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2.示范教案(3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式)


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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角和与差的正弦、余弦、 整体设计 教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究 具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照、 比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较 cos(α-β)与 cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角 又如比较 sin(α-β) 度看都有内在联系, α+β=α-(-β)的关系, 即 从而由公式 C(α-β)推得公式 C(α+β), 与 cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公 式(5) (6)即可推得公式 S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数与这 两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节 内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能 力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深 刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练 学生思维的有序性, 逐步培养他们良好的思维习惯, 教学中应当有意识地对学生的思维习惯 进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公 式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而 不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标 1.在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余 弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培 养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明, 使学生深刻体会联系变化的观点, 自觉地利用联系变化的观点来分析问题, 提高学生分析问 题解决问题的能力. 3.通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的 应用意识,提高学生的数学素质. 重点难点 教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并把公式默写 在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察 cos(α-β)与 cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系,进行由旧知推出新知的转化过程,从而推导出 C(α+β)、S(α-β)、 S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用. 思路 2.(问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节所

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学 公 式 , 又 为 本 节 新 课 作 准 备 . 若 sinα=

5 π 10 π , α∈(0, ) , cosβ= ,β∈(0, ), 求 5 2 10 2

cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式 C(α-β)很容易求得 cos(α-β) ,但是如果求 cos(α+β)的 值就得想法转化为公式 C(α-β)的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由此展开联 想探究其他公式. 推进新课 新知探究 新知探究 提出问题 ①还记得两角差的余弦公式吗?请一位同学到黑板上默写出来. ②在公式 C(α-β)中, β 是任意角, 角 请学生思考角 α-β 中 β 换成角-β 是否可以?此时观察角 α+β 与 α-(-β)之间的联系,如何利用公式 C(α-β)来推导 cos(α+β)=? ③分析观察 C(α+β)的结构有何特征? ④在公式 C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导 sin(α+β)=?sin(α-β)=? ④公式 S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何? ⑥对比分析公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β),能否推导出 tan(α-β)=? tan(α+β)=? ⑦分析观察公式 T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何? ⑦思考如何灵活运用公式解题? 活动: 对问题①, 学生默写完后, 教师打出课件, 然后引导学生观察两角差的余弦公式, 活动: 点拨学生思考公式中的 α,β 既然可以是任意角, 是怎样任意的?你会有些什么样的奇妙想法 呢?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较 cos(α-β)与 cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发 现 α-β 中的角 β 可以变为角-β, 所以 α-(-β)=α+β 〔也有的会根据加减运算关系直接把和角 α+β 化成差角 α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式 C(α-β)上来,这样就很自然地得到 cos(α+β)=cos[α-(-β)] =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作 C(α+β). 对问题②,教师引导学生细心观察公式 C(α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦,等于这两角 的 余 弦 积 减 去 这 两 角 的 正 弦 积 ” , 同 时 让 学 生 对 比 公 式 C(α-β) 进 行 记 忆 , 并 填 空 : cos75°=cos(_________)==__________=___________. 对问题③,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能得到 两角和与差的正弦公式呢?我们利用什么公式来实现正、 余弦的互化呢?学生可能有的想到 利用诱导公式⑸⑸来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式 sin2α+cos2α=1 来互 化,此法让学生课下进行),因此有 sin(α+β)=cos[ =cos(

π
2

-(α+β)]=cos[(

π
2

-α)-β]

π
2

-α)cosβ+sin(

π
2

-α)sinβ

=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β 用-β 代之,则 sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)

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=sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 对问题④④,教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆, 同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点, 体验三角公式的这种简洁美、 对称美. 为 强 化 记 忆 , 教 师 可 让 学 生 填 空 , 如 sin(θ+φ)=___________ , sin

2π 5π 2π 5π cos sin + cos =__________. 7 7 7 7

对问题⑥,教师引导学生思考,在我们推出了公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想 到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出 tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢?学生很容易想到利用 同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教师不要 直接提醒,让学生自己悟出来. 当 cos(α+β)≠0 时,tan(α+β)=

sin(a + β ) sin cos β + cos α sin β = . cos(a + β ) cos α cos β ? sin α sin β

如果 cosαcosβ≠0,即 cosα≠0 且 cosβ≠0 时,分子、分母同除以 cosαcosβ 得 tan(α+β)=

tan α + tan β ,据角 α、β 的任意性,在上面的式子中,β 用-β 代之,则有 1 ? tan α tan(? β )

tan(α-β)=

tan α + tan(? β ) tan α ? tan β = . 1 ? tan α tan(? β ) 1 + tan α tan β

由此推得两角和、差的正切公式,简记为 T(α-β)、T(α+β). tan(α+β)=

tan α + tan β , 1 ? tan α tan β tan α ? tan β . 1 + tan α tan β

tan(α-β)=

对问题⑥,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中 α、β、α±β 的取值是任意的 吗?学生回顾自己的公式探究过程可知,α、β、α±β 都不能等于

π
2

+kπ(k∈Z),并引导学生

分析公式结构特征,加深公式记忆. 对问题⑦⑦, 教师与学生一起归类总结, 我们把前面六个公式分类比较可得 C(α+β)、 (α+β)、 S T(α+β)叫和角公式;S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过 程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图,深刻理解它 们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握 这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),在化简求值中就经常应 用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式,当 tanα, tanβ 或 tan(α±β)的值不存在时,不能使用 T(α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或

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其 他 方 法 , 例 如 : 化 简 tan(

π
2

-β) , 因 为 tan

π
2

的值不存在,所以改用诱导公式

tan(

π
2

sin(
-β)=

π π
2 2

? β) ? β)

=

cos(

cos β 来处理等. sin β

应用示例 思路 1 例 1 已知 sinα= ?

3 π π π ,α 是第四象限角,求 sin( -α),cos( +α),tan( -α)的值. 5 4 4 4

活动: 活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要 求.再思考应该联系什么公式, 使用公式时要有什么准备, 准备工作怎么进行等.例如本题中, 要先求出 cosα,tanα 的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是为了让学 生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成. 解:由 sinα= ? ∴tanα=

3 2 4 3 2 ,α 是第四象限角,得 cosα= 1 ? sin a = 1 ? ( ? ) = . 5 5 5

sin a 3 =? . cos a 4

于是有 sin(

π
4

-α)=sin

π
4

cosα-cos

π
4

sinα=

2 4 2 3 7 2 × ? × (? ) = , 2 5 2 5 10

cos(

π
4

+α)=cos

π
4

cosα-sin

π
4

sinα=

2 4 2 3 7 2 × ? × (? ) = , 2 5 2 5 10

3 ? ?1 tan a ? 1 4 = 4 = ?7 . tan(α- )= = π 1 + tan a 3 4 1 + tan a tan 1 + (? ) 4 4

π

tan a ? tan

π

点评: 本例是运用和差角公式的基础题, 安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有 点评: 序性,逐步培养他们良好的思维习惯. 变式训练 1.不查表求 cos75°,tan105°的值.? 解:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =

2 3 2 1 × ? × = 2 2 2 2

6? 2 , 4

tan105°=tan(60°+45°)=

tan 60 o + tan 45 o 3 +1 = =-(2+ 3 ). o o 1 ? tan 60 tan 45 1? 3

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2.设 α∈(0, A.

π
2

),若 sinα=

7 5

3 π ,则 2sin(α+ )等于( 5 4 1 7 B. C. 5 2

)? D.4

答案: 答案:A 例 2 已知 sinα=

2 π 3π 3 ,α∈( ,π),cosβ= ? ,β∈(π, ). 3 2 4 2

求 sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 活动: 活动:教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指导学 生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式 S(α-β)、 (α+β)、 (α+β)应先求出 cosα、 C T sinβ、tanα、tanβ 的值,然后利用公式求值,但要注意解题中三角函数值的符号. 解:由 sinα=

2 π ,α∈( ,π),得 3 2
2

cosα= ? 1 ? sin a =- ? 1 ? ( ) = ?
2

2 3

5 2 5 ,∴tanα= ? . 3 5

又由 cosβ= ?

1 3π ,β∈(π, ). 3 2
2

sinβ= ? 1 ? cos β = ? 1 ? ( ? ) = ?
2

3 4

7 , 4

∴tanβ=

7 .∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 3

=

2 3 5 7 ? 6 ? 35 ) × (? )= ×( ? )-( (? . 3 4 3 4 12 5 3 2 7 )×( ? )- ×( ? ) 3 4 3 4

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=( ?

=

3 5+2 7 . 12

2 5 7 + tan α + tan β ? 6 5 + 5 7 ? 32 5 + 27 7 5 3 ∴tan(α+β)= = = = . 1 ? tan α tan β 17 2 5 7 15 + 2 35 1 ? (? )× 5 3

?

点评: 本题仍是直接利用公式计算求值的基础题, 其目的还是让学生熟练掌握公式的应 点评: 用,训练学生的运算能力. 变式训练 引导学生看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,加强学生的应用意识. 解:设电视发射塔高 CD=x 米,∠CAB=α,则 sinα=

30 , 67

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在 Rt△ABD 中,tan(45°+α)=

x + 30 tanα. 30

于是 x=

30 tan(45 o + α ) ? 30 , tan α

30 π 60 1 ,α∈(0, ),∴cosα≈ ,tanα≈ . 67 2 67 2 1 1+ 1 + tan α 2 =3, ≈ tan(45°+α)= 1 1 ? tan α 1? 2 30 × 3 ∴x= -30=150(米). 1 2
又∵sinα= 答:这座电视发射塔的高度约为 150 米. 例 3 在△ABC 中,sinA=

3 5 (0°<A<45°),cosB= (45°<B<90°),求 sinC 与 cosC 的值. 5 13

活动: 活动:本题是解三角形问题,在必修 5 中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数 诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学 生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论 解决, 对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系, 从而找出 解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件. 解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=

3 4 且 0°<A<45°,∴cosA= . 5 5 5 12 又∵cosB= 且 45°<B<90°,∴sinB= . 13 13
∴sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

=

3 5 4 12 63 × + × = , 5 13 5 13 65 3 12 4 5 16 × - × = . 5 13 5 13 65

cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =

点评: 点评:本题是利用两角和差公式,来解决三角形问题的典型例子,培养了学生的应用意 识,也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于 180°这一 暗含条件. 变式训练 在△ABC 中,已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰非直角三角形 答案: 答案:C 思路 2 例 1 若 sin(

3π 5 π 3 π 3π +α)= ,cos( -β)= ,且 0<α< <β< ,求 cos(α+β)的值. 4 13 4 5 4 4

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活动: 活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻 辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,教师不 可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当点拨引导,指导学生解决问题的关键是 寻找所求角与已知角的内在联系, 引导学生理清所求的角与已知角的关系, 观察选择应该选 用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注 意确定准角的范围,准确判断好三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思 路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题, 或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换 α,β 角的范围,进行一题多变训练,提高学 生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.

3π 3π 3π π π ,∴ < +α<π,- < -β<0, 4 4 4 4 2 4 3π 5 π 3 又已知 sin( +α)= ,cos( -β)= , 4 13 4 5 3π 12 π 4 +α)= ? ,sin( -β)= ? . ∴cos( 4 13 4 5 π 3π π ∴cos(α+β)=sin[ +(α+β)]=sin[( +α)-( -β)] 2 4 4 3π π 3π π =sin( +α)cos( -β)-cos( +α)sin( -β) 4 4 4 4 5 3 12 4 33 = × -( ? )×( ? )= ? . 13 5 13 5 65
解:∵0<α< <β< 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧 妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力. 变式训练 已知 α,β∈( 求 cos(α+

π

π
4

3π 3 π 12 ,π),sin(α+β)= ? ,sin(β- )= , 4 5 4 13

)的值.

解:∵α,β∈(

3π 3 π 12 ,π),sin(α+β)= ? ,sin(β- )= , 4 5 4 13 3π π π 3π ∴ <α+β<2π, <β- < . 2 2 4 4 4 π 5 ∴cos(α+β)= ,cos(β- )= ? . 5 4 13
∴cos(α+

π

4

)=cos[(α+β)-(β-

π

=cos(α+β)cos(β-

π

4

)]

4 4 4 5 3 12 56 = ×( ? )+( ? )× =? . 5 13 5 13 65

)+sin(α+β)sin(β-

π

)

例 2 化简

sin( a ? β ) sin( β ? θ ) sin(θ ? a ) + + . sin a sin β sin β sin θ sin θ sin a

活动: 活动:本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先

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让学生自己独立地探究,然后进行讲评. 解:原式= =

sin a cos β ? cos a sin β sin β cos θ ? cos β sin θ sin θ cos a ? cos θ sin a + + sin a sin β sin β sin θ sin θ sin a

sin a cos β sin θ ? cos α sin β sin θ sin a sin β cos θ ? sin a cos β sin θ sin θ sin β cos a ? cos θ sin β sin a + + sin a sin β sin θ sin a sin β sin θ sin θ sin β sin a
=

0 sin θ sin β sin a

=0. 点评: 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用 公式的运算能力. 变式训练 化简

sin(α + β ) ? 2 sin α cos β 2 sin α sin β + cos(α + β ) sin α cos β cos α sin β ? 2 sin α cos β 2 sin α sin β + cos α cos β ? sin α sin β

解:原式=

=

cos α sin β ? sin α cos β sin( β ? α ) = = tan( β ? α ). sin α sin β + cos α cos β cos( β ? α )

知能训练 课本本节练习 1—4. 1.(1)

6? 2 6? 2 6+ 2 ,(2) ,(3) ,(4)2- 3 . 4 4 4

2.

4?3 3 . 10 12 ? 5 3 26

3.

4.-2. 作业 已知 0<β<

π π
4 4
,

<α<

3π π 3 3π 5 ,cos( -α)= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 4 5 4 13

解:∵

π
4

<α<

3 2 3π π π π 4 ,∴ ? < -α<0.∴sin( -α)= ? 1 ? ( ) = ? . 4 2 4 4 5 5

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又∵0<β<

π
4

,∴

5 2 3π 3π 3π 12 < +β<π,cos( +β)= ? 1 ? ( ) = ? . 4 4 4 13 13

∴sin(α+β)=-cos( =-cos(

π
2

+α+β)=-cos[(

3π π 3π π +β)cos( -α)-sin( +β)sin( -α) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 )× ? ×( ? )= . =-( ? 13 5 13 5 65

3π π +β)-( -α)] 4 4

课堂小结 1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导 中你悟出了什么样的数学思想?对于这六个公式应如何对比记忆?其中正切公式的应用有 什么条件限制?怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明. 2.教师画龙点睛:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导, 明白从已知推得未知,理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式 解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中比较 最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想 方法之目的. 设计感想 1.本节课是典型的公式教学模式,是在两角差的余弦公式的基础上进行的,因此本教案的设 计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为 主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生 利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而使 学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想, 并培养他们主动利用转化思想指导探索解 决数学问题的能力. 2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量较大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应 用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导、证明方法,熟练应用公式解决简单的 问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法,让他们真正体验到自己发现探 索数学知识的喜悦和成功感. 第 2 课时 导入新课 思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式,并回忆公式的来龙去脉,然后让 一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征,说出 它们的区别和联系,以及公式的正用、逆用及变形用,以利于对公式的深刻理解.这节课我 们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用. 思路 2.(问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进 行解答. 1.化简下列各式 (1)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ;

sin 2 x sin x + cos x ? ? sin x ? cos ; (2) sin x ? cos x tan 2 x ? 1

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(3)

sin(α + β ) sin(α ? β ) tan 2 β + . sin 2 α cos 2 β tan 2 α sin(α + β ) tan α + tan β = ; cos(α ? β ) 1 + tan α tan β
sin(2α + β ) sin β ? 2 cos(α + β ) = . sin α sin α

2.证明下列各式 (1)

(2)tan(α+β)tan(α-β) (1-tan2tan2β)=tan2α-tan2β; (3)

答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1. 答案 2.证明略. 教师根据学生的解答情况进行一一点拨, 并对上节课所学的六个公式进行回顾复习, 由此展 开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式. ②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考. 活动: 活动:待学生稍做回顾后,教师打出幻灯,出示和与差角公式,让学生进一步在直观上 发现它们内在的区别与联系, 理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用, 更要体会由特殊 到一般的数学思想方法.教师引导学生观察,当 α、β 中有一个角为 90°时,公式就变成诱导 公式,所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时,还要注意角 的相对性,如 α=(α+β)-β,

α+β
2

= (α ?

β
2

)?(

α
2

? β ) 等.让学生在整个的数学体系中学会数

学知识,学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法,以及善于发现规律及其内在联系 的良好习惯,提高数学素养. sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ〔S(α±β) 〕; cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ〔C(α±β) 〕; tan(α±β)=

tan α ± tan β 〔T(α±β) 〕. 1 m tan α tan β

讨论结果: 讨论结果:略. 应用示例 思路 1 例 1 利用和差角公式计算下列各式的值. (1)sin72°cos42°-cos72°sin42°; (2)cos20°cos70°-sin20°sin70°;

1 + tan 15 o (3) 1 ? tan 15 o
活动: 活动:本例实际上是公式的逆用,主要用来熟悉公式,可由学生自己完成.对部分学生, 教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现(1)同公式 (2)同公式 C(α+β)右边形式一致,学生自然想到公式的逆用,从而化成特殊角 S(α-β)的右边,

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的三角函数,并求得结果.再看(3)式与 T(α+β)右边形式相近,但需要进行一定的变形.又因 为 tan45°=1,原式化为

tan 45 o + tan 15 o ,再逆用公式 T(α+β)即可解得. 1 ? tan 45 o tan 15 o
1 . 2

(1)由公式 S(α-β)得 解: 原式=sin(72°-42°)=sin30°=

(2)由公式 C(α+β)得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. (3)由公式 T(α+β)得 原式=

tan 45 o + tan 15 o =tan(45°+15°)=tan60°= 3 . 1 ? tan 45 o tan 15 o

点评: 点评:本例体现了对公式的全面理解,要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正 用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性 要求也高,而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值: (1)cos44°sin14°-sin44°cos14°; (2)sin14°cos16°+sin76°cos74°; (3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). (1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°= ? 解:

1 . 2 1 . 2

(2)原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°= (3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1. 2.计算

1 ? tan 75 o . 1 + tan 75 o

tan 45 o ? tan 75 o 3 =tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°= ? . 解:原式= o o 3 1 + tan 45 tan 75
例 2 已知函数 f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为 R,设 θ∈ [0,2π] f(x)为偶函数,求 θ 的值. ,若 活动:本例是一道各地常用的、 基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数 活动 的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学 生自己探究,独立完成,然后教师进行点评. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ. ∴sinxcosθ+sinxsinθ=0. ∴sinx(sinθ+cosθ)=0 对任意 x 都成立. ∴ 2 sin(θ+

π
4

)=0,即 sin(θ+

π
4

)=0.

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∴θ+

π
4

=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-

π
4

(k∈Z).

又 θ∈[0,2π),∴θ=

3π 7π 或 θ= . 4 4

点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果 点评 将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训 练学生逻辑思维能力. 变式训练 已知: 解:∵

π
2

<β<α<

3π , 2 4 π 3π . ∴0<α-β< ,π<α+β< 4 2 12 4 又∵cos(α-β)= ,sin(α+β)= ? , 13 5 5 3 ∴sin(α-β)= ,cos(α+β)= ? . 13 5
<β<α<

π

3π 12 4 ,cos(α-β)= ,sin(α+β)= ? ,求 cos2β 的值. 4 13 5

∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =?

3 12 4 5 56 × +( ? )× =? . 5 13 5 13 65

例 3 求证:cosα+ 3 sinα=2sin(

π
6

+α).

活动: 本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数, 活动: 教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用 公式 S(α+β)展开,化简整理即可得到左边此为证法,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教 师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式 S(α+β)的右边的形式,然后逆用公式化简即 可求得等式右边的式子, 这种证明方法不仅仅是方法的变化, 更重要的是把两个三角函数化 为一个三角函数. 证明: 证明:方法一:右边=2(sin

π
6

cosα+cos

π
6

sinα)=2(

1 3 cosα+ sinα) 2 2

=cosα+ 3 sinα=左边.

方法二:左边=2(

1 3 π π cosα+ sinα)=2(sin cosα+cos sinα) 2 2 6 6

=2sin(

π
6

+α)=右边.

点评: 本题给出了两种证法, 方法一是正用公式的典例, 而方法二则是逆用公式证明的, 点评: 此法也给了我们一种重要的转化方法,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边

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的系数 1 与 3 分别变为了

1 3 π 与 ,即辅助角 的正、余弦.关于形如 asinx+bcosx(a,b 2 2 6

不同时为零)的式子,引入辅助角变形为 Asin(x+φ)的形式,其基本想法是“从右向左”用和角 的正弦公式,把它化成 Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果 a= AC osφ,b=Asinφ,那么 asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由 sin2φ+cos2φ=1,可得 A2=a2+b2,A=± a + b ,不妨取 A= a + b ,于是得到 cosφ=
2 2 2 2

a a2 + b2

,sinφ=

b a2 + b2

,

从而得到 tanφ=

a 2 2 ,因此 asinx+bcosx= a + b sin(x+φ),通过引入辅助角 φ,可以将 b

asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决 asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种 引入辅助角的变换思想很重要,即把两个三角函数化为一个三角函数,实质上是消元思想, 这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率 非常高,是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常 被使用,应让学生领悟其实质并熟练的掌握它. 变式训练 化简下列各式: (1) 3 sinx+cosx; (2) 2 cosx-6sinx.

(1)原式=2( 解:

3 1 π π sinx+ cosx)=2(cos sinx+sin cosx) 2 2 6 6

=2sin(x+

π
6

).

(2)原式=2 2 (

1 3 π π cosxsinx)=2 2 (sin cosx-cos sinx) 2 2 6 6

=2 2 sin(

π
6

-x).

例 4 (1)已知 α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; (2)已知 sin(α+β)=

1 1 tan α ,sin(α-β)= ,求 . 2 3 tan β

活动: 活动:对于(1),教师可与学生一起观察条件,分析题意可知,α+β 是特殊角,可以利 用两角和的正切公式得 tanα,tanβ 的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在(2)中,我们 欲求

tan α . 若利用已知条件直接求 tanα,tanβ 的值是有一定的困难,但细心观察公式 S(α+β)、 tan β

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S(α-β)发现,它们都含有 sinαcosβ 和 cosαsinβ,而

tan α sin α cos β . 化切为弦正是 ,由此找 tan β cos α sin β

到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答. (1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 解: 又∵tan(α+β)=

tan α + tan β , 1 ? tan α tan β

∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), 即 tanα+tanβ=1-tanαtanβ. ∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. (2)∵sin(α+β)=

1 1 ,sin(α-β)= , 2 3 1 2
,

∴sinαcosβ+cosαsinβ= ① sinαcosβ-cosαcosβ=

1 . 3 5 ①+②得 sinαcosβ= , 12 1 ①-②得 cosαsinβ= , 12 5 tan α sin α cos β 12 = = =5 ∴ 1 tan β cos α sin β 12



点评: 点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现 α+β 为特殊角时,就可以逆用两角和 的正切公式变形 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处,而(2)中化切为弦的 求法更是巧妙,应让学生熟练掌握其解法. 变式训练 1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.? [ 解 : 原 式 = [ (1+tan1°)(1+tan44°) ] (1+tan2°)(1+tan43°) ] … [ (1+tan22°)(1+tan23°) ] 23 (1+tan45°)=2×2×2×…×2=2 . 2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.? 解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1. 知能训练 课本本节练习 5—7. 解答: 解答: 5.解:(1)原式=sin90°=1. 解 (2)原式=cos60°=

1 . 2

(3)原式=tan45°=1.

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(4)原式=-sin60°= ? (5)原式=-cos60°= ?

3 . 2
1 . 2

(6)原式=sin20°(-cos70°)+(-cos20°)sin70° =-(sin20°cos70°+cos20°sin70°)=-sin90°=-1. 6.(1)原式=sin

π
6

cosx-cos

π
6

sinx=sin(

π
6

-x).

(2)原式=2(

3 2

sinx+

1 π cosx)=2sin(x+ ). 2 6

(3)原式=2(

2 2 π sinxcosx)=2sin(x- ). 2 2 4 1 3 π cosxsinx)=2 2 sin( -x). 2 2 6

(4)原式=2 2 (

点评: 点评:将 asinx+bcosx 转化为 Asin(x+φ)或 Acos(x+φ)的形式,关键在于“凑”和(或差) 角公式. 7.解:由 sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα= 解

3 ,可得 5 3 , 5

sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin(α-β-α)=-sinβ= ∴sinβ= ? ∴cosβ= ?

3 .又 β 是第三象限角, 5 4 5π 5π 5π 7 2 .∴sin(β+ )=sinβcos +cosβsin = . 5 4 4 4 10

作业 已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为 tanα、tanβ,求 tan(α+β)的值. 解:由韦达定理得:tanα+tanβ= ?

b c ,tanαtanβ= , a a

b tan α + tan β b ∴tan(α+β)= = c = . c c?a 1 ? tan αβ 1? a ?
课堂小结 1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么?我们学习了哪些重要的解题方法?通过本节的 学习, 我们在运用和角与差角公式时, 应注意什么?如何灵活运用公式解答有关的三角函数 式的化简、求值、恒等证明等问题. 2.教师画龙点睛:通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式 解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、

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变形用等.推导并理解公式 asinx+bcosx= a + b sin(x+φ),运用它来解决三角函数求值域、
2 2

最值、周期、单调区间等问题. 设计感想 1.本节是典型的习题课,目的就是加深巩固两角和与差公式的应用,深刻理解公式的内在联 系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此,本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设 计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正 用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.特别是给出 了形如“asinx+bcosx= a + b sin(x+φ)”公式的推导和应用,对于三角函数的研究,给我们
2 2

提供了一种重要的方法. 2.对于习题课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生先认真审题、 独立思考、板演解法,然后教师再进行点评,理清思路,纠正错误,指导解法,争取一题多 解,拓展思路,通过变式训练再进行方法巩固.

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