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平面解析几何知识点总结——直线与圆部分


平面解析几何知识点总结——直线与圆部分
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第一部分 直线的方程、两直线的位置关系
一、平面直角坐标系中的基本公式 1.直线坐标系:一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴,或说 在这条直线上建立了直线坐标系 2.向量:数轴上的点 A(x1)、B(x2) 向量 AB = x2 ? x1 ,向量 BA = x1 ? x2 数轴上两点距离的公式: d ( A, B ) = x2 ? x1 3.两点间距离公式:
2 2 已知两点坐标 P1(x1,y1),P2(x2,y2)则 P1,P2 间的距离: P P2 = (x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 ) 1

4.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐
x +x ? x= 1 2 ? ? 2 标为(x,y),则 ? ,此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. ? y = y1 + y2 ? 2 ?

二、直线的方程 (一)直线的倾斜角与斜率 1. 1.直线的倾斜角 ①定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把 x 轴(正方 向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫做直 线 l 的倾斜角,当直线 l 和 x 轴平行时,它的倾斜角为 0° . ②倾斜角的范围为:0°≤α<180° 2. 2.直线的斜率 (1)定义:通常,我们把直线 y=kx+b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率,垂直 .

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于 x 轴的直线不存在斜率。 (2)倾斜角和斜率的关系: ①斜率 k 是一个实数,每条直线存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存 在斜率,倾斜角为 90°的直线无斜率,当倾斜角α≠90°时,k=tanα. ②在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数 k=tanα的单调性, π π π π 当α取值为[0, ),由 0 增大到 (α≠ )时,k 由 0 增大到+∞,当α∈( ,π)时, 2 2 2 2 π π α在此区间内由 (α≠ )增大到π(α≠π)时,k 由负 2 2 无穷大趋近于 0.解决此类问题时,也可采用数形 结合思想,借助图形直观作出判断. (3) (3)斜率的求法: ①已知直线的倾斜角α(α≠90°)时,k=tanα. (α=90°时,k 不存在)
y2 ? y1 . x2 ? x1
0

②已知直线过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)时,斜率公式为: k =

注意:若 x1=x2,则直线 P1P2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90 . ③已知直线的方向向量 a=(a1,a2),(a1≠a2)则斜率 k = (二)直线方程: : ⑴斜截式: y = kx + b ——局限:不含垂直于 x 轴的直线。 (应用:已知直线斜率为 k 在 y 轴上的截距为 b,求直线方程) “ ” “ ” 注意:“截距”与“距离”是两个不同的概念,x 轴上的截距是直线与 x 轴的交 点的横坐标,y 轴上的截距是直线与 y 轴的交点的纵坐标,它们可能是正 实数,也可能是负实数或零,而距离则是大于或等于零的实数.
a2 .(a1=a2 时,k 不存在) a1

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: ⑵点斜式: y ? y0 = k (x ? x0 ) ——局限:不含直线 x=x0 (应用:已知直线过点 P(x0,y0),斜率为 k,求直线方程) : ⑶两点式:
y ? y1 x ? x1 = ——局限:不含直线 x=x1(x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2) y 2 ? y1 x2 ? x1

(应用:已知直线过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),求直线方程) 注意:(i)过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 ①若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1; ②若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1 ③若 x1≠x2,且 y1≠y2 时,直线方程为: ;

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 y-y1 = y2-y1

(ii)当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为 0(y1=y2)时,不能用两点式

x-x1 求直线方程,但都可以写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式. x2-x1
x y : ⑷截距式: + = 1 ——局限:不含垂直于坐标轴和过原点的直线 a b

(应用:已知直线在 x,y 轴上的截距分别为 a,b(或过点 A(a,0),B(0,b).),求直 线的方程) 注意:直线的截距式是两点式的一个特殊情形,用它来画直线以及判断直线 经过的象限或求直线与坐标轴围成的面积比较方便.直线过原点或 与坐标轴平行时,没有截距式方程. : ⑸一般式: Ax + By + C = 0 ——无局限性,平面直角坐标系内的直线都适用 总结公式及常用结论时多用一般式。 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式,但是 有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式.
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三、两直线的位置关系

?l1 : y = k1 x + b1 对直线: ?l : y = k x + b 有: ?2 2 2
?k 1 = k 2 ⑴ l1 // l 2 ? ? ; ?b1 ≠ b2

?l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 对直线: ? 有: ?l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0

? A B = A2 B1 l1 // l 2 ? ? 1 2 ⑴ ; ? B1C 2 ≠ B2 C1
⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ≠ A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?
? A1 B2 = A2 B1 ; ? B1C 2 = B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ≠ k2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?
? k1 = k 2 ; ?b1 = b2

⑷ l1 ⊥ l 2 ? k1k 2 = ?1 .

⑷ l1 ⊥ l 2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 .

注意:判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条或两条 直线均无斜率的情形, 在两条直线 l1、 2 斜率都存在, l 且不重合的条件下, 才有 l1∥l2?k1=k2 与 l1⊥l2?k1k2=-1. (1)两条直线平行——对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有

l1∥l2?k1=k2。特别地,当直线 l1、l2 的斜率都不存在时 l1∥l2;
(2)两条直线垂直——如果两条直线 l1,l2 斜率存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2?k1·k2 =-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线垂直. (3)用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时, ①A1A2+B1B2=0?两直线垂直;②但 A1B2-A2B1=0 与两直线平行不等价 用比例关系

A1 B1 A1 B1 C1 A1 B1 C1 ① ≠ 判断相交;② = ≠ 判断平行;③ = = 判断重合。 A2 B2 A2 B2 C2 A2 B2 C2
用比例关系应用方便,但前提是 A2B2C2≠0,它们都不是等价条件.

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四、直线系: (1)平行直线系: ①与直线 l : Ax + By + C = 0 平行的直线系: Ax + By + m = 0 (m 为参数) ②与直线 l : y = kx + b 平行的直线系:y=kx+m,(m 为参数) 应用:求与已知直线平行的直线的方程。 (2)垂直直线系: ①与直线 l : Ax + By + C = 0 垂直的直线系: Bx ? Ay + m = 0 或 ? Bx + Ay + m = 0 . ②与直线 l : y = kx + b 垂直的直线系: y = ?
1 x + m ,(m 为参数) k

应用:求与已知直线垂直的直线的方程。 (3)过定点的直线系: ①过定点 P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A、B 不全为零).
?l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ②过两条直线 ? 交点的直线系: ?l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0

A1 x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ——局限:不包含 l2。
或 λ ( A1 x + B1 y + C1 ) + A2 x + B2 y + C2 = 0 ——局限:不包含 l1。 注: 也可写成 λ ( A1 x + B1 y + C1 ) + ? ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ——包含 l1、l2,但在求 方程时有两个字母待定。 应用:求过两条相交直线交点的直线方程。 五、点到直线距离公式: 已知点 P(x0,y0),直线 l : Ax + By + C = 0 ,则 P 到 l 的距离: d = 注意:在使用点到直线的距离公式时,应注意以下几点: (1)若给出的方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求点 到直线的距离;
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Ax0 + By 0 + C A2 + B 2

(2)若 P 在直线 l 上,则点 P 到直线 l 的距离为 0,公式仍成立. 六、两平行线间的距离公式:

?l1:Ax + By + C1 = 0 C1 ? C 2 已知两直线 ?l :Ax + By + C = 0 平行,则 l1 与 l2 间的距离: d = 2 ?2 A2 + B 2
注意:在使用两平行线间的距离公式时,要先把两直线中 x,y 的系数化为 相同,且都化成一般式后再用公式. 七、对称问题: 对称性问题是解析几何应用较为广泛的的一类问题,归纳起来有 (1)点关于点的对称点. ①点 P(x,y)关于 O(0,0)的对称点 P'(-x,-y). ②点 P(x,y)关于点(a,b)的对称点 P'(2a-x,2b-y). (2)点关于直线的对称点. ①点(x,y)关于 x 轴的对称点为:(x,-y)

y 轴的对称点为:(-x,y)
直线 y=x 的对称点为:(y,x) 直线 y=-x 的对称点为: (-y,-x) 直线 x=m 的对称点为: (2m-x,y) 直线 y=n 的对称点为: (x,2n-y) ②点 A(a,b)关于直线 Ax+By+C=0(B≠0)的对称点 A'的坐标为(x0,y0),则

? y0 ? b ? A ? ? x ? a × ? ? B ? = ?1 ? 0 ? ? ? 有 求出 A'的坐标 ? A a + x0 + B b + y0 + C = 0 ? 2 2 ?
(3)曲线 C:f(x,y)=0 与曲线 C':g(x,y)=0 关于点 P(a,b)对称,则曲线 C'上
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任一点 M'(x,y),关于 P 的对称点 M(2a-x,2b-y)在曲线 C 上,即 f(2a-

x,2b-y)=0.
(4)曲线 C:f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 对称曲线为 C':g(x,y)=0,则 C' 上任一点 P 关于直线 y=kx+b 对称的点,必在曲线 C 上,即曲线关于直线 的对称问题转化为点关于直线的对称问题. 八、求直线上一点到两定点的距离之和、差问题 : (1) (1)在直线 l 上求一点 P,使 P 到两定点的距离之和最小: ①当两定点 A,B 在直线 l 的异侧时,由两点之间线段最短及三角形中任意两 边之和都大于第三边可知,点 P 为 AB 连线与 l 的交点;点 P 到两定点距 离之和的最小值为|AB|的长度,如图甲,|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|,当且 仅当 A、B、P 三点共线时等号成立. ②当两定点 A,B 在直线 l 的同侧时,作点 A 关于直线 l 的对称点 A', 连结 A'B 交直线 l 于点 P,则点 P 到两定点 A、B 的距离之和最小. (2) (2)在直线上求一点 P,使 P 到两定点的距离之差的绝对值最大 ①当两定点 A、B 在直线 l 的同侧时(AB 连线与 l 不平行),连接 A,B 两点 所在的直线,交直线 l 于点 P,如图乙,在 l 上任取一 点 P',则有||P'B|-|P'A||≤|AB|=|PB|-|PA|.当 P'与 P 两 点重合时,等号成立,最大的值为|AB|.

②当两定点 A,B 在直线 l 的异侧时,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B, 交 l 于点 P,如图丙可知:||PB|-|PA'||=|A'B|时,达到最大. ∵||P'B|-|P'A'||≤|A'B|,当 P'与 P 点重合时,等号成立, 最大值为|A'B|.

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第二部分 圆方程、直线及圆与圆的位置关系
一、圆的定义:在平面内,到定点的距离等于定值的点的集合叫圆.定点叫圆 心,定长叫半径。 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 二、圆的方程: ( ( ⑴标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) >0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 0 ⑵一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0, 其中圆心为 (?
D
2 ,?

E
2

) ,半径为 r =

1 2

D2 + E 2 ? 4F .

求圆的方程有两类方法: (1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆 的基本量和方程. (2) (2)代数法,即用“待定系数法”求圆的方程. 一般地,已知圆心或半径的条件,选用圆的标准式,否则选用一般式. 另外,还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有关几何性质, 如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径,弦心距,弦长的一半 构成直角三角形”等. (3) (3)求圆方程方程设法选择: ①若已知条件和圆心、半径有关,可先用已知条件求出圆心、半径,用圆 的标准方程求解; ②若已知条件涉及圆过几点,往往用圆的一般方程; ③若所求的圆过已知两圆的交点(或一直线与一圆的交点)一般用圆系方程. : (4) (4)确定圆的方程的方法和步骤: 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (i)根据题意,选择标准方程或一般方程; (ii)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; (iii)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. : 三、点与圆的位置关系: 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0).点和圆的位置关系有三种: (1)点 M 在圆上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点 M 在圆外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点 M 在圆内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
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四、直线与圆的位置关系 直线 Ax + By + C = 0 与圆的位置关系有三种: ①d ③d

> r ? 相离 ? ? < 0 ;

② d = r ? 相切 ? ? = 0 ;

< r ? 相交 ? ? > 0 .

: 1. 1.计算直线被圆截得的弦长的常用方法: (1) (1)几何方法:运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.

AB = 2 r 2 ? d 2
(2) (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式
2 |AB|= 1+k2|xA-xB|= (1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB]= 1 + k

? a

说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 2. 2.圆的切线方程的求法 (1) ( (1)求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为 ?

1 ,由点斜 k

式方程可求切线方程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程 x=x0. (2) ( (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程 ①几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0-kx0=0. 由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程. ②代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆方程,得一个关 于 x 的一元二次方程,由Δ=0,求得 k,切线方程即可求出. 注意:过圆外一点作圆的切线有两条,若在解题过程中,只解出一个答案, 说明另一条直线的斜率不存在.
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2.几个结论: ①过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2; ( ( ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ③过圆 x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两切线,则两切点所在直线方程为:

x0x+y0y=r2.
五、两圆位置关系: d = O1O2 ⑴外离: d > R + r ; ⑵外切: d = R + r ; ⑶相交: R ? r < d < R + r ; ⑷内切: d = R ? r ; ⑸内含:0< d < R ? r . 六、圆系方程 (1)同心圆系:(x-x0)2+(y-y0)2=r2,点(x0,y0)为定点,r 为参数. (2)过两已知圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交 点的圆系方程为 x2+y2+D1y+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1) 注意:此圆系方程代表的圆不包含圆 x2+y2+D2x+E2y+F2=0,因此用此 方程时要注意检验 C2 是否符合题, 当λ=-1 时, 方程变成一直线: (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.这条直线是相交两圆的公共弦所 在的直线. (3)过两已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 和直线 l:Ax+By+C=0 的交点的圆系方 程为:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

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