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高中数学必修5新教学案:1.1.1正弦定理


必修 5

1.1.1

正弦定理(学案)

【知识要点】 1.正弦定理 2.正弦定理的变形 【学习要求】 1.理解正弦定理的推导过程,会初步应用正弦定理解斜三角形. 2.通过应用提高分析问题、解决问题的能力.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 1 页~第 4 页) 1. 在任意三角形中有大

边对大角,小边对小角的边角关系.我们如何得到边与角的准确量 化表示呢? (1) (1)在 RT?ABC 中, ?C 是最大的角,所对的斜边 c 是最大的边, 依据正弦函数定义得: c ? . ( 2 ) 在 锐 角 ?ABC 中 , 设 边 AB 上 的 高 是 CD , 根 据 三 角 函 数 定 义 得 :

(3)在钝角 ?ABC 中, ?C 是最大的角,所对的斜边 c 是最大的边,过点 A 作 AE 垂直于

a ? sin A

.

BC 交 BC 于 E 点, AE ?
同理可得:

a ? sin C

c b ; ? sin C sin B a b c ,故 ? ? . sin A sin B sin C
.,即 .

2. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
a = s iA n

=

结合提示完成以下几种方法,帮助大家开拓一下眼界! 法一: (等面积法)在任意斜△ABC 当中, S△ABC=
1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2

1 a 两边同除以 abc 即得: = 2 sin A

=

.

C

a b
O B D
为 △ ABC

法二: (外接圆法) 如图所示,∠A=∠D, ∴ CD ? 2R ? 同理 2R = = . .

c
A

a b c 可将正弦定理推广为: = = =2R (R sin A sin B sin C
1

外接圆半径). 法三: (向量法) 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC , 由

?

????

??? ? AB =

+

.

两边同乘以单位向量 j 得 j ? AB = 即 j ? AC + j ? CB = j ? AB . ∴ ∴ a sin C ? c sin A . ∴
a = sin A

?

? ? ???

.

= .
c = sin C

.

同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得:

?

??? ?



a b c = = . sin A sin B sin C

3. 定理及其变形 : (1)sinA:sinB:sinC=______; (2)

a?b?c a b c = = = = sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C



a=______,;b=______ ;c=_______;(4)sinA=_______;sinB=________;sinC=________. 4.思考:观察公式特点,思考正弦定理可以解决的问题: (1) (2) ; .

5. 在?ABC中,已知a, b和A时解 三角形的情况: 有三种,我们分情况给予讨论 (1) 当 A 为锐 角

(2) 当 A 为直 角或钝角 也可利用正弦定理 sin B=

bsin A 进行讨论: a
如果 sin B=l,则问题有一

如果 sin B>l,则问题无解;

解;如果求出 sin B<l, 则可得 B 的两个值, 但要通过“三 角形内角和定理’ ’或“大边对大角” 等三角形有关性质 进行判断. 【基础练习】

2

1.在△ABC 中,

a b c ? ? ? k ,则 k 为( sin A sin B sin C

)?.

? A?

2R

? B?

R
0

?C ?
0

4R

? D?

1 R 2

(R 为△ABC 外接圆半径)

2.在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 , C ? 75 ,则 b 等于(

) .

? A?

4 2

? B? 4

3

?C ? 4

6

? D?

32 . 3
) .

3.(2008 年北京) 已知 ?ABC 中, a ?

2, b ? 3, B ? 600 ,则 A 等于(

? A?

1350

? B ? 900

?C ?

450

? D ? 300 .
.

4. 在△ABC 中,sinA>sinB 则角 A,B 的大小关系为: 5. 在 ?ABC 中,a:b:c=1:3:5, 【典型例题】

2 sin A ? sin B 的值为___ __. sin A ? sin C
0 0

例 1 已知在 ?ABC中,c ? 42.9, A ? 81.8 , B ? 32.0 , 解三角形.

【变式练习】已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求a, b和B
0 0

例 2 (1)在 ?ABC中,已知b ? (2) ?ABC中,c ?

3, B ? 60 0 , c ? 1, 求a和A, C

6 , A ? 45 0 , a ? 2, 求b和B, C

0 【变式练习】在 ?ABC中,a ? 20cm, A ? 40 , b ? 28cm, 解三角形(角度精确到 1 ).
0

例 3 不解三角形,判断下列三角形解的个数. (l)a=5,b=4 ,A= 120 (2)a =9,b=l0,A= 60
? ?

(3)c=50,b=72,C= 135

?

例 4 已知△ABC 中,bsin B=csin c,且试判断三角形的形状.
3

例 5 已知△ABC 的面积为 1, tanB= 面积.

1 ,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的 2

1.在△ABC 中,下列等式中总能成立的是 ( ) . (A)acos C= ccos A (B)bsinC= csin A (C)absin C=bcsin B (D)aslnC=csin A. 2.在△ABC 中,已知 a=18,b=20,A= 150 ,则这个三角形解的情况是 ( (A)有一个解 (B)有两个解 (C)无解 (D)不能确定
?

) .

? 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= 60 ,a= 3 ,b=1,

则 c 等于( (A) 1

) . (B) 2 (C)

3 -1 (D)

3.
( ) .

4. 在△ABC 中, 已知(b+c): (c+a) (a+b) = 4: 6, : 5: 则 sin A: B: C 等于 sin sin (A) 6:5:4 (B) 7:5:3 (C) 3:5:7 (D) 4:5:6. 二、填空题 5.在△ABC 中,A= 45 ,B= 60 ,则 6.在△ABC 中,a=x,b=2,B= 45
?

?

?

a ?b =______ _ . a?b

,若三角形有两解,则 x 的取值范围为__ __.
?

7. 在△ABC 中, 已知 a, c 分别为内角 A、 C 的对边, b=2a, b, B、 若 B=A+ 60 , A=____ 则 三、解答题 8. 在 ?ABC中,c ? 20cm, A ? 34 , B ? 56 , 求b和a, C
0 0



? 9.在△ABC 中,若 a=2 3 ,A= 30 ,讨论当 b 为何值时(或在什么范围内) ,三角形有一

解,有两解或无解?

10.已知方程 x 一(bcos A)x+acos B=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ABC 的两边, A、B 为两内角,试判定这个三角形的形状.

2

1 tan A ? , C ? 150 0 , BC ? 1, 1.(2007 年北京)△ABC 中,若 ,则 AB ? 3
4



2.(2007 年全国)在△ABC 中,已知内角

A?

?

3 ,边 BC ? 2 3 ,设内角 B ? x, ,周长

为 y. (1)求函数 y ? f (x) 的解析式和定义域; (2)求 y ? f (x) 的最大值.

5

必修 5

1.1.1

正弦定理(教案)

【教学目标】 1.理解正弦定理的推导过程,会初步应用正弦定理解斜三角形. 2.通过应用提高分析问题、解决问题的能力. 【重点】 理解正弦定理的及应用. 【难点】 正弦定理的熟练变形运用.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 1 页~第 4 页) 2. 在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们如何得到边与角的准确量 化表示呢? (1) 在 RT?ABC 中, ?C 是最大的角,所对的斜边 c 是最大的边,

a b c ? ?c? . sin A sin B sin C ( 2 ) 在 锐 角 ?ABC 中 , 设 边 AB 上 的 高 是 CD , 根 据 三 角 函 数 定 义 得 : a b c ? ? . sin A sin B sin C (3)在钝角 ?ABC 中, ?C 是最大的角,所对的斜边 c 是最大的边,过点 c b ; ? A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E 点, AE ? AB sin B ? AC sin(? ? C ) ,即 sin C sin B a b a b c 同理可得: ,故 ? ? ? . sin C sin B sin A sin B sin C
依据正弦函数定义得: 2. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
a b c = = s i A sin B sin C n

了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界! 法一: (等积法)在任意斜△ABC 当中, S△ABC=
1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2

1 a b c 两边同除以 abc 即得: = = . 2 sin A sin B sin C

C

a b
A O B D

法二: (外接圆法) 如 图 所 示 , ∠ A = ∠ D , ∴

CD ? 2R ?

a a . ? sin A sin D

c

6

同理

b c =2R, =2R. sin B sin C a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径). sin A sin B sin C

可将正弦定理推广为: 法三: (向量法)

过 A 作单位向量 j 垂直于 AC , 由

?

????

? ??? ???? ??? ? AB = AC + CB
?

.

两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB . 则 j ? AC + j ? CB = j ? AB . ∴| j |?| AC |cos90?+| j |?| CB |cos(90??C)=| j |?| AB |cos(90??A) . ∴ a sin C ? c sin A . ∴
a c = . sin A sin C

?

???? ??? ?

? ? ???

?

????

?

??? ?

?

??? ?

同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得:

?

??? ?

c b = sin C sin B



a b c = = . sin A sin B sin C

3. 定理及其变形 : (1)sinA:sinB:sinC=__ a : b : c ____; (2)

a?b?c a b c = = = = sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

2R



a=__ 2R sin A ____,;b=_ 2R sin B _____ ;c=_ 2R sin C ______;

sinA=__

a b c _____;sinB=___ _____;sinC=____ ____. 2R 2R 2R

4.思考:观察公式特点,思考正弦定理可以解决的问题: (1)_已知两角和任意一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和两角. 5. 在?ABC中,已知a, b和A时解 三角形的情况: 有三种,我们分情况给予讨论 (3) 当 A 为锐 角

(4) 当 A 为直 角或钝角

7

也可利用正弦定理 sin B=

bsin A 进行讨论: a
如果 sin B=l,则问题有一解;如果求出 sin B<l,则可得 B

如果 sin B>l,则问题无解;

的两个值,但要通过“三角形内角和定理’ ’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断. 【基础练习】 1.在△ABC 中,

? A?

2R

a b c ? ? ? k ,则 k 为( A )?. sin A sin B sin C 1 ? B? R ? C ? 4R ? D ? R (R 为△ABC 外接圆半径) 2
0 0

2.在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 , C ? 75 ,则 b 等于( C

) .

? A?

4 2

? B? 4

3

?C ? 4

6

? D?

32 . 3

3.(2008 年北京) 已知 ?ABC 中, a ?

2, b ? 3, B ? 600 ,则 A 等于( C ) .

? A?

1350

? B ? 900

?C ?

450

? D ? 300 .
A>B .

4. 在△ABC 中,sinA>sinB 则角 A,B 的大小关系为: 5. 在 ?ABC 中,a:b:c=1:3:5, 【典型例题】

2 sin A ? sin B 1 的值为___ ? __. sin A ? sin C 6

例 1 已知在 ?ABC中,c ? 42.9, A ? 81.8 , B ? 32.0 , 解三角形.
0 0

【审题要津】已知两角 A,B,据三角形内角和求得第三角 C,即知两角和任意一边,由 正弦定理求解三角形. 解:根据三角形内角和定理, C ? 180 ? A ? B ? 66.2 .
0 0

a sin B 42.9 sin 81.8 0 ? ? 80.1(cm) . 根据正弦定理, b ? sin A sin 32.0 0
根据正弦定理, c ?

a sin C 42.9 sin 66.2 0 ? ? 74.1(cm) . sin A sin 32.0 0

【方法总结】已知两角和任意一边,求解三角形时,注意结合三角形的内角和定理求出 已知边的对角;应用正弦定理时注意边与角的对应性. 【变式练习】已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求a, b和B
0 0

解:根据三角形内角和定理, B ? 180 ? A ? C ? 105 .
0 0

根据正弦定理, b ?

c sin B 10 sin105 0 ? ? 5( 6 ? 2 )(cm) . sin C sin 30 0

8

根据正弦定理, a ?

c sin A 10 sin 45 0 ? ? 10 2 (cm) . sin C sin 30 0
3, B ? 60 0 , c ? 1, 求a和A, C

例 2 (1)在 ?ABC中,已知b ? (2) ?ABC中,c ?

6 , A ? 45 0 , a ? 2, 求b和B, C

【审题要津】已知两边和其中一边的对角,由正弦定理先求对角,再求第三角. 解: (1)根据正弦定理, sin C ?

c sin B 1sin 60 0 1 ? ? , b 2 3

? c ? b ?C ? B ?C ? 30 0.
根据三角形内角和定理, A ? 180 ? C ? B ? 90 .
0 0

(2) 根据正弦定理, sin C ?

c sin A ? a

6 sin 45 0 3 ? , 2 2

? c ? b ? C ? B ? C ? 60 0 或 C ? 120 0 .
当 C ? 60 时,根据三角形内角和定理, B ? 180 ? C ? A ? 75 ;
0
0 0

当 C ? 120 时,根据三角形内角和定理, B ? 180 ? C ? A ? 15 .
0 0 0

【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由 sin C 求角 C 时,讨论角 C 为锐 角或钝角的情况.
0 【变式练习】在 ?ABC中,a ? 20cm, A ? 40 , b ? 28cm, 解三角形(角度精确到 1 ).
0

b sin A 28 sin 40 0 ? ? 0.8999 . 解:根据正弦定理, sin B ? a 20
因为 0 ? B ? 180 , 所以 B ? 64 , 或 B ? 116 .
0 0 0

0

(1)当 B ? 64 时, C ? 180 ? A ? B ? 76 , c ?
0 0 0

a sin C 20 sin 76 0 ? ? 30(cm) . sin A sin 40 0

a sin C 20 sin 24 0 ? ? 13(cm). (2) 当 B ? 116 时, C ? 180 ? A ? B ? 24 , c ? sin A sin 40 0
0 0 0

例 3 不解三角形,判断下列三角形解的个数. (l)a=5,b=4 ,A= 120
?

9

(2)a =9,b=l0,A= 60

?

(4)c=50,b=72,C= 135

?

【审题要津】 已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定, 在上述例题中通过求解可以 判定解的个数,还可以通过“三角形内角和定理’ ’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断,也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数. 解: (1)因为 A= 120 是钝角,且 a=5 ? b=4 , 所以此三角形只有一解.
?

(2)? b sin A ? 5 3 ?

75 ? 9,? b sin A ? a ? b ,

由图可知该三角形有两解. (3)因为 C= 135 ,c=50 ? b=72,所以如下图知此三角形无解.
?

【方法总结】 在?ABC中,已知a, b和A时解 三角形的情况: 有三种,我们分情况给予讨论 (5) 当 A 为锐 角

(6) 当 A 为直 角或钝角 也可利用正弦定理 sin B=

bsin A 进行讨论: a

如果 sin B>l,则问题无解; 如果 sin B=l,则问题有一 解;如果求出 sin B<l,则可得 B 的两个值,但要通过“三 角形内角和定理’ ’或“大边对大角” 等三角形有关性质 进行判断. 例 4 已知△ABC 中,bsin B=csin c,且试判断三角形的 形状.
10

【审题要津】 从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化, 这里条件中有角也有边, 转化为相同的形式便于进一步探究. 解:根据正弦定理将 sin A ? sin B ? sin C 可化为 a ? b ? c ,
2 2 2 2 2 2

由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形,且 ?A ? 90 .
0

b sin B b c ? , ? , 2 2 又因为 c sin C 所以 bsin B=csin c 可化为 c b 即 b ? c ,即b ? c ,
故该三角形为等腰直角三角形. 【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形,判定中将角化为边或将 边化为角是常用的思路. 例 4 已知△ABC 的面积为 1,tanB=

1 ,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 2

【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关 系,这里给出角 B,C 的正切,利用同角的基本关系式进行转化. 解:? tan B ?

1 ? 5 2 5 ,0 ? ?B ? ,? sin B ? , cos B ? . 2 2 5 5

又? tan C ? ?2,

?
2

? ?C ? ? ,? sin C ?

2 5 5 , cosC ? ? . 5 5

3 ? sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 5
? a b b sin A 3 ? ,? a ? ? b. sin A sin B sin B 5
1 1 3 2 2 5 15 ab sin C ? ? b ? ? 1, 解得 b ? , 于是 a ? 3. 2 2 5 3 5

? S ?ABC ?

又由正弦定理知: c ?

a sin C 2 15 a 5 3 5 3 ? , 外接圆的直径 2 R ? ? ,? R ? . sin A 3 sin A 3 6
2

故△ABC 外接圆的面积为 S ? ?R ?

25 ?. 12

【方法总结】 学习本节时要综合运用同角三角函数关系式, 正弦定理和三角形的面积公式进 行计算,加强知识间的联系.

1.在△ABC 中,下列等式中总能成立的是 ( D (A)acos C= ccos A (B)bsinC= csin A (C)absin C=bcsin B (D)aslnC=csin A.
?

) .

2.在△ABC 中,已知 a=18,b=20,A= 150 ,则这个三角形解的情况是 ( C

) .

11

(A)有一个解

(B)有两个解 (C)无解

(D)不能确定

? 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= 60 ,a= 3 ,b=1,

则 c 等于(B ) . (A) 1 (B) 2 (C)

3 -1 (D)

3.
( B ) .

4. 在△ABC 中, 已知(b+c): (c+a) (a+b) = 4: 6, : 5: 则 sin A: B: C 等于 sin sin (A) 6:5:4 (B) 7:5:3 (C) 3:5:7 (D) 4:5:6. 二、填空题 5.在△ABC 中,A= 45 ,B= 60 ,则 6. 在△ABC 中, a=x, b=2, 45 B=
?

?

?

a ?b =______ 2 6 ? 5 _ . a?b

, 若三角形有两解, x 的取值范围为__ 2 ? x ? 2 2 __. 则
?

7.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,若 b=2a,B=A+ 60 ,则

3 A=__ 3 __
三、解答题



8. 在 ?ABC中,c ? 20cm, A ? 34 , B ? 56 , 求b和a, C
0 0

解:根据三角形内角和定理, C ? 180 ? A ? B ? 90 .
0 0

根据正弦定理, b ?

c sin B 20 sin 56 0 ? ? 20 sin 56 0 (cm) . 0 sin C sin 90 c sin A 20 sin 34 0 ? ? 20 sin 34 0 (cm) . sin C sin 90 0

根据正弦定理, a ?

? 9.在△ABC 中,若 a=2 3 ,A= 30 ,讨论当 b 为何值时(或在什么范围内) ,三角形有一

解,有两解或无解?

解:由上图知: 当 b sin A ? a ? b,即b sin 30 ? a ? b, 该三角形有两解,
?

12

故 2 3 ? b ? 4 3 时,该三角形有两解. 当 b sin A ? a或a ? b, 该三角形有一解,故 b ? 4 3或0 ? b ? 2 3 时,该三角形有两解.

当 b sin A ? a, 即 b ? 4 3 , 该三角形有两解. 10.已知方程 x 一(bcos A)x+acos B=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ABC 的两边, A、B 为两内角,试判定这个三角形的形状. 解:设方程的两根为 x1 , x2 , 由韦达定理得 x1 ? x2 ? b cos A, x1 x2 ? b cos B, 由题意得 b cos A ? a cos B, 由正弦定理得 2R sin B cos A ? 2R sin A cos B, 在△ABC 中,? 0 ? A ? ? ,0 ? B ? ? ,?? ? A ? B ? ? ,
? A ? B ? 0, 故△ABC 为等腰三角形.
2

1 tan A ? , C ? 150 0 , BC ? 1, 1.(2007 年北京)△ABC 中,若 ,则 AB ? 3
2.(2007 年全国)在△ABC 中,已知内角

10 2



A?

?

3 ,边 BC ? 2 3 ,设内角 B ? x, ,周长

为 y. (1)求函数 y ? f (x) 的解析式和定义域; (2)求 y ? f (x) 的最大值. 解:(1) △ABC 的内角和 A ? B ? C 由

?? ,
2? 3 .

A?

?

3 , B ? 0, C ? 0 得 AC ?

0?B?

应用正弦定理得

BC ? sin B ? 4 sin x, sin A

BC 2? ? sin C ? 4 sin( ? x). sin A 3 因为 y ? AC ? AB ? BC, AB ?
所以

y ? 4 s in x ? 4 s in(

2? 2? ? x ) ? 2 3 (0 ? x ? ) 3 3 .

13

(2)因为

y ? 4 s in x ? 4 s in(

2? ? x) ? 2 3 3 ? x?

? 4 3 s in(x ?
所以,当

?
6

) ? 2 3(

?
6

?
6

?

5? ), 6

x?

?
6

?

?
2 ,即

x?

?
3 时,取得最大值 6 3.

14


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