【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：6.1 数列的概念与简单表示法

第六章

数列

6.1

数列的概念与简单表示法

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -3-

考纲要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -4-

1.数列的概念

顺序 排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做 这个数列的 项 ,数列中的每一项都和它的 序号 有关.排在第一位 的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做 首项 ).往后各项依次叫做这
按照一定 个数列的第 2 项,…,第 n 项,…. 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,…,其中 我们把上面的数列简记为

an 是数列的第 n 项,

{an} .

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -5-

想一想你知道数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}的区别吗? 答案:数列{an}是表示按照一定顺序排列的一列数,为

a1,a2,a3,…,an.而集合{a1,a2,a3,…,an}只表明该集合中有 n 个元素,数列 中的项有顺序,集合中的元素没有顺序.

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -6-

2.数列的分类
分类原则 项数 项与项间 的大小 关系 其他 标准 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 满足条件 项数
1 有限 1 项数 无限 an+1>an 其中 an+1<an n ∈ N* an+1=an 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -7-

3.已知 Sn,则 an= 4.数列的通项公式 如果数列{an}的

1 - -1

( = 1), ( ≥ 2). 可以用一个公式

第 n 项与序号 n 之间的关系

an=f(n) 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式可以 看成数列的函数 解析式 .
想一想数列的通项公式是唯一的吗? 答案:数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以 -1,为奇数, 1,为偶数.

写为 an=(-1)n 或 an=

有的数列没有通项公式.

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -8-

5.递推公式

首项(或前几项) ,且任意一项 an 与 an-1(或其 前面的项)之间的关系可以用 一个公式 表示,那么这个公式叫做数列
如果已知数列{an}的 的递推公式.它是数列的一种表示法. 6.数列与函数的内在联系 从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N 的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列 的
*

函数值 ,而数列

通项公式 也就是相应函数的解析式.

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6.1

数列的概念与简单表示法 -9-

基础自测
1.数列 1, , , , ,…的一个通项公式是 an 等于( )
2+1 B. 2-1 C. 2-3 D. 2+3 2 3 4 5 3 5 7 9

A.

关闭

由已知得,数列可写成 , , ,….故通项公式为 an=
1 3 5

1 2 3



2 -1

.
关闭

B
解析 答案

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6.1

数列的概念与简单表示法 -10-

2.在数列{an}中,已知 a1=a,a2=b,an+1+an-1=an(n≥2),则 a6 等于( D) A.a C.b-a B.b D.a-b

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -11-

3.已知数列{an}的通项 an= 是( ) A.an>an+1 B.an<an+1 C.an=an+1 D.不能确定
an=
+

(a,b,c +

都是正实数),则 an 与 an+1 的大小关系

关闭

=



+



,

∵ y= 是减函数, ∴ y=



+

是增函数,∴ an<an+1.

关闭

B

故选 B.
解析 答案

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6.1

数列的概念与简单表示法 -12-

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-n2,则 an=

.

关闭

0, = 1, 当 n=1 时,a1=S1=0;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+2.故 an= -2 + 2, ≥ 2,

关闭

2-2n即 (n∈ N )-2n(n∈N ). an =2
解析 答案

*

*

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -131 ,则 + +1

5.已知数列{an}的通项公式 an= 第 项.

a2 015=

, 10-3 是此数列的

关闭

a2 015=

1 2 015+ 2 016

= 2 016 ? 2 015=2 504 ? 2 015;又
1

10-3= 10 ? 9 = 2 504 ? 2 015 9

10+ 9

,∴ n=9.
解析

关闭

答案

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6.1

数列的概念与简单表示法 -14-

考点一 由数列的前几项求数列的通项公式
【例 1】 写出下面各数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,…. (2) , , , (3) ,
1 3 7 15 31 , ,…. 2 4 8 16 32 2 4 6 8 10 , , , ,…. 3 15 35 63 99

关闭

(1)各项减去 1 后为正偶数, 所以 an=2n+1.
1 2 3 4

(2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 2 ,2 ,2 ,2 ,…,所以 an=

2 -1 2

.

(3)注意到分母分别是 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…为两个连续奇数的积, 2 故所求数列的通项公式为 an= .
(2 -1)(2 +1)

答案 考点一 考点二 考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -15-

方法提炼 1.观察法就是观察数列的特征,找出各项共同的规律,横看“各项之间 的关系结构”,纵看“各项与项数 n 的关系”,从而确定数列的通项公式. 2.利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想. 3.注意:根据数列的前 n 项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要 注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n+1 来调整.

考点一

考点二

考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -16-

举一反三 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,….

关闭

(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各项的绝对值的排列规律为: 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…,∴ an=
9 9 9 8 8 8 8 9

1-

1 10

.
答案

考点一

考点二

考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -17-

考点二 由递推公式求数列的通项公式
【例 2】 已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈N,n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)这个数列从第几项开始各项均小于
1 ? 1 000

考点一

考点二

考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -18-

解:(1)an=
1 1 2

-1

·

-1 -2

·…· · ·a1=
2 1
( -1 ) 2

3

2

1 -1 2

·

1 -2 2

·…·

1 2 2

·

=

1 1+2+…+( -1) 2

=

1 2

,∴ an=

1 2

( -1 ) 2

.

(2)当 n≤4 时,

( -1) 2

≤6,an=

1 2

( -1 ) 2

≥

1 64

, 当 n ≥5

时,

( -1) 2

≥10,an=

( -1 ) 1 2

2

≤

1 1 024

.∴ 从第 5 项开始各项均小于

1 1 000

.

考点一

考点二

考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -19-

方法提炼 由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“累加法”“累 乘法”等. (1)已知 a1 且 an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即 an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2). 所有等式左右两边分别相加,代入 a1 得 an. (2)已知 a1 且
=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”, -1

-1 即 =f(n), =f(n-1),…, 3=f(3), 2 =f(2),所有等式左右两边分别相乘, -1 -2 2 1

代入 a1 得 an.

考点一

考点二

考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -20-

举一反三 2 根据下列条件,分别确定数列{an}的通项公式.
(1)a1=1,an=
-1 a (n≥2); n-1

(2)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an; (3)a1=1,an+1=3an+2.

考点一

考点二

考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -21-

解:(1)∵ a n=

-1

an-1(n≥2),∴ an-1=

-2 -1

an-2,…,a2= a1.
2

1

以上(n-1)个式子相乘得 an=a1· · ·…·
2 3 1 2 -1

=

1

= .


1

(2)∵ an+1-an=3n+2,∴ an-an-1=3n-1(n≥2), ∴ an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=
1 2 3 2 (3 +1) 2

(n≥2).当 n=1

时,a1= ×(3×1+1)=2 符合上式,∴ an= n2+ .
2



考点一

考点二

考点三

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -22-

(3)∵ an+1=3an+2, ∴ an+1+1=3(an+1),∴ +1 =3,
+1 +1

∴ 数列{an+1}为等比数列,公比 q=3. 又 a1+1=2,∴ an+1=2·3n-1, ∴ an=2·3n-1-1.

考点一

考点二

考点三

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6.1

数列的概念与简单表示法 -23-

考点三 已知数列的前 n 项和求通项公式
【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,求下列条件下数列的通项公式 an. (1)Sn=2· 5n-2; 关闭 (2) S = 1, S = 3 S + 2 . 1 n+1 n (1)当 n=1 时,a =S =2×5-2=8.当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=2·5 -2-2·5n-1+2=8·5n-1.∴ 当 n=1 时也适合 an,故 an=8·5n-1. (2)∵ S1=1,∴ a1=1. ∵ S2=3S1+2,∴ a2=4. ∵ Sn+1=3Sn+2,Sn=3Sn-1+2(n≥2), ∴ an+1=3an(n≥2). ∴ 数列{an}从第二项起构成等比数列,首项为 a2,公比为 3.∴ an=4·3n-2.故数 1, = 1, 列{an}的通项公式为 an= 4·3 -2 ,n ≥ 2.
答案 考点一 考点二 考点三
1 n 1

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6.1

数列的概念与简单表示法 -24-

方法提炼 1 ,n = 1, 1.数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an= 当 n=1 时,a1 - -1 ,n ≥ 2. 若适合 an=Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不 适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示. 2.转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略,数列中的转化更 是层出不穷,如 Sn 和 an 的转化.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -251

举一反三 3 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,3,…),
求 an.

关闭

∵ an+1= Sn,∴ an= Sn-1(n≥2).∴ an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2).∴ an+1= an(n≥2).
3 3 3 3 3

1

1

1

1

4

又 a1=1,a2= S1= a1= ,∴ {an}是从第二项起,公比为 的等比数
3 3 3 3

1

1

1

4

列.an=

1 4 -2 3 3

1, = 1, .∴ a n=
1 4 -2 3 3

,n ≥ 2.

答案 考点一 考点二 考点三

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -261 2 3

1.在数列{an}中,若 a1= ,an= A.
1 2

1 2

1 (n≥2,n∈N*),则 1--1

a2 013=( D.-2

)

B.-1

C.-

1 2

关闭

∵ a1= ,an=
2

1

1

1- -1

(n≥2,n∈N*),∴ a2=2,a3=-1,a4= .
2
关闭

1

∴ {an}是以 3 为周期的数列. B ∴ a2 013=a670×3+3=a3=-1.
解析

答案

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -271 2 3

2.数列的前 n 项为: ,1,

3 2

7 9 , ,…,则 10 17

an=

.

关闭

将数列统一为 , ,

3 5

7

分子的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,…,联想到数列 1,4,9,16,…, 即数列{n2},可得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2 +1 因此可得它的一个通项公式为 an= 2 +1.
2 +1 2 +1

2 5 10 17

, ,…,对于分子 3,5,7,9,…,是序号的 2 倍加 1,可得

9

关闭

解析

答案

第六章

6.1

数列的概念与简单表示法 -281 2 3


3.已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为
2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2), 又 a1=33 适合上式,∴an=n2-n+33, 33 ∴ =n+ -1. 令 f(x)=x+ -1(x>0),则 f'(x)=1-2 ,
33 33

.

关闭

∵an+1-an=2n,∴an-an-1=2(n-1),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-

令 f'(x)=0 得 x= 33.∴当 0<x< 33时,f'(x)<0,当 x> 33时,f'(x)>0,即 f(x)在区 间(0, 33)上递减;在区间( 33,+∞)上递增, 又 5< 33<6,且 f(5)=5+ -1= ,f(6)=6+ -1= ,∴f(5)>f(6), ∴当 n=6
21 2
33 5 21 时, 有最小值 . 2 53 5 11 2 21 2

关闭

解析

答案