设这条河的宽度为 h,则S△ ABC= × AB·h, 2 1 ∴ h= AC· sin A= 120× = 60(m). 2

【答案】

60

(2013· 佛山调研 )如图 3- 8- 4 所示, A, B是海面上位于东西方向相 距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位 于 A点北偏东45°,B点北偏西60°的 D点有一艘轮船发出求救信号,位于 B点南偏西 60°且与 B点相距20 3海 里的 C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里 /小 时,该救援船到达D点需要多长时间?

【思路点拨】 → 求时间 t
【尝试解答】

在△BAD中,由正弦 △BCD中,用余 → 定理,求 DB 弦定理求 CD

由题意知 AB= 5(3+ 3)海里,

∠ DBA= 90°- 60°= 30°,∠ DAB= 90°- 45°= 45°, ∴∠ ADB= 180°- (45°+ 30° )= 105°, 在△ DAB中,由正弦定理, DB AB 得 = , sin∠ DAB sin∠ ADB

AB· sin∠ DAB 5( 3+ 3) · sin 45° ∴ DB= = sin∠ ADB sin 105° 5( 3+ 3) · sin 45° 5 3( 3+ 1) = = sin 45° cos 60°+ cos 45° sin 60° 3+ 1 2 = 10 3(海里 ), 又∠ DBC=∠ DBA+ ∠ ABC= 60°, BC= 20 里 ). 在△ DBC中,由余弦定理得 CD2= BD2+ BC2- 2BD· BC· cos∠ DBC 3 (海

1 = 300+1200-2× 10 3×20 3× =900. 2 ∴ CD= 30(海里). 30 则需要的时间 t= = 1(小时). 30

1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角 形中,建立一个解三角形的模型; 2 . 利用正、余弦定理解出所求的边和角,得出该数学 模型的解.

某单位在抗震救灾中,需要在A、 B两地之间架设高压电线,测量人员在 相距6 000 m的C、D两地(A、B、 C、 D在同一个平面上),测得∠ ACD=45°, ∠ ADC= 75°,∠BCD= 30°, ∠ BDC= 15° (如图3- 8- 5),假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因, 实际所需电线长度大约应该是A、 B距离的1.2倍,问施工单 位至少应该准备多长的电线?(参考数据: 2 ≈ 1.4, 3 ≈ 1.7, 7≈2.6)

【解】 在△ ACD中,∠ CAD= 180°- ∠ACD- ∠ ADC= 60°, CD= 6 000,∠ ACD= 45°, CDsin 45° 根据正弦定理 AD= = sin 60° 2 CD, 3

在△ BCD中, CD= 6 000,∠ BCD= 30°, ∠ CBD= 180°- ∠ BCD-∠BDC= 135°, CDsin 30° 2 根据正弦定理 BD= = CD. 2 sin 135° 又△ ABD中, ∠ ADB=∠ ADC+∠ BDC= 90°, 2 1 2 2 AB= AD + BD = + CD= 1 000 42, 3 2 实际所需电线长度约为1.2AB≈ 7 425.6(m).

(2013· 东莞质检 )某气象仪器研 究所按以下方案测试一种“弹射型” 气象观测仪器的垂直弹射高度:A、 B、 C三地位于同一水平面上,在C处进行 该仪器的垂直弹射,观测点A、 B两地 相距 100米,∠ BAC= 60°,在 A地听到 2 弹射声音的时间比B地晚 秒.在 A地 17 测得该仪器至最高点H时的仰角为 30°,求该仪器的垂直弹 射高度 (声音的传播速度为340米 /秒 )

【思路点拨】

用|AC|表示|BC|,在△ABC中,根据余

弦定理列方程求|AC|,在△ACH中,求|CH|.

【尝试解答】 由题意,设|AC|= x, 2 则 |BC|= x- ×340= x- 40, 17 在△ ABC中,由余弦定理得: |BC|2=|BA|2+ |CA|2- 2|BA|· |CA|· cos∠ BAC, ∴ (x- 40)2= x2+ 10 000- 100x,解得x= 420. 在△ ACH中, |AC|= 420,∠ CAH= 30°, ∠ ACH= 90 °, 所以 |CH |=|AC|· tan∠ CAH= 140 3. 答:该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米.

1.在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念,仰 角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角; 2 . 分清已知条件与所求,画出示意图;明确在哪个三 角形内运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形.

某 人 在 C 点 测 得 某 塔 在 南 偏 西 80° , 塔 顶 A 仰 角 为
45°,此人沿南偏东 40°方向前进 10米到 D ,测得塔顶 A 的 仰角为30°,求该塔的高度.

【解】 如图所示,设塔高为h,在Rt△AOC中, ∠ACO=45°, 则OC=OA=h, 在Rt△AOD中,∠ADO=30°, ∴OD= 3·OA= 3h,

在△OCD中,CD=10,且∠OCD=120°, 由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC· CDcos∠ OCD, 即( 3h)2=h2+102-2h×10×cos 120°, ∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍). 因此该塔的高度为10米.

在海岸A处,发现北偏东45°方向、距离 A处( 3 -1) 海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向、距离 A 处 2海里的 C处的缉私船奉命以10 3 海里/小时的速度追截走 私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏 东 30°方向逃窜,问缉私船什么方向能最快追上走私船? 最少要花多少时间?

【思路点拨】 设缉私船t小时后在D处追上走私船, 确定出三角形,先利用余弦定理求出BC,再利用正弦定理 求出时间.

【尝试解答】 设缉私船t小时后在 D处追上走私船, 则有 CD= 10 3t, BD= 10t. 在△ ABC中, AB= 3- 1, AC= 2,∠ BAC= 120°. 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得 AC 2 3 2 sin∠ ABC= sin∠ BAC= × = , BC 2 6 2

∴∠ ABC= 45°,因此BC与正北方向垂直. 于是∠CBD=120° . 在△ BCD中,由正弦定理,得 BDsin∠ CBD 10t· sin 120° 1 sin∠ BCD= = = , CD 2 10 3t 得∠ BCD= 30°, CD BC 10 3t 6 又 = ,即 = 6,得t= . 10 sin 120° sin 30° 3 所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私 6 船,最少要花 小时. 10

测量角度问题的一般步骤

(1) 在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,
并在图形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解.

某货船在索马里海域航行中遭遇海盗袭击,发出呼救信 号,我海军护航舰在 A 处获悉后,立即测出该船在方位角

45°,距离 10 海里的 C 处,并测得该船正沿方位角 105°的
方向,以每小时10海里的速度向前行驶,我海军护航舰立即 以每小时 103海里的速度前去营救,求护航舰的舰向和靠近 货船所需的时间.

解三角形应用题的一般步骤: (1) 阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与 未知,理清量与量之间的关系. (2) 根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形

问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

(4) 将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的
有关单位问题、近似计算的要求等.

解三角形应用题常有以下两种情形: (1) 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中 在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.

(2) 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两
个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条 件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知 量,从几个三角形中列出方程 ( 组 ) ,解方程 ( 组 ) 得出所要求 的解.


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