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直线与圆的关系


§4.2.1直线与圆的位置关系

教学目标
? 1、知识与技能 ? (1)理解直线与圆的位置的种类; ? (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离 公式求圆心到直线的距离; ? (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的 位置关系. ? 3、情态与价值观 ? 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆 的位置关系,培养学生数形结合的思想.

r /> ? 二、教学重点、难点: ? 重点: ? 直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方 法. ? 难点: ? 用坐标法判直线与圆的位置关系.
学.科.网zxxk

实例引入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响 的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台 风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么 它是否会受到台风的影响?
y

为解决这个问题,我们以 台风中心为原点 O,东西方向 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系,其中取 10km 为单位 长度.

港口

O

轮船

x

实例引入
这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:

x ? y ?9
2 2

轮船航线所在直线 l 的方程为:

y 港口

4 x ? 7 y ? 28 ? 0
问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点
学.科.网

O

轮船

x

知识探究(一):直线与圆的位置关系的判定

思考1:在平面几何中,直线与圆的 位置关系有几种?
思考2:在平面几何中,我们怎样判 断直线与圆的位置关系?
d r d r r

d

d <r

D =r

d >r

思考3:如何根据直线与圆的公共点 个数判断直线与圆的位置关系?
zxxkw

两个公共点

一个公共点

没有公共点

思考4:在平面直角坐标系中,我们 用方程表示直线和圆,如何根据直 线与圆的方程判断它们之间的位置 关系? 方法一:根据直线与圆的联立方程组 的公共解个数判断; 方法二:根据圆心到直线的距离与圆 半径的大小关系判断.

思考5:上述两种判断方法的操作步 骤分别如何? 代数法:
1.将直线方程与圆方程联立成方程组;

2.通过消元,得到一个一元二次方程; 3.求出其判别式△的值;
4.比较△与0的大小关系: 若△>0,则直线与圆相交; 若△=0,则直线与圆相切; 若△<0,则直线与圆相离.

直线与圆的位置关系的判定方法几何法: 直线l:Ax+By+C=0

圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关 系判断: aA ? bB ? C

d?

A ?B
2

2

d>r
d=r

直线与圆相离
直线与圆相切 直线与圆相交

d<r

理论迁移: 例1:如图,已知直线l: 3x ? 断直线l与圆的位置关系;
zxxk

y ?6 ? 0 2 2 和圆心为C的圆: x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判
y

B

如果相交,求 它们交点的坐 标。

C O

A
x

解法一:由直线l与圆的方程,得:

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0
消去y,得:
2

联立方程组

因为

x ? 3x ? 2 ? 0 2 ? ? (?3) ? 4 ?1? 2
?1? 0

消元(x或y)
求解△ 比大小 作结论

∴直线与圆相交, 有两个公共点。

解法二:圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 可化为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,
2 2

其圆心C的坐标为(0,1), 半径成为 5 , 点C(0,1)到直线l的距离

求圆心与半径

d?

3? 0 ?1 ? 6 32 ? 12

5 ? 10

求距离 比大小

?d ? 5
∴直线与圆相交, 有两个公共点。

作结论

直线与圆位置关系的判断
例 2:当 k 为何值时,直线 l:y=kx+5 与圆 C:(x-1)2+ y2=1:(1)相交?(2)相切?(3)相离?

思维突破:判断直线与圆的位置关系有两种方法:几何法
和代数法,使用时以几何法为主.

? ?y=kx+5 解法一(代数法):由? 2 2 ? ??x-1? +y =1

消去 y 得,

(x-1)2+(kx+5)2=1,即(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0. 故Δ=(10k-2)2-4×25(k2+1)=-96-40k. 12 (1)当Δ>0,即 k<- 5 时,直线与圆相交.

12 (2)当Δ=0,即 k=- 5 时,直线与圆相切.
12 (3)当Δ<0,即 k>- 5 时,直线与圆相离.

解法二(几何法):圆心 C 的坐标为 C(1,0),半径 r=1,圆心

k+5 C 到直线 l 的距离 d= 2. 1+ k
|k+5| 12 (1)当 d<r,即 <1?k<- 5 时,直线与圆相交. 1+k2 |k+5| 12 (2)当 d=r,即 2=1?k=- 5 时,直线与圆相切. 1+ k |k+5| 12 (3)当 d>r,即 >1?k>- 5 时,直线与圆相离. 1+k2

1-1.求实数 b 的范围,使直线 y=x+b 和圆 x2+y2=2: (1)相交;(2)相切;(3)相离.

解法一:由圆 x2+y2=2 得圆心为(0,0),半径为 2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (1)相交?d= = <r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得-2<b<2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (2)相切?d= = =r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得 b=-2 或 b=2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (3)相离?d= = >r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

综上得 b<-2 或 b>2.

变式2:求实数 b 的范围,使直线 y=x+b 和圆 x2+y2=2:
(1)相交;(2)相切;(3)相离.

解法一:由圆 x2+y2=2 得圆心为(0,0),半径为 2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (1)相交?d= = <r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得-2<b<2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (2)相切?d= = =r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

解得 b=-2 或 b=2.
? ? ? 0+0+b? ? ?b? (3)相离?d= = >r= 2, 2 1+ 1 ? ? ?

综上得 b<-2 或 b>2.

? ?y=x+b 解法二:由方程组? 2 2 ? ?x +y =2



得 2x2+2bx+b2-2=0,Δ=-4(b2-4). (1)当Δ>0,即-2<b<2 时,直线与圆相交.

(2)当Δ=0,即 b=-2 或 b=2 时,直线与圆相切.
(3)当Δ<0,即 b<-2 或 b>2 时,直线与圆相离.

三、直线与圆相交时弦长的求法:
(1)几何法:用弦心距d,半径r及 半弦构成直角三角形的三边
? AB ? r ? d ?? ? , d为弦心距,r为半径 ? 2 ?
2 2 2

y r

B

A

d O

x

(2)代数法:用弦长公式
AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ? ? x1 ? x2 ? ? 4x1 ? x2
2 2 2

?1? ?1? AB ? 1 ? ? ? ? y1 ? y2 ? 1 ? ? ? ? ?k? ?k?

2

2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 ? y2

弦长问题 例 3:直线 l:x+y+1=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长 为________. 思维突破(方法一):圆心 C(3,0),r=3,如图 1,圆心 C(3,0)

|3+0+1| 到直线 l:x+y+1=0 的距离 d= =2 2
∴弦长|AB|=2 r2-d2=2 9-8=2.
(方法二):直线l:y=-x-1,斜率k=-1,
? ?x+y+1=0 ? 2 2 ? ??x-3? +y =9

2,

1 ?x -2x+2=0.
2

1 设 x1、x2 为 x2-2x+2=0 的两实数解,

图1

1 则 x1+x2=2,x1x2=2. ∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+1· 4-2= 2× 2=2.
答案:2

3-1.(2010 年四川)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于

2 3 A、B 两点,则|AB|=_____.
解析:圆心为(0,0),半径为 2 2,圆心到直线 x-2y+5= 2)2, 得

?|AB|?2 |0+0+5| 2 ? ? 0 的距离为 d= 2 = 5 ,由 + ( 5) =(2 ? 2 ? 1 +?-2?2

|AB|=2

3.

例4、已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5,求直线l的 方程。 y 2 2 解: 对于圆: x ? y ? 4 y ? 21 ? 0
? x ? ( y ? 2) ? 25
2 2

? 圆心坐标为(0, ?2), 半径r ? 5

T

M

. .
E

O

x

(1)若斜率存在,因为直线l 过点M,可 F 设所求直线l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 3)

即 : kx ? y ? 3k ? 3 ? 0

如图: TF ? 4 5 EF ? 2 5 , OE ? 5

? OE ?

| 2 ? 3k ? 3 | k ?1
2

?

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ? 1

? 5

解得:

所求直线为: x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2x ? y ? 3 ? 0 (2):若直线l的斜率不存在,则l:x=-3,
则圆心M(0,-2)到其距离为3,不合题意。

1 k ? 2或k ? ? 2

须意 分析:圆心(1,1),半径 r=1 考: 解:由直线被圆所截得的弦长为 2 得圆心到直线的距离为 虑当 直直 2 2 ? 12 ? ( 2 ) 2 ? 2 线 线 2 d ? r ?( ) 的的 2 2 2 斜斜 若直线 l 的斜率不存在,易知直线与圆相离,不符合题意 率率 则直线 l 的斜率存在且设为 k ,则直线方程为 是不 否知 y ? 2 ? k ( x ? 1) 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 存道 2 由圆心到直线的距离得 d ? | k ? 1 ? k ? 2 | ? | 2k ? 3 | 在 而 ? 2 2 17 k ?1 k ?1 。 要 2 k ? 或 k ? 1 解得: 设 7 17 故,所求直线的方程为 y ? 2 ? ( x ? 1)或y ? 2 ? x ? 1 时 , 7

x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 l 被圆 P(?1,?2) 的直线 练习、已知过点 所截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程并画出图形。必 注
2 2

即 17x ? 7 y ? 3 ? 0或x ? y ?1 ? 0

知识探究(二):圆的切线方程

思考1:过圆上一点、圆外一点作圆 的切线,分别可作多少条?
M
M

思考2:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2 上一点,如何求过点M的圆的切线方 程?
y

M
o x

x0x+y0y=r2

思考3:设点M(x0,y0)为圆 x2+y2=r2 外一点,如何求过点M的圆的切线方 程?Zxx,k
y

M

o

x

思考4:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2 外一点,过点M作圆的两条切线,切 点分别为A,B,则直线AB的方程如 何?
A
y

M

o

x0x+y0y=r2
B
x

例5

写出过圆O:x2+y2=10上一点M(2, 6 ), 且与圆相切的直线 l 的方程.

解:显然,直线 l 与直线 OM 是垂直的,而直线 OM 的斜 率为
6 ?0 6 ? . 2?0 2

y
M

l O
x

例5

写出过圆O:x2+y2=10上一点M(2, 6 ), 且与圆相切的直线 l 的方程.

由此可知直线 l 的斜率为
(?1) ? 6 6 ?? . 2 3

y
M

由直线的点斜式方程可知 直线 l 的方程为
6 y? 6 ?? ( x ? 2) . 3

l O
x

即 6x ? 3y ? 5 6 ? 0 .

变式 : 求过点A(2,4)向圆x ? y ? 4所引
2 2

的切线方程。
解:当直线的斜率存在时,设其 方程为y-4=k(x-2),
?圆心?0,0?, r ? 2, kx ? y ? 4 ? 2k ? 0 ? k ? 0 ? 0 ? 4 ? 2k 1? k 2 3 ? 2?k ? 4

y A( 2 ,4 )

o

x

但斜率不存在时, x ? 2, 满足题意。 故切线方程为: 3x ? 4 y ? 10 ? 0或x ? 2

直线与圆的位置关系
解:①当k不存在时,过(2,2)的直线x=2也与 y 2 圆相切。 ②当K存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2), 由已知得圆心的坐标为(1,0),因为
O

练习:直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程
(2,2)

直线l与圆相切,所以有: k ?1 ? y ? 0 ? 2k ? 2 k ?2 d? ? ?1 2 2 1? k 1? k 3 解得: k ? 4
3 y ? 2 ? ( x ? 2) 所以直线方程为: 4

2

x

变式演练

求经过A(2, ?1), 和直线x ? y ? 1相切,且圆心 在直线y ? ?2 x上的圆的方程。 解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
圆心在直线 y ? ?2 x上
? b ? ?2a (1)

y

O
C
?

?

A

x

又经过点A(2,?1) ?(2 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 (2)

因为圆与直线 x ? y ? 1相切 | a ? b ?1 | ? ? r (3) 2
由(1)(2)(3)得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2

k AC ?

b ?1 ?+ ?1 a?2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例 6:求经过点(1,-7)且与圆 x2+y2=25 相切的切线方程. 思维突破:已知点和圆方程求切线方程,有三种方法:(1)

设切线斜率,用判别式法.(2)设切线斜率,用圆心到直线的距
离等于半径法.(3)设切点坐标,用切线公式法. 解法一:设切线的斜率为 k,由点斜式有 y+7=k(x-1),

即 y=k(x-1)-7,
将方程代入圆方程得 x2+[k(x-1)-7]2=25, 整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0. 故Δ=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0,

4 3 解得 k=3或 k=-4,
故切线方程为 4x-3y-25=0 或 3x+4y+25=0. 解法二:设所求切线斜率为 k,则所求直线方程为 y+7=

k(x-1),整理成一般式为 kx-y-k-7=0,

|0-0-k-7| 2 所以 = 5 ,化简为 12 k -7k-12=0, 2 1+ k 4 3 所以 k=3或 k=-4.
所以切线方程为 4x-3y-25=0 或 3x+4y+25=0.

变式: 过点 A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1 的切线,求此 切线的方程. [ 思路探索 ] 利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜 率,进而求出切线方程.

解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1, 所以点A在圆外. (1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k, 则切线方程为y+3=k(x-4). 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1
所以
| 3k ? 1 ? 3 ? 4k | k 2 ?1

=1,即|k+4|= k 2 ?1 ,

所以k2+8k+16=k2+1.
15 15 解得k= ? .所以切线方程为y+3= ? (x-4), 8 8

即15x+8y-36=0.

(2)若直线斜率不存在, 圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1, 这时直线与圆也相切, 所以另一条切线方程是x=4. 综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.

2-1.求由下列条件所决定的圆 x2+y2=4 的切线方程:

(1)经过点 P( 3,1); (2)经过点 Q(3,0); (3)斜率为-1.

解:(1)∵( 3)2+12=4,∴点 P( 3,1)在圆上, 故所求切线方程为 3x+y=4. (2)∵32+02>4,∴点 Q 在圆外. 设切线方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0.

∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径, |-3k| 2 5 ∴ 2=2,k=± 5 , 1+ k 2 5 故所求切线方程为 y=± 5 (x-3), 即 2x± 5y-6=0. (3)设圆的切线方程为 y=-x+b, 代入圆的方程,整理得 2x2-2bx+b2-4=0. ∵直线与圆相切,∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0. 解得 b=± 2 2.∴所求切线方程为 x+y± 2 2=0.

课堂小结:
位置关系

直线与圆的位置关系: 相离 相切 相交

交点关系 没有公共点 一个公共点 两个公共点 图 式
r

d

d r

r

d

几何法
代数法

d>r

d=r

d<r

△>0

△=0

△<0

课堂小结:

代数法:
联立方程组

几何法:
求圆心坐标和半径r 求圆心到直线的距离 比大小
当d<r时,直线与圆相离; 当d=r时,直线与圆相离; 当d>r时,直线与圆相交。

消元(x或y)
求解△
若△>0,则直线与圆相交;
若△=0,则直线与圆相切; 若△<0,则直线与圆相离.

2.圆的切线的求法 (1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线 1 的斜率 k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求 k 得切线方程.如果 k=0 或 k 不存在,则由图形可直接得切线 方程为 y=b 或 x=a. (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: ①几何方法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y- kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得 k,进而切 线方程即可求出.

②代数方法: 设切线方程为 y-y0=k(x-x0), 即 y=kx-kx0+y0, 代入圆方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0,求得 k, 进而求出切线方程. ③过圆外一点的切线必有两条,当几何法或代数法求得的 k 值 只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合 求出.

圆的弦长

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点;
? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 (1)由? 得 解法1: ?mx ? y ? 1 ? m ? 0

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值
B

代 数 方 法

(1+m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0*
2 2 2 2

A

则? ? 4m ? 4(m ?1)(m ? 5) ? 16m ? 20
4 2 2 2

l

? m ? R, 总有? ? 0

因此所证命题成立

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值

解法2:(1)由圆方程可知,圆心为(0,1), 半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为
m2 1 d? ? ? 1? 2 2 2 1 ? m 1 ? m 1? m ?m

B
d r

A

l

几 ?m ? R,总有d< 5 因此所证命题成立 何 方 解法3:mx-y+1-m=0过定点(1,1)而 法 (1,1)在圆内,所以直线与圆相交。

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值 B
d r

A

l

(2)由平面解析几何的垂径定理可知
17 3 m 3 ? d ? 5 ? ? ,即 ? 2 4 4 1? m 4
2 2

17 2 r ? d ?( ) 2
2 2

得m 2 ? 3则m ? ? ?m 的值为 ? 3

3

变式演练1
m为何值时,直线2 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 5
2 2

(1)无公共点;(2)截得弦长为2;
解: (1)由已知,圆心为O(0,0), 半径r ?

5,

圆心到直线2 x ? y ? m ? 0的距离d ?
因为直线与圆无公共点, ? d ? r ,即 m

m 2 ? (?1)
2 2

?

m 5

,

5 故当m ? 5或m ? ?5时,直线与圆无公共点。
(2)如图,有平面几何垂径定理知

? 5 ? m ? 5或m ? ?5
y d r 0 x

m r ? d ? 1 , 即5 ? ? 1得m ? ?2 5 5
2 2 2 2

故当m ? ?2 5时,直线被圆截得的弦长为2

思考: 2 2 1.求过点A(1,2)和圆 x ? y ? 1 相切的直线方程 2 2 2.求和圆 x ? y ? 2 相切且切点为P (1,1)的直线方程 3.若圆的半径为1,圆心在第一象限,且 与直线4x-3y=0和x轴都相切,求该圆的 标准方程


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直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系教学设计一、素质教育目标 ㈠知识教学点 ⒈使学生理解直线和圆的位置关系。 ⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。 ㈡能力训练...
直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题
直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题_数学_高中教育_教育专区。直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点...
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