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3.3直线的交点坐标与距离公式(课件)


3.3.1 两条直线的交点坐标

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已知两条直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标 ?

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问题1 问题1:方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系? 直线的位置关系有何对应关系?

?唯一解 ?l1, l2相交 ? ? 直线l1, l2解方程组? ?? ? 无解 ?l ,l 平行 ? ?1 2

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例1:求下列两条直线的交点:l1:3x+4y-2=0; 求下列两条直线的交点: 3x+4y-2=0; l2:2x+y+2=0.
解:解方程组 3x+4y-2 =0 2x+y+2 = 0 得 x= -2 y=2

∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

练习:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: 练习:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: 2y+2=0, 2x- l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
x-2y+2=0 得 x= 2 解:解方程组 y=2 2x-y-2=0 ∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为
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y= x

问题2 问题2:如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系? 系来判定两直线的位置关系?

l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0

l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0
A B1 C1 1 = ≠ A2 B2 C2

l1与l2平行 与l
l1与l2相交
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A B1 1 ≠ A2 B2

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系,若相交, 判定下列各对直线的位置关系,若相交, 则求交点的坐标

?l1 : x ? y = 0 (1) ? ?l 2 : 3x + 3 y ? 10 = 0 ?l1 : 3 x ? y + 4 = 0 (2) ? ?l2 : 6 x ? 2 y = 0

?l1 : 3x + 4 y ? 5 = 0 (3) ? ?l2 : 6 x + 8 y ? 10 = 0
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练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, :(m-2)x+3y+2m=0, 问当m为何值时,直线l 问当m为何值时,直线l1与l2: (1)相交,(2) 平行,(3) 垂直 (1)相交, 平行, 相交

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当λ变化时, 方程 3x + 4 y ? 2 + λ(2x + y + 2) = 0 表示什么图形?图形有何特点?
练习:求经过原点及两条直线l :3x+4y练习:求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, :2x+y+2=0的交点的直线的方程 的交点的直线的方程. l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.

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问题1 问题1:方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系? 直线的位置关系有何对应关系?

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? 直线l1 , l2解方程组?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? ?l ,l ? 无解 ? 1 2平行

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3.3.2

两点间的距离

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两点间的距离
已知平面上两点P 已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何 的距离| 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2

| PP |=| x2 ? x1 | 1 2 | PP |=| y2 ? y1 | 1 2

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两点间的距离 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
已知平面上两点P 已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? 的距离| y P1(x1,y1) Q (x ,y )
2 1

P2(x2,y2)

o

x
2

| P P |= (x2 ? x1) + ( y2 ? y1) 1 2
2

特别地, 原点O与任一点P ( x, y )的距离 : | OP |= x + y
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练习
1、求下列两点间的距离: 、求下列两点间的距离:
(1)、A(6,0),B(-2,0) 、 , , (3)、P(6,0),Q(0,-2) 、 , , (2)、C(0,-4),D(0,-1) 、 , , (4)、M(2,1),N(5,-1) 、 , ,

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例题分析
例3 已知点A(?1,2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA |=| PB |, 并求 | PA | 的值.

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练习
2、求在x轴上与点 、求在 轴上与点 轴上与点A(5,12)的距离为 的坐标; 的距离为13的坐标 的距离为 的坐标; 3、已知点P的横坐标是 ,点P与点 、已知点 的横坐标是 的横坐标是7, 与点N(-1,5)间的 与点 间的 距离等于10,求点P的纵坐标 的纵坐标。 距离等于 ,求点 的纵坐标。

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例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两 条对角线的平方和。 条对角线的平方和。
y D(b,c) C(a+b,c)

A(0,0)

B(a,0)

x

建立坐标系, 建立坐标系, 用坐标表示有 关的量。 关的量。

进行有关的代 数运算。 数运算。
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把代数运算结 翻译” 果“翻译”成 几何关系。 几何关系。

练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 、 的距离相等。 的距离相等。
y
B (0,b)

a b M( , ) 2 2

o C (0,0)
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A(a,0)

x

小结
平面内两点P 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

| P P |= (x2 ? x1) + ( y2 ? y1) 1 2
2

2

特别地, 原点O与任一点P ( x, y )的距离 : | OP |= x + y
2 2

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§3.3.3点到直线的距离 3.3.3点到直线的距离 §3.3.4两条平行直线间的距离 3.3.4两条平行直线间的距离

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点到直线的距离
如图, 到直线l的距离,就是指从点P到直线l 如图,P到直线l的距离,就是指从点P到直线l 垂线段PQ的长度,其中Q是垂足. PQ的长度 的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足. y

P

l

Q
o x

已知点P 和直线l:Ax+By+C=0, 思考:已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎 样求点 到直线l的距离呢 样求点P到直线l的距离呢? ks5u精品课件

当A=0或B=0时,直线方程为 A=0或B=0时 的形式. y=y1或x=x1的形式.
y P (x0,y0) y=y1
Q (x0,y1)

y

(x1,y0)
Q

P(x0,y0) x x=x1

o

x

o

PQ = y 0 - y1

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PQ = x 0 - x1

练习1 练习1
5 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3

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下面设A≠0,B 下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式: 到直线的距离公式:

[思路一] 利用两点间距离公式 利用两点间距离公式:
y

P
l

Q
o
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x

[思路二] 构造直角三角形求其高. 思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q S

P(x0,y0)

O

x
L:Ax+By+C=0
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点到直线的距离: 点到直线的距离:
到直线l:Ax+By+C=0的距离: l:Ax+By+C=0的距离 P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:

练习2 练习2

d=

| Ax0 + By0 + C | A +B
2 2

1、求点A(-2,3)到直线3x+4y+3=0的距离. 求点A 到直线3x+4y+3=0的距离. 3x+4y+3=0的距离

2. 求点B(-5,7)到直线12x+5y+3=0的距离. 到直线12x+5y+3=0的距离. 12x+5y+3=0的距离
到直线2x+y 10=0的距离 2x+y的距离. 3、求点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离. 求点P
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例题分析
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求的?ABC 面积 6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0), 已知点A(1,3),B(3,1),C( y
A h C O B

x

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两条平行直线间的距离: 两条平行直线间的距离:
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. 公垂线段的长 线间的公垂线段的长. P l2 Q o =0与 例7、求证:两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 求证:两条平行线l =0的距离是 l2: Ax+By+C2=0的距离是
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x

d=

C1 - C2 A +B
2 2

练习3 练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是 53 平行线2x 的距离是______; 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是 13 两平行线3x 的距离是____. 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.

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练习4 练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,求a的值. A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4 到直线x+y+1=0的距离为 的值.
2 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 1,2), 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 2

的直线方程 .

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小结
1.平面内一点P(x 到直线Ax+By+C=0 1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 平面内一点 的距离公式是
d = Ax
0

+ By A
2

0

+ C
2

+ B

当A=0或B=0时,公式仍然成立. A=0或B=0时 公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C =0与 2.两条平行线Ax+By+C1=0与 两条平行线 =0的距离是 Ax+By+C2=0的距离是
d = C A
1 2

- C

2 2

+ B

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