2013年武警部队院校招生统一考数学答案

2013 年武警部队院校招生统一考试
数 学 试 题
（本试卷共三大题，满分 150 分，考试时间 150 分钟） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个符合题目要求的，把该项的代号写在题后的括号内。 1．已知集合 M＝ ?x | ?2 ? x ? 2, x ? R?，N＝ ?x | x ? 1, x ? R? ，则 M∩N 等于（ B ） A.（1，2） B． （-2，1） C． ? D． （-∞，2） （ B. A ）

出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(

B )

A．1800 B．3600 C．4320 D．5040 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在题中横线上。 9． sin 33? cos 27? ? cos 33? sin 27? ?

3 2

.

10． 过点 A （2， 且平行于直线 x ? 2y ? 3 ? 0 的直线方程为____ x ? 2 y ? 8 ? 0 ________. 3） 11．甲、乙两个人投篮，他们投进蓝的概率分别为 人都投进的概率是

2 1 ， 现甲、乙两人各投篮 1 次则两个 5 2

2． sin 585 °的值为 A. ?

1 5

12．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，已知 AB ? 3 ，AA1=1，则异面直线 BA1 与 CC1 所成的角为

2 2

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2
（ C ）

_____

? ________. 3
A1

D1 B1 D A 1： 3 B

3．设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和，已知 a2 ? 3 ， a6 ? 11 ，则 S7 等于 A.13
2

5i 13． i 是虚数单位， = ? 1 ? 2i 2?i
14.函数 f ( x) ?

C1

B.35

C.49

D.63 （ A ）

4．抛物线 x ? 4 y 的焦点坐标是 A.（0,1） B.（1,0） C.（0，-1） D.（-1,0）

x ?1 的定义域是 x<－1 或 x≥1 x ?1

C

15．正方体的内切球与外接球的半径之比为 ） 16． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) ?

三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5．a, b, c ? R ，下列命题正确的是 A. a ? b ? a ? b
2 2

（ C B. a ? b ? ac ? bc D. a ? b ?

3 1 sin x ? cos x, x ? R 求 f ( x) 的最大值，并 2 2

C. a ? b ? a ? c ? b ? c

1 1 ? a b
（ A D.6 ）

求使 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合。 解： f ( x) ? cos

6．已知向量 a ? (1,2),b ? ( x,?4) ，若 a ∥ b ，则 a ? b 等于 A.－10 B.－6 C.0

cos x ? sin( x ? ) 6 6 6 ? ? 2? , k ? Z 时， f ( x)max ? 1 当 x ? ? 2k? ? ，即 x ? 2k? ? 6 2 3

?

sin x ? sin

?

?

7．双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的准线方程是（ B ） 9 16
B
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17、 （本小题满分 12 分，其中（1）（2）各 6 分） 、 已知集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? (a 2 ? 5) ? 0

?

?

?

?

A

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16 5

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C

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D

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(1).若 A ? B ? ?2? ，求实数 a 的值；(2).若 A ? B ? A ，求实数 a 的取值范围.

?．高三（一）班学生要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演
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（答案： a ? ?1或- 3 ； a ? ?3 ）

?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 ．
20、 （本小题满分 13 分，其中（1）6 分（2）7 分） 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

…………………………12 分

18、 （本小题满分 12 分，其中（1）（2）各 6 分） 、 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分 别为 1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片， 从这六张卡片中任取两张， 求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 【答案】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种：红 1 红 2，红 1 红 3，红
1

1 2 a ?1 n ? 2n ( n ? N ? ) ，数列 {bn } 满足 bn ? n ， 2 an

（1）判断数列 {an } 是否为等差数列，并证明你的结论； （2）求数列 {bn } 中的最大项和最小 项。 （略） 21、 （本小题满分 13 分，其中（1）6 分， （2）7 分） 已知椭圆 C：

蓝 1，红 1 蓝 2，红 2 红 3，红 2 蓝 1，红 2 蓝 2，红 3 蓝 1，红 3 蓝 2，蓝 1 蓝 2.其中两张卡片 的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，故所求的概率为 P ?
3 . 10

x2 y 2 2 + 2 =1 （a＞b＞0） 的一个顶点为 A （2,0） 离心率为 ， ， 直线 y=k(x-1) 2 a b 2

密 封

与椭圆 C 交与不同的两点 M,N （Ⅰ）求椭圆 C 的方程（Ⅱ）当△AMN 的面积为

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10 种情况外， 多出 5 种情况：红 1 绿 0，红 2 绿 0，红 3 绿 0，蓝 1 绿 0，蓝 2 绿 0，即共有 15 种情况，其 中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况，所以概率为 P ? 19、 （本小题满分 13 分，其中（1）4 分（2）4 分（3）5 分） 如 图 ， AB 为 圆 O 的 直 径， 点 E 、 F 在 圆 O 上 ， AB // EF ， 矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂 直，且 AB ? 2 ， AD ? EF ? 1 . （Ⅰ）设 FC 的中点为 M ，求证： OM // 平面 DAF ； （Ⅱ） 设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的 体积分别为 VF ? ABCD ， VF ?CBE ，求 VF ? ABCD : VF ?CBE ． （Ⅰ）证明：设 DF 的中点为 N ，则 MN // 又 AO //
8 . 15

10 时，求 k 的值 3

线 内 不 要 答 题

C

D

B

M E

1 CD ， 2

O
A

? a?2 ? x2 y 2 2 ? c ? ? 1. 解： （1）由题意得 ? 解得 b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 ? 4 2 a 2 ? 2 ?a ? b 2 ? c 2 ? ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 （2）由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2 设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ， 则 y1 ? k ( x1 ?1) ， y2 ? k ( x2 ?1) ，
x1 ? x2 ? 4k 2k ? 4 ， x1 x2 ? . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2 2
2 2 2 2

F

1 CD ，则 MN // AO ， MNAO 为平行四边 2 ? OM // AN ，又 AN ? 平面 DAF ， OM ? 平面 DAF ， 形， ? OM // 平面 DAF . …………………………4 分 （Ⅱ）过点 F 作 FG ? AB 于 G ，? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ， 1 2 ? FG ? 平面 ABCD ，?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG ， 3 3 ? CB ? 平面 ABEF ， 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG ， 3 3 2 6
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2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) 所以|MN|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] = . 1 ? 2k 2 |k| ） 由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ? ， 1 ? 2k 2
所以△AMN 的面积为 S ?

k ? ?1 .

1 | k | 4? 6 2 k | k | 4 ? 6k 2 10 . 由 ，解得 | MN | ?d ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3

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