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高中函数基础知识与典型例题复习


第二章函数

映射:设非空数集 A,B,若 对集合 A 中任一元素 a,在集 合 B 中有唯一元素 b 与之对 应,则称从 A 到 B 的对应为 映射,记为 f :A→B,f 表示 对应法则,b=f(a)。若 A 中不 同元素的象也不同, 且 B 中每 一个元素都有原象与之对应 , 则称从 A 到 B 的映射为一一 映射。 1.函数定义:函数就是定义在 非空数集 A,B 上的映射,此 时称数集 A 为定义域,象集 C={f (x )|x ∈A}为值域。 2.函数的三要素:定义域,值 域,对应法则. 从逻辑上讲, 定义域,对应法则决定了值 域,是两个最基本的因素。 3. 函数定义域的求法: 列出使 函数有意义的自变量的不等 关系式, 求解即可求得函数的 定义域.常涉及到的依据为: ① 分母不为 0;②偶次根式中被 开方数不小于 0;③对数的真 数大于 0,底数大于零且不等 于 1;④零指数幂的底数不等 于零; ⑤实际问题要考虑实际 意义等. 注 :求函数定义域是通过解关 于自变量的不等式(组)来实 现的。 函数定义域是研究函数 性质的基础和前提。 函数对应 法则通常表现为表格, 解析式 和图象。 例 1.若 A ? {1,2,3,4} ,B ? {a, b, c} ,则 A 到 B 的映 射有 个, B 到 A 的映射有 个;若 , , 则 到 的一一映射 A B A ? {1,2,3} B ? {a, b, c} 有 个。 例 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N, 映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素 2 n ? n ,则在映射 f 下,象 20 的 原象是 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5



例 3.已知扇形的周长为 20,半径为 r ,扇形面 积 为 S , 则 S ? f (r ) ? ;定义域 为 。 例 4. 求函数 f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 的定义域. x ?1 ? 2





例 5. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函 1 1 数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。 4 4

4.函数值域的求法:①配方法 1 ? x2 例 6. 已 知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f ? g ( x) ? ? 2 (x ?0), (二次或四次 );②判别式法; x ③反函数法(反解法) ;④换 1 求 f ( ). 元法(代数换元法) ;⑤不等 2

式法;⑥单调函数法. 注 :⑴求函数值域是函数中常 见问题,在初等数学范围内, 直接法的途径有单调性, 基本 不等式及几何意义, 间接法的 途径为函数与方程的思想, 表 现为△法,反函数法等,在高 用导数法求某 函 等数学范围内, 些函数最值 (极值) 更加方便. ⑵常用函数的值域, 这是求其 他复杂函数值域的基础。 ①函数 y ? kx ? b(k ? 0, x ? R) 的值域 例 7. 求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域. 为 R; ② 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) 当 a ? 0 时值 域是 [ 4ac ? b , ??) , 当 a ? 0 时值
2

数 域是 ( ??,

4a

4ac ? b 2 4a
x

] ;③反比

例函数 y ? k (k ? 0, x ? 0) 的值域 为 { y | y ? 0} ; ④ 指 数 函 数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1, x ? R) 的 值 域 为 R ? ;⑤对数函数 y ? log a x (a ? 0, 且a ? 1, x ? 0) 的值域为 R; 例 8. 下列函数中值域为 ?0 , ? ?? 的是( ) 1? x 1 ⑥ 函 数 y ? sin x, y ? cos x( x ? R) ?1? 2? x (B) y ? ? ? 的 值 域 为 [-1 , 1] ; 函 数 (A) y ? 5 ? 3? ? x y ? tan x, x ? k? ? , y ? cot x ?1? 2 (C) y ? ? ? ? 1 (D) y ? 1 ? 2 x ( x ? k? , k ? Z ) 的值域为 R; ?2? 函数的单调区间可以是整个 例 9.讨论函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的单调性。 定义域, 也可以是定义域的一 单 部分. 对于具体的函数来说可 能有单调区间, 也可能没有单 调 调区间,如果函数在区间(0, 1)上为减函数,在区间(1, 性 2)上为减函数,就不能说函

(0, 1 )(, 1 2) 数在 上为减函 数. 1 研究函数的单调性应 单 单调性: x ?1 结合函数单调区间, 单调区间 例 10. 函数 y ? 2 在定义域上的单 调性为 ( ) 应是定义域的子集。 调 判断函数单调性的方法: ①定 (A)在 ?? ?,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是增函

义法 (作差比较和作商比较) ; ③单调性的运算性 性 ②图象法; 质(实质上是不等式性质) ; ④复合函数单调性判断法则 ; ⑤导数法(适用于多项式函 数) 函数单调性是函数性质中最 活跃的性质, 它的运用主要体 现在不等式方面,如比较大 小,解抽象函数不等式等。

数;( B)减函数; (C)在 ?? ?,1? 上是减函数, 在 ?1,??? 上是减函数;(D)增函数 例 11.已知函数 f (x ), g (x )在 R 上是增函数,求 证:f [g (x )]在 R 上也是增函数。

1. ⑴偶 函数: f (? x) ? f ( x) . 设 例 12.判断下列函数的奇偶性: ( a, b )为偶函数上一点,则 1? x ① f ( x) ? ( x ? 1) , ( ?a, b )也是图象上一点. 1? x ⑵偶函数的判定: 两个条件同 时满足①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上 不 是 偶 函 数 . ② 满 足 或 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 , f ( ? x) ? f ( x) , ② f ( x) ? x 2 ? 1 1 ? x 2 , f ( x) ? 1. 若 f ( x) ? 0 时,

奇 2.⑴奇函数:

f (? x)

f (? x) ? ? f ( x) .设

( a, b )为奇函数上一点,则 ( ?a,?b )也是图象上一点. 偶 ⑵奇函数的判定: 两个条件同 时满足①定义域一定要关于 2 ? ? x ? x ( x ? 0) 原点对称, 例如:y ? x 3 在 [1,?1) ③ f ( x) ? ? 2 性 上不是奇函数.②满足 ? ? x ? x ( x ? 0) f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 若 f ( x) ? 0 时,
f ( x) ? ?1 . f (? x)

注 :函数定义域关于原点对称是判 断函数奇偶性的必要条件, 在利用 定义判断时, 应在化简解析式后进 行,同时灵活运用定义域的变形, 如 f (? x) ? f ( x) ? 0 , f (? x) ? ?1 ( f (x)
f ( x)

≠0)

反 1. 反 函 数 定 义 : 只 有 满 足 例 13.求函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0)的
反函数



x ??? ? y ,函数 y ? f ( x) 才有 唯一

反函数 . 例如: y ? x 2 无反函

数 数 . 函数 y ? f ( x) 的反函数记

x? f
?1
?1

( y)

,习惯上记为

y? f

( x) .

2.求反函数的步骤 :①将 y ? f ( x) 看成关于 x 的方程,解出 x ? f ?1 ( y) , 若有两解,要注意解的选择;
?1

2x ? 3 ,函数 y=g(x ) 图象与 x ?1 ②将 x, y 互换,得 y ? f ( x) ; y ? f ?1 ( x ? 1) 的图象关于直线 y= x 对称,求 ③写出反函数的定义域(即 g(11)的值。

例 14. 已知 f ( x) ?

。 y ? f ( x) 的值域) 3.在同一坐标系, 函数 y ? f ( x) 与它的反 函数 y ? f ?1 ( x) 的图 象关于 y ? x 对称. [注 ]:一般地, f ?1 ( x ? 3) ? f (x ? 3) 的 反函数. f ?1 ( x ? 3) 是先 f ( x) 的 反函数,在左移三个单位. 在 f ( x ? 3) 是先左移三个单位,

f ( x) 的反函数.



那么 4. ⑴单调函数必有反函数,但并非 例 15. 若函数 y ? f ( x) 的图象经过 (0,?1) ,
反函数 存在 时一 定是 单调 的 . 因 此,所有偶函数不存在反函数.

y ? f ( x ? 4) 的反函数图象经过点( (A) (4,?1) (B) (?1,?4)

)

⑵如果一个函数有反函数且为奇 (C) (?4,?1)

(D) (1,?4)



函数,那么它的反函数也为奇函 数. ⑶设函数 y = f (x)定义域,值域 分别为 X、Y . 如果 y = f(x)在 X

例 16. 设 f ?x ? ? 4 x ? 2 x ?1 , 则f

?1

?0? ? ________.



上是增(减)函数,那么反函数 y ? f ?1 ( x) 在 Y 上一定是增(减) 函数, 即互为反函数的两个函数增 减性相同. ⑷一般地,如果函数 y ? f ( x) 有反 函数,且 f (a) ? b ,那么 f ?1(b) ? a . 这就是说点 ( a, b ) 在函数 y ? f ( x) 图象上,那么点( b, a )在函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. 注:1. 函数 f (x)的反函数 f (x)的性 质与 f (x)性质紧密相连, 如定义域、 值域互换,具有相同的单调性等, 把反函数 f (x)
-1 -1

例 17. 函数 y ? mx ? 1( x ? R), 与 y ?
互为反函数的充要条件是___________.

x ? n( n ? R ) 2

1 例 18. 若点 (2, ) 既在函数 y ? 2 ax?b 的图象上, 4 的问题化归为函数 f (x)的问题是处 又在它的反函数的图象上,则 a =__, b =___
王新敞
奎屯 新疆

理反函数问题的重要思想。 2. 设函数 f(x)定义域为 A,值域为 C , 则 ① f -1 [f(x)]=x,(x?A) ② f [f -1 (x)]=x,(x?C)

指 数 函 数 与 对 数 函 数

例 19.函数 y ? a x ?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象 必经过点( ) 域为( 0,?? ).⑴①当 a ? 1 ,指 (A)(0,1) (B)(1,1) x 数函数: y ? a 在定义域上为 (C) (2, 0) (D) (2,2) 3 增函数;②当 0 ? a ? 1,指数 例 20. 3 log 7 2 ? log 7 9 ? 2 log 7 ( ) x 函数: y ? a 在定义域上为减 2 2 函数.⑵当 a ? 1 时, y ? a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反. 1. 指 数 函 数 : y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值



2. 对 数 函 数 : 如 果

a

例 21.设 x, y, z ? (0,??) 且 3 x ? 4 y ? 6 z ,

数 函 数 与 对 数 函 数

1 1 1 ? ;⑵比较 3x,4 y,6 z 的大小. ( a ? 0, a ? 1 ) 的 b 次 幂 等 于 ⑴ 求证: ? x 2y z 就是 a b ? N , 数 b 就叫做以 N, a 为底的 N 的对数,记作
loga N ? b( a ? 0, a ? 1 ,负数和

零没有对数) ;其中 a 叫底数, N 叫真数. ⑴对数运算:
① log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N M ? log a M ? log a N N ③ log a M n ? n log a M ② log a 1 ④ log a n M ? log a M ? n log a N ⑤a ?N log N ⑥换底公式: log a N ? b log b a ⑦推论: log a b ? log b c ? log c a ? 1 ? log a1 a2 ? log a2 a3 ? ... ? log an?1 an ? log a1 an (以上M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a2 ,..., an ? 0且 ? 1)

例 22.已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2 log x 2 , 试比较 f ( x)和g ( x) 的大小。

例 23.求函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3x ? 18) 的单调减区
2

间,并用单调定义给予证明。

例如: loga x 2 ? 2log a x( 2log a x 中 x >0 而 log a x 2 中 x ∈R). ⑵ y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) 与 例 24. 求下列函数的定义域、值域: y ? log a x 互为反函数. 1 ? x 2 ?1 ? ; ② y ? log 1 (? x 2 ? 4 x ? 5) 当 a ? 1 时, y ? log a x 的 a 值越 ① y ? 2 4 3 大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反. y轴对称 3x ? 7 1 ①y = ( f x) ?? ? ?? y ? f( ? x) 例 25.讨论函数 y ? 的图象与 y ? 的图 x轴对称 x?2 x ②y =f(x ) ??? ?? y ? ? f(x) 象的关系。 ③ y =f ( x )

图 原点对称 象 ????? y ? ? f( ? x) 变 ④y=f(x )→y=f(|x |),把x轴上 方的图象保留, x轴下方的图 换
象关于x轴对称 ⑤ y=f (x )→y=|f (x )| 把y轴右 边的图象保留, 然后将y轴右

边部分关于y轴对称。 (注意: 它是一个偶函数) ⑥伸缩变换: y=f (x )→y=f( ω x ), y=f (x )→y=Af ( ω x + φ ) 具 体参照三角函数的图象变换。 注:一个重要结论:若 f (a-x ) =f (a+x ),则函数 y=f (x )的图 像关于直线 x =a 对称; 1.一元一次函数: y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减 函数; b 2.一元二次函数:一般式 : y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是 x ? ? ;顶点为 2 a 一 b 4ac ? b 2 ;两点式: y ? a( x ? x )( x ? x ) ;对称轴方程是 ;与 x 轴的 ( ? , ) 1 2 次

函 数 与 二 次 函 数

2a

4a

交点为 ;顶点式: y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是 ;顶 点为 ; ⑴一元二次函数的单调性: 当 a ? 0 时: 为增函数; 为减函数; 当 a ? 0 时: 为增函数; 为减函数; ⑵二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式, (Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上,则当 a ? 0 时:在顶点处取得最小值, 最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最 小值在距离对称轴较远的端点处取得; (Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上,则当 a ? 0 时:最小值在距离对称轴较 近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a ? 0 时:最大值 在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; ⑶二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 ;则:
根的情 况

1 2 1 2 1 2 一 次 在区间 (k ,??) 上 在区间 (??, k ) 上 在区间 (k ,??) 或 等价命 函 题 (??, k ) 上有一根 有两根 有两根 数 Δ ≥0 ? Δ ≥0 ? 与 ? b ? b ? ? 充要条 ?k ?k 二 ?? a·f (k)<0 ?? 2a 件 2 a ? ? 次 ? a ? f ( k ) ? 0。 ? ? a ? f ( k ) ? 0。 ? 函 ?a ? f ( p) ? 0 数 另外:①二次方程 f(x )=0 的一根小于 p,另一根大于 q(p<q) ? ?

x ≥x ?k

x ≤x ?k

x ?k?x

?a ? f (q) ? 0。 ? f ( p) ? 0 ②二次方程 f (x )=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f (p)·f (q)<0,或 ? (检 ?a ? f ( q ) ? 0

? f (q) ? 0 验)或 ? (检验) 。 a ? f ( p ) ? 0 ? ③若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的情况,得出结果,在令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。
注:常见的初等函数一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。 例 26. 当 0≤x ≤1 时,函数 y=ax+a-1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值 范围是( ) 1 1 1 (A)a< (B)a>1 (C)a< 或 a>1 (D) <a<1 2 2 2 例 27.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (a 3 ? a) x ? 1 在 (??,?1] 上递增,则 a 的取值范围是 ( ) (A) a ≤ 3 (B) ? 3 ≤ a ≤ 3 (C ) 0 ? a ≤ 3 (D) ? 3 ≤ a ? 0 2 例 28. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? (a 2 ? b) x ? c 的图像开口向上,且 f (0) ? 1 , f (1) ? 0 ,则实数 b 取值范围是( ) 3 3 (A) (??,? ] (B) [? ,0) (C) [0,??) (D) (??,?1) 4 4 x?0 ?1, ? x ? 0 ,则方程 x ? 1 ? (2 x ? 1) f ( x ) 的解为 例 29. 设函数 f ( x) ? ?0, . ?? 1, x?0 ?

一 次 函 数 与 二 次 函 数

数学基础知识与典型例题(第二章函数)答案
例 1. 34 , 43 ,6; 例 2. C 例 3. (10 ? r )r , (0,10) 对于实际问题,在求出函数解析式后,此时的定义域要根据实际意义 来确定。 例 4. 解:∵解析式有意义的充要条件是:
2 ? ? x ? 3x ? 4 ≥ 0 ? x ≥ ?4或x ≤ ?1 ? x ? ?3或 ? 3 ? x ≤ ?1或x ≥ 4 ?? ? x ? 1 ? 2 ? 0 x ? ? 3 且 x ? 1 ? ? ?

∴函数 f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 的定义域为{ x | x ? ?3或 ? 3 ? x ≤ ?1或x ≥ 4 } x ?1 ? 2

1 3 ? ? 5 ? 1 ≤ x ? ≤ 1 ? ≤ x ≤ ? ? ? ? 4 4 ? ? 3 ≤ x≤ 3 例 5. 解:要使函数有意义, 必须 : ? ?? 4 4 4 ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 ?? 3 ≤ x ≤ 5 ? ? ? 4 ? 4 4
1 1 3 3? ∴ y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域是 ? ? , ?. ? 4 4 ? 4 4?
(1 ? t ) 2 1 3 ?1? 2 1 ? t 3 ? 2 t ? t 1 例 6.解一: 令 t ? 1 ? 2x , 则 x ? , ∴ f (t ) ? ∴ f( )? 4 ? 4 ? 15 2 (1 ? t ) 2 1 ? 2t ? t 2 2 1 ?1 ? 1 4 4 1 2 1? ( ) 1 解二:令 1 ? 2 x ? 1 则 x ? ∴ f ( 1 ) ? 4 ? 15 4 2 1 2 2 ( ) 4 1?

例 7. 解:设 t ? 1 ? x 则 t ≥0 ∴x =1?t2 代入得 y=f (t )=2×(1?t2 )+4t =?2t2 +4t +2=?2(t?1)2 +4 ∵t ≥0∴y≤4∴所求值域为 ? ??, 4? 例 8. B 例 9. 解:定义域 {x |?1≤x ≤1},在[?1,1]上任取 x 1 ,x2 且 x1 <x 2 则 f ( x1 ) ? 1 ? x12 , f ( x2 ) ? 1 ? x2 2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? x12 ? 1 ? x2 2 =
2 x2 ? x12 2 1 ? x12 ? 1 ? x2 2 (1 ? x12 ) ? (1 ? x2 ) 2 1 ? x12 ? 1 ? x2

=

?

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 )
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

2 ?0 ∵ x1 ? x2 ∴ x2 ? x1 ? 0 ,另外,恒有 1 ? x12 ? 1 ? x2

∴若?1≤x1 <x 2 ≤0 则 x1 +x 2 <0 若 x1 <x2 ≤1 则 x1 +x2 >0

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) < f ( x2 )

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) > f ( x2 )

∴ 在[?1,0]上 f(x)为增函数,在[0,1]上为减函数。 例 10. C 例 11. 证:任取 x1 , x2 ? R 且 x 1 < x 2 ∵g (x ) 在 R 上是增函数,∴g (x 1 ) <g (x 2 ),

又∵f (x ) 在 R 上是增函数,∴f [g (x 1 )] < f [g (x 2 )]而且 x 1 < x2 ,

∴ f [g (x )] 在 R 上是增函数 同理可以推广: 若 f (x )、g (x ) 均是 R 上的减函数,则 f [g (x )] 是 R 上的增函数 若 f (x ).g (x ) 是 R 上的一增、一减函数,则 f [g (x )] 是 R 上的减函数 ? 1? x ? 0 ? 例 12①解:定义域: ?1 ? x ? ?1 ≤ x ? 1 ,关于原点非对称区间 ≥ 0 ? ?1 ? x ∴此函数为非奇非偶函数. ? x 2 ? 1≥ 0 ? x ≥1或x ≤ ?1 ? ②解:定义域: ? ?? 2 ?1 ? x ≥ 0 ? ?1 ≤ x ≤1 ? ∴定义域为 x =±1,∵f (±1) = 0, ∴此函数为即奇且偶函数. ③解:显然定义域关于原点对称, ∵当 x >0 时, ?x <0 有 f (?x ) = x 2?x = ?(x ?x2 ); ?? ( x 2 ? x) ( x ? 0) ? ? f ( x) 当 x <0 时, ?x >0 有 f (?x ) = ?x ?x2 = ?(x2 +x )∴ f (? x) ? ? 2 ? ( x ? x ) ( x ? 0 ) ? ∴此函数为奇函数. 例 13.解:∵ ?1≤x < 0,∴0 < x2 ≤ 1 ,∴0≤1 ? x 2 < 1,∴ 0 ≤ 1 ? x 2 < 1 , ∴0 < y ≤1 由: y ? 1 ? 1 ? x 2 解得: x ? ? 2 y ? y 2 (∵ ?1≤x < 0 ) ∴ y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0)的反函数是: y ? ? 2 x ? x 2 ( 0 < x ≤1 ) 例 14.解:利用数形对应的关系,可知 y=g(x )是 y=f -1 (x +1)的反函数, 从而化 g(x )问题为已知 f (x )。∵ y ? f ?1 ( x ? 1) ∴ x ? 1 ? f ( y) ∴ x ? f ( y) ? 1 ∴ y ? f ?1 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f ( x) ? 1 即 g ( x) ? f ( x) ? 1 ∴ g(11)=f (11)-1= 评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系, 当 f (x )存在反函数时,若 b=f (a),则 a=f-1 (b). 例 15. B 例 16. 1
1 2 12 10 例 18. a = ? , b = 7 7 1 1 解:由已知 (2, ) 在反函数的图象上,则 ( ,2) 必在原函数的图象上 4 4
3 2

例 17. m=2,n=

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12 ? ?1 2 a ?b a?? 2a ? b ? ?2 ? ? 2 ? ? 1 1 ? ? 7 所以原函数经过点 (2, ) 和 ( ,2) 则 ? 4 ,所以 ? 1 ,解得 ? 1 4 4 a ?b ?1 a ?b ? ?b ? 10 ? 4 4 ? 2 ? 2 ? ? 7 ?
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例 19.D
23 ? ( 3 2 2 9 )2 ? log 7 1 ? 0

例 20.解:原式 ? log 7

例 21.⑴证明:设 3x ? 4 y ? 6z ? k , ∵ x, y, z ? (0, ??) ,∴ k ? 1 取对数得 : x ?

lg k lg k lg k ,y? ,z ? , lg 3 lg 4 lg 6



1 1 lg 3 lg 4 2lg 3 ? lg 4 2lg 3 ? 2lg 2 lg 6 1 ? ? ? ? ? ? ? x 2 y lg k 2lg k 2lg k 2lg k lg k z

64 3 4 lg 64 ? lg81 81 ? 0 ,∴ 3x ? 4 y , ⑵ 3x ? 4 y ? lg k ( ? ) ? lg k ? ? lg 3 lg 4 lg 3lg 4 lg 3lg 4 9 lg k ? lg 4 6 lg 36 ? lg 64 16 ? 0 , 又∵ 4 y ? 6 z ? lg k ( ? ) ? lg k ? ? lg 4 lg 6 lg 2lg 6 lg 2lg 6 ∴ 4 y ? 6z ,∴ 3x ? 4 y ? 6 z 3x 例 22. 解: f ( x) ? g ( x) ? log x 4 ? x ?1 ? 0 ? x ?1 4 ? ? ?x? 或 ? ? 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? g ( x) ①当 ? 3x 3x 3 ?1 0? ?1 ? ? ?4 ? 4 lg k lg

3x 4 ? 1即x ? 时 f ( x)? g ( x) 4 3 ? x?0 ?0 ? x ? 1 4 ? ? ? 1 ? x ? 或 ? 3x ? x ? ? 时 f ( x ) ? g ( x) ③当 ? 3x 3 0? ?1 ?1 ? ? ? 4 ? 4 4 综上所述: x ? (0,1) ? ( , ??) 时 f ( x) ? g ( x) ; 3 4 4 x ? 时 f ( x) ? g ( x) ; x ? (1, )时 f ( x) ? g ( x) 3 3
②当 例 23. 解:∵定义域 x2 ? 3x ?18 ? 0 ? x ? 6或x ? ?3 ,∴单调减区间是 (6,??) . 设 x1 , x2 ? (6, ??)且x1 ? x2 则 y1 ? log 1 ( x12 ? 3x1 ? 18) , y2 ? log 1 ( x2 2 ? 3x2 ? 18)
2 2

∵ ( x12 ? 3x1 ? 18) ? ( x22 ? 3x2 ? 18) = ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 3) ,又∵ x2 ? x1 ? 6 , ∴ x2 ? x1 ? 0 , x2 ? x1 ? 3 ? 0 ∴ x2 2 ? 3x2 ? 18 ? x12 ? 3x1 ? 18 ,

1 ? 1 ,∴ y2 ? y1 ? 0 , y2 ? y1 2 ∴函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3x ? 18) 在 (6, ??) 上是减函数.
又∵底数 0 ?
2

1 ? ≥ 0 即: ? x2 ? 1≥ ?2 ? ?1≤ x ≤1 4 2 1 1 ∵ ?1≤ x ≤1,∴ ?1≤ ? x2 ≤ 0 从而 ?2 ≤ ? x2 ? 1≤ ?1 ,∴ ≤ 2? x ?1 ≤ , 4 2 2 1 1 1 1 ∴ 0 ≤ 2? x ?1 ? ≤ ,∴ 0 ≤ y ≤ ,∴定义域为[-1,1],值域为 [0, ] 2 4 4 2

例 24①解:要使函数有意义,则须: 2? x

2

?1

王新敞
奎屯

新疆

②要使函数有意义,则须: ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5 由 ? 1 ? x ? 5 ,∴在此区间内 (? x 2 ? 4 x ? 5) max ? 9 , ∴ 0 ≤ ? x2 ? 4 x ? 5 ≤ 9 从而 log 1 (? x 2 ? 4 x ? 5) ≥ log 1 9 ? ?2 即:值域为 y ≥ ?2 ,
3 3
王新敞
奎屯 新疆

∴定义域为[-1,5],值域为 [?2,??) 例 25. 解 : ∵ y ?

王新敞
奎屯

新疆

3x ? 7 3x ? 6 ? 1 1 1 ? ? 3? ∴ 可 由 y ? 的 图 象向 左平 移两 个单 位 得 x x?2 x?2 x?2 1 1 y? ? 3 的图象。 的图象,再向上平移三个单位得 y ? x?2 x?2 例 26.D 例 27. D 例 28. D
例 29. x =0,2 或-
1 ? 17 4


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