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河北邢台一中2014-2015学年高二数学3月月考试题 理


河北邢台一中 2014-2015 学年高二 3 月月考数学(理)试题
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i ,则 z ? ( A.1 2. 若 B.-1 C. i D. ?i )

b a 1 1 ? ? 0, 则下列不等式中 (1)a ? b ? ab (2)|a|>|b| (3)a<b (4) ? ? 2 a b a b

则正确的个数是( ) (A ) 1 (B) 2 (C ) 3 ( D ) 4 3.“|x-a|<m,且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 a,b,c∈(0,1) ,则 a(1﹣b) ,b(1﹣c) ,c(1﹣a) ( ) A.都不大于 B.都不小于 C.至少有一个不大于

)

D.至少有一个不小于

5.下列命题中正确的是( ) A.若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根
3

B.若

z1 ? C , z2 ? C



z1 ? z2 ? 0
2

,则

z1 ? z2

z ? z ? z 不成立 C.若 z ? R ,则
D.若 z ? C ,且 z ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数
2

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1)

) C. (?2, ?1] [4,7) D. (?2,1] [4,7)

[4,7)

B. (?2,1]

(4,7]

7.设函数 f(x)=

,类比课本推导等差数列的前 n 项和公式的推导方法计算 )

f(﹣4)+f(﹣3) )+?+f(0) )+f(1) )+?+f(5)的值为( A. B. C.3 D.
*

8.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N )时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也 成立.现已知当 n=6 时,该命题不成立,那么可推得( ) A.当 n=7 时,该命题不成立 B.当 n=7 时,该命题成立 C.当 n=5 时,该命题不成立 D.当 n=5 时,该命题成立 9.若 a>b>c,则使 A.2 B.3 C.4 D.5 恒成立的最大的正整数 k 为( )

-1-

10.从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动, 使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( )

A.2097 B.1553 C.1517 D.2111 11.在三角形 ABC 中,B=60°,AC= ,则 AB+2BC 的最大值为( A. 3 B. C. D. 2



12.设

.若 f(x)=x +px+q 的 )

2

图象经过两点(α ,0) , (β ,0) ,且存在整数 n,使得 n<α <β <n+1 成立,则( A、 C、 B、 D、

第 ?? 卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13 设函数

的图象关于点

中心对称,则 的值为_______.

14 若关于实数 的不等式

无解, 则实数 的取值范围是



15. 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数 (x∈R) , 如: [﹣1.3]=﹣2, [0.8]=0, [3. 4]=3. 定 义{x}=x﹣[x],求{ }+{ }+{ }+?+{ }=

16.对任意复数 ?1 , ?2 ,定义 ?1 ? ?2 ? ?1?2 ,其中 ?2 是 ?2 的共轭复数.对任意复数 z1 ,

z2 , z 3 ,有如下四个命题:
-2-

① ? z1 ? z2 ? ? z3 ? ? z1 ? z3 ? ? ? z2 ? z3 ? ; ② z1 ? ? z2 ? z3 ? ? ? z1 ? z2 ? ? ? z1 ? z3 ? ; ③ ? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? ; ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 则真命题是 三、解答题(第 17 题满分 10 分,18-22 题每题 12 分,共 70 分) 17. (1)已知实数 x, y 满足 x ? y ? 1, 2x ? y ? 1 错误!未找到引用源。求证 y ? 1 (2)已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? a?b b?c c?d a?d

18.已知数列 {an } 前项和 S n 且 a1 ? 1 , S n ? n 2 an (n ? N * ) (1)试求 a 2 , a3 , a 4 (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明猜想.

19.已知复数 z1 ?

3 ? (a 2 ? 3)i , z2 ? 2 ? (3a ? 1)i ( a ? R , i 是虚数单位) . a?2

(1)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,求实数 a 的取值范围;
2 (2)若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x ? 6 x ? m ? 0 的根,求实数 m 值.

20 制造容积为

? 立方米的无盖圆柱形桶,用做底面的金属板的价格为每平方米 30 元,用做 2

侧面的金属板的价格为每平方米 20 元,要使用料成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分别 为多少?

21 设不等式 2x ?1 ? 1 的解集为 M, a ? M , b ? M (1) 试比较 ab ? 1与a ? b 的大小

-3-

(2) 设 max 表示数集 A 的最大数, h ? max{

2 a 2 ? b2 2 , , } ,求证 h ? 2 a ab b

22 设 f ? x ? ? x ? 2 x ? a (a ? 0) (1) 当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 4 (2) 若 f ? x ? 最小值是 4,求实数 a 的取值

(2) 猜想 a n ?

2 n(n ? 1)
1

证明如下:当 n ? 1时,a

?

2 ? 1 命题成立 1? 2

* 假设当 n ? k (k ? N ) 时命题成立,即 a k ?

2 k (k ? 1)

当 n ? k ? 1 时 S k ?1 ? (k ? 1) 2 ak ?1 ? S K ? ak ?1 ? k 2 ak ? ak ?1 整理得 a k ?1 ?

2 ,所以当 n ? k ? 1 时命题也成立 (k ? 1)(k ? 2)
*

综上, n ? N 时有a n ?

2 . n(n ? 1)
-4-

19. (1)由条件得, z1 ? z2 ? (

3 ? 2) ? (a 2 ? 3a ? 4)i a?2

? 3 ?2?0 ? 因为 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,故有 ? a ? 2 ?a 2 ? 3a ? 4 ? 0 ?

1 ? ??2 ? a ? ? ∴? 2 解得 ?2 ? a ? ?1 ? ?a ? 4或a ? ?1
(2)因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 x 2 ? 6 x ? m ? 0 的根 所以 z1 ? z1 ?

6 ? 6 ,即 a ? ?1 , a?2

把 a ? ?1 代入,则 z1 ? 3 ? 2i , z1 ? 3 ? 2i , 所以 m ? z1 z1 ? 13

21 解: (1) M ? ?x | 0 ? x ? 1?

(ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? a, b ? M ? a ? 1, b ? 1 ,

? a ? 1 ? 0, b ? 1 ? 0 ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,? ab ? 1 ? a ? b
(2)证明:由 h ? max{

2 2 2 a 2 ? b2 2 a 2 ? b2 ,h ? ,h ? , , , } ,得 h ? a b a ab b ab

-5-

所以 h3 ?

2 a 2 ? b2 2 4(a 2 ? b2 ) ? ? 8 ,故 h ? 2 ab a ab b

-6-


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