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辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一下学期期初数学试卷


辽宁省沈阳市东北育才学校 2014-2015 学年高一下学期期初数学 试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2},则 A∩B=() A.{0} B.{1} C.{0,1} 2.不等式 ax +bx+2>0 的解集是(﹣ , ) ,则 a+b 的值是() A.10 B.﹣14
α 2

D.{0,1,2}

C.14

D.﹣10 ) ,则 k+α=() D.2

3.已知幂函数 f(x)=kx (k∈R,α∈R)的图象过点( , A. B. 1 C.

4.直线 x﹣2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是() A.x+2y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.2x+y﹣3=0 5.方程 A.0 x=2 ﹣2014 的实数根的个数为() B. 1 C. 2
x

D.x+2y﹣3=0

D.不确定

6.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为()

A.6+2
2 2

B.6+

C.6+4

D.10

7.圆:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 x﹣y=2 的距离最大值是() A.2 B. C. D.

8.已知 y=loga(2﹣ax) (a>0 且 a≠1)在上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是() A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D. 9.已知三个互不重合的平面 α,β,γ,且 α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,给出下列命题: ①若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c; ②若 a∩b=P,则 a∩c=P;

③若 a⊥b,a⊥c,则 α⊥γ; ④若 a∥b,则 a∥c. 其中正确命题个数为() A.1 个 B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f (x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的解集为() A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞)

11.函数 f(x)=min

,其中 min

,若动直线 y=m 与

函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1、x2、x3,则 x1+x2+x3 的取 值范围是() A.(2,6﹣2 ) B.(2, +1) C.(4,8﹣2 ) D.(0,4﹣2 ) 12. 在平面直角坐标系内, 设M (x1, y1) 、 N (x2, y2) 为不同的两点, 直线 l 的方程为 ax+by+c=0, δ= .有四个判断:

①若 δ=1,则过 M、N 两点的直线与直线 l 平行; ②若 δ=﹣1,则直线 l 经过线段 MN 的中点; ③存在实数 δ,使点 N 在直线 l 上; ④若 δ>1,则点 M、N 在直线 l 的同侧,且直线 l 与线段 MN 的延长线相交. 上述判断中,正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.点(2,3,4)关于平面 xOz 的对称点为. 14.圆心在直线 2x+y=0 上,且与直线 x+y﹣1=0 切于点(2,﹣1)的圆的方程是. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 ﹣n|≤1,若函数 f(x)=m
x+1

和圆 x +y =n 相切,其中 m,n∈N,0<|m

2

2

2

﹣n 的零点 x0∈(k,k+1)k∈Z,则 k=.

16.对于四面体 ABCD,以下命题中,真命题的序号为(填上所有真命题的序号) ①若 AB=AC,BD=CD,E 为 BC 中点,则平面 AED⊥平面 ABC; ②若 AB⊥CD,BC⊥AD,则 BD⊥AC; ③若所有棱长都相等,则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 2:1; ④若以 A 为端点的三条棱所在直线两两垂直,则 A 在平面 BCD 内的射影为△ BCD 的垂心; ⑤分别作两组相对棱中点的连线,则所得的两条直线异面.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17.已知函数 f(x)= 的定义域为集合 A,函数 g(x)=( ) , (﹣1≤x≤0)
x

的值域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若集合 C={x|a≤x≤2a﹣1},且 C∩B=C,求实数 a 的取值范围. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,O 为 AD 中点,M 是棱 PC 上的点,AD=2BC. (1)求证:平面 POB⊥平面 PAD; (2)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA∥平面 BMO.

19.如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE, DE=DA=2AF=2. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDE; (Ⅱ)求证:AC∥平面 BEF; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积.

20.已知函数 f(3 ﹣2)=x﹣1(x∈) ,函数 g(x)=f(x﹣2)+3. (1)求函数 y=f(x)与 y=g(x)的解析式,并求出 f(x) ,g(x)的定义域; 2 2 (2)设 h(x)= +g(x ) ,试求函数 y=h(x)的最值. 21.已知圆 C 的圆心在坐标原点,且与直线 l1:x﹣y﹣2 =0 相切 (Ⅰ)求直线 l2:4x﹣3y+5=0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长. (Ⅱ)过点 G(1,3)作两条与圆 C 相切的直线,切点分别为 M,N,求直线 MN 的方程

x

(Ⅲ) 若与直线 l1 垂直的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 P,Q,若∠POQ 为钝角,求直线 l 纵截距的取值范围. 22.已知函数 f(x)=loga(ax ﹣(a+1)x+1) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若对任意 x∈
2

辽宁省沈阳市东北育才学校 2014-2015 学年高一下学期期 初数学试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2},则 A∩B=() A.{0} B.{1} C.{0,1}

D.{0,1,2}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 直接根据交集的定义即可求解. 解答: 解:∵A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2} ∴A∩B={0,1} 故选 C 点评: 本题主要考查了交集的定义,属常考题型,较易.解题的关键是透彻理解交集的定 义,但此题一定要注意集合 A 是孤立的点集否则极易出错! 2.不等式 ax +bx+2>0 的解集是(﹣ , ) ,则 a+b 的值是() A.10 B.﹣14 C.14 D.﹣10
2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出. 解答: 解:不等式 ax +bx+2>0 的解集是(﹣ , ) , ∴﹣ , 是方程 ax +bx+2=0 的两个实数根,且 a<0, ∴﹣ =﹣ + , =﹣ × , 解得 a=﹣12,b=﹣2, ∴a+b=﹣14 故选:B
2 2

点评: 熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键. 3.已知幂函数 f(x)=kx (k∈R,α∈R)的图象过点( , A. B. 1 C.
α

) ,则 k+α=() D.2

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数 f(x)的定义与性质,求出 k 与 α 的值即可. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=kx (k∈R,α∈R)的图象过点( , ∴k=1, ∴k+α=1﹣ = . 故选:A. 点评: 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,是基础题. 4.直线 x﹣2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是() A.x+2y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.2x+y﹣3=0 = ,∴α=﹣ ;
α

) ,

D.x+2y﹣3=0

考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 分析: 设所求直线上任一点(x,y) ,关于 x=1 的对称点求出,代入已知直线方程,即可得 到所求直线方程. 解答: 解:解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y) ,则它关于 x=1 对称点为 (2﹣x,y) 在直线 x﹣2y+1=0 上,∴2﹣x﹣2y+1=0 化简得 x+2y﹣3=0 故选答案 D. 解法二:根据直线 x﹣2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D, 再根据两直线交点在直线 x=1 选答案 D 故选 D. 点评: 本题采用两种方法解答,一是相关点法:求轨迹方程法;法二筛选和排除法.本题 还有点斜式、两点式等方法. 5.方程 A.0 x=2 ﹣2014 的实数根的个数为() B. 1 C. 2 D.不确定
x

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 可以分别作出函数 y= x 与 y=2 ﹣2014 的图象,通过观察容易解决问题.. x 与 y=2 ﹣2014 的图象交点的个数,
x x

解答: 解;原方程的根的个数,即为函数 y=

做出图象如下:可见两函数只有一个交点,所以原方程只有一个零点. 故选 B.

点评: 本题考查了利用函数图象研究函数零点个数的问题,一般的像这种含有指数与对数 且无法求解的方程,判断根的个数往往利用图象法. 6.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为()

A.6+2

B.6+

C.6+4

D.10

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体的结构特征是什么,求出它的表面积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得出该几何体是 底面为边长等于 2 的正三角形,高为 1 的正三棱柱, ∴它的表面积为 3×2×1+2× ×2 ×
2

=6+2



故选:A. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,是基础题目. 7.圆:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 x﹣y=2 的距离最大值是() A.2 B. C. D.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题.

分析: 先将圆 x +y ﹣ 2x﹣2y+1=0 转化为标准方程: (x﹣1) +(y﹣1) =1,明确圆心和半 径,再求得圆心(1,1)到直线 x﹣y=2 的距离,最大值则在此基础上加上半径长即可. 解答: 解:圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 可化为标准形式: (x﹣1) +(y﹣1) =1, ∴圆心为(1,1) ,半径为 1 圆心(1,1)到直线 x﹣y=2 的距离 , 则所求距离最大为 , 故选 B. 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,当考查圆上的点到直线的距离问题,基本思路 是:先求出圆心到直线的距离,最大值时,再加上半径,最小值时,再减去半径. 8.已知 y=loga(2﹣ax) (a>0 且 a≠1)在上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是() A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将函数 f(x)=loga(2﹣ax)转化为 y=logat,t=2﹣ax,两个基本函数,再利用复 合函数的单调性求解. 解答: 解:令 y=loga ,t=2﹣ax, t (1)若 0<a<1,则函 y=loga ,是减函数, 由题设知 t=2﹣ax 为增函数,需 a<0,故此时无解; (2)若 a>1,则函数 y=loga 是增函数,则 t 为减函数, 需 a>0 且 2﹣a×1>0,可解得 1<a<2 综上可得实数 a 的取值范围是(1,2) . 故 选:B 点评: 本题考查复合函数的单调性,关键是分解为两个基本函数,利用同增异减的结论研 究其单调性,再求参数的范围. 9.已知三个互不重合的平面 α,β,γ,且 α∩β=a ,α∩γ=b,β∩γ=c,给出下列命题: ①若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c; ②若 a∩b=P,则 a∩c=P; ③若 a⊥b,a⊥c,则 α⊥γ; ④若 a∥b,则 a∥c. 其中正确命题个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 平面的基本 性质及推论. 分析: 三个平面两两相交,交线平行或交于一点,故②④正确,当三条交线交于一点时, 若 a⊥b,a⊥c,则 b,c 夹角不确定,若 a⊥b,a⊥c,则 a⊥γ,又 a?α,得到 α⊥γ,得到结 论. 解答: 解:三个平面两两相交,交线平行或交于一点,故②④正确, 当三条交线交于一点时,若 a⊥b,a⊥c,则 b,c 夹角不确定,故①不正确, 若 a⊥b,a⊥c,则 a⊥γ,又 a?α,得到 α⊥γ,故③正确, 综上可知三个命题正确, 故选 C.
t t 2 2 2 2

2

2

2

2

点评: 本题考查平面的基本性质即推论,本题解题的关键是正确理解线面之间的位置关系, 不要漏掉某种位置关系. 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f (x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的解集为() A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞) 考点: 函数单调性的性质;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得(x1﹣x2)<0,函数 f(x)在 R 上是减函数.再根据函数为奇函数,可 得 f(0)=0,故由 f(1﹣x)<0,可得 1﹣x>0,由此求得 x 的范围 解答: 解:不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1) ,即 x1<x2, 即 (x1﹣x2)<0,故函数 f(x)在 R 上是减函数. 再根据函数为奇函数,可得 f(0)=0, 故由 f(1﹣x)<0,可得 1﹣x>0,求得 x<1, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,体现了转化的数学思想,属于基 础题.

11.函数 f(x)=min

,其中 min

,若动直线 y=m 与

函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1、x2、x3,则 x1+x2+x3 的取 值范围是() A.(2,6﹣2 ) B.(2, +1) C.(4,8﹣2 ) D.(0,4﹣2 ) 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)表达式作出函数 f(x)的图象,由图象可求得符合条件的 m 的取值范围, 不妨设 0<x1<x2<2<x3, 通过解方程可用 m 把 x1, x2, x3 分别表示出来, 即可求出得 x1+x2+x3 的取值范围 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如下图所示: 由 ,解得 A(4﹣2 ,2 ﹣2) , ﹣2.

由图象可得,当直线 y=m 与 f(x)图象有三个交点时 m 的范围为:0<m<2 不妨设 0<x1<x2<2<x3, 则由 2 =m 得 x1= ,由|x2﹣2|=2﹣x2=m,

得 x2=2﹣m,由|x3﹣2|=x3﹣2=m, 得 x3=m+2,且 2﹣m>0,m+2>0, ∴x1+x2+x3= +(2﹣m)+(2+m)= +4,

当 m=0 时, 当 m=2

+4 有最小值为 4, +4 有最大 8﹣2 , , )

﹣2 时,

∴x1+x2+x3 的取值范围是(4,8﹣2 故选:C

点评: 本题考查函数与方程的综合运用,以及数形结合思想,综合运用知识分析解决新问 题的能力,属于中档题. 12. 在平面直角坐标系内, 设M (x1, y1) 、 N (x2, y2) 为不同的两点, 直线 l 的方程为 ax+by+c=0, δ= .有四个判断:

①若 δ=1,则过 M、N 两点的直线与直线 l 平行; ②若 δ=﹣1,则直线 l 经过线段 MN 的中点; ③存在实数 δ,使点 N 在直线 l 上; ④若 δ>1,则点 M、N 在直线 l 的同侧,且直线 l 与线段 MN 的延长线相交. 上述判断中,正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件根据直线的一般式方程的特征、点到直线的距离公式,判断各个选项是否正 确,从而得出结论. 解答: 解:若 δ= =1,则 M、N 两点到直线 l 的距离相等,且 M、N 两点在直

线 l 的同一侧, 故有过 M、N 两点的直线与直线 l 平行,故①正确. 若 δ= =﹣1,则 M、N 两点到直线 l 的距离相等,且 M、N 两点在直线 l 的异侧,

故直线 l 经过线段 MN 的中点,故②正确. 由于 ax2+by2+c≠0,故不存在实数 δ,使点 N 在直线 l 上,故③不正确.

若 δ>1,则点 M 到直线的距离大于点 N 到直线 l 的距离,且 M、N 在直线 l 的同侧,故直线 l 与线段 MN 的延长线相交,故④正确, 故选:B. 点评: 本题主要考查直线的一般式方程,点到直线的距离公式,属于基础题. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.点(2,3,4)关于平面 xOz 的对称点为(2,﹣3,4) . 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间向量 及应用. 分析: 横,竖坐标不变,纵坐标变为原来的相反数. 解答: 解:点(2,3,4)关于 xoz 平面的对称点是: (2,﹣3,4) , 故答案为: (2,﹣3,4) . 点评: 本题考查了关于平面的对称点问题,是一道基础题. 14.圆心在直线 2x+y=0 上,且与直线 x+y﹣1=0 切于点(2,﹣1)的圆的方程是(x﹣1) + 2 (y+2) =2. 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题. 分析: 设出圆心坐标,列方程组解之.其中由圆心在直线 2x+y=0 上得出一个方程;再由圆 心到直线 x+y﹣1=0 的距离即半径得出另一个方程. 解答: 解:设圆心坐标为(a,b) , 则 ,
2

解得 a=1,b=﹣2, 所以 r= , 2 2 所以要求圆的方程为(x﹣1) +(y+2) =2. 点评: 本题主要考查方程思想及点到线的距离公式. 和圆 x +y =n 相切,其中 m,n∈N,0<|m
2 2 2

15.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 ﹣n|≤1,若函数 f(x)=m
x+1

﹣n 的零点 x0∈(k,k+1)k∈Z,则 k=0.

考点: 直线与圆的位置关系;函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 根据直线和圆相切知圆心到直线的距离等于半径,得到关于 m 和 n 的一个关系,又 有 m,n∈N,0<|m﹣n|≤1,得到 m 和 n 的值,代入所给的函数式,那么本题就变化为求一个 函数的零点的范围,两边取对数,写出 x 的表示式,根据对数的图象得到范围. 解答: 解:∵直线 ∴圆心到直线的距离是半径 n, 和圆 x +y =n 相切,
2 2 2

∴ ∴2 =2n, ∵m,n∈N,0<|m﹣n|≤1, ∴m=3,n=4, x+1 x+1 ∴函数 f(x)=m ﹣n=3 ﹣4, 要求函数的零点所在的区间, 令 f(x)=0, x+1 即 3 ﹣4=0, x+1 ∴3 =4, 4 ∴x+1=log3 , 4 ∴x=log3 ﹣1 4 ∵log3 ∈(1,2) ∴x∈(0,1) ∴k=0 故答案为:0 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,考查函数的零点,解决本题还要有归纳整理的能力, 本题是一个综合题,运算量不大但是解题时技巧性比较强,是一个好题. 16.对于四面体 ABCD,以下命题中,真命题的序号为①②④(填上所有真命题的序号) ①若 AB=AC,BD=CD,E 为 BC 中点,则平面 AED⊥平面 ABC; ②若 AB⊥CD,BC⊥AD,则 BD⊥AC; ③若所有棱长都相等,则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 2:1; ④若以 A 为端点的三条棱所在直线两两垂直,则 A 在平面 BCD 内的射影为△ BCD 的垂心; ⑤分别作两组相对棱中点的连线,则所得的两条直线异面. 考点: 命题的真假判断与应用;异面直线的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①直接由面面垂直的判定证明平面 AED⊥平面 ABC; ②通过四面体的两组相对棱互相垂直,借助于底面三角形的垂心证明第三对相对棱垂直; ③由二级结论正四面体外接球与内切球与正四面体高的关系得四面体的外接球与内切球的半 径之比为 3:1,从而说明③错误; ④由已知条件证明三角形 BCD 每一个顶点与 A 的射影的连线垂直于对边, 说明 A 在平面 BCD 内的射影为△ BCD 的垂心; ⑤由三角形的中位线平行于底边,说明命题⑤错误. 解答: 解:如图, 对于①,∵AB=AC,BD=CD,E 为 BC 中点, ∴AE⊥BC,DE⊥BC, 又 AE∩ED=E, ∴BC⊥面 AED, ∴面 AED⊥平面 ABC. ∴命题①正确; 对于②,过 A 作底面 BCD 的垂线 AO,垂足为 O, 连结 BO 并延长交 CD 于 F,连结 DO 并延长交 BC 于 E,
m

由线面垂直的判定可以证明 BF⊥CD,DE⊥BC,从而可知 O 为底面三角形的垂心, 连结 CO 并延长交 BD 于 G,则 CG⊥BD,再由线面垂直的判断得到 BD⊥面 ACG,从而得到 BD⊥AC. ∴命题②正确; 对于③,若所有棱长都相等,四面体为正四面体,该四面体的外接球半径是四面体高的四分 之三, 内切球的半径是四面体高的四分之一,∴该四面体的外接球与内切球的半径之比为 3:1. ∴命题③错误; 对于④,若 AB⊥AC⊥AD,过 A 作底面 BCD 的垂线 AO,垂足为 O, 由 AB⊥AC,AB⊥AD,且 AC∩AD=A,得 AB⊥面 ACD,则 AB⊥CD,进一步由线面垂直的 判定证得 CD⊥面 ABO, 则 BO⊥CD,同理可证 CO⊥BD,说明 O 为△ BCD 的垂心.命题④正确; 对于⑤,如图, ∵E、F、G、H 分别为 BC、AC、BD、AD 的中点, ∴HF∥DC,GE∥DC, ∴EFHG 为平面四边形. ∴命题⑤错误. ∴真命题的序号是①②④. 故答案为:①②④.

点评: 本题考查命题的真假判断与应用,综合考查了线面、面面垂直的判断与性质,考查 了学生的空间想象能力,是中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17.已知函数 f(x)= 的定义域为集合 A,函数 g(x)=( ) , (﹣1≤x≤0)
x

的值域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若集合 C={x|a≤x≤2a﹣1},且 C∩B=C,求实数 a 的取值范围.

考点: 集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)要使函数 f(x)= 有意义,则 log2(x﹣1)≥0,利用对数的
x

单调性可得 x 的范围,即可得到其定义域为集合 A;对于函数 g(x)=( ) ,由于﹣1≤x≤0, 利用指数函数的单调性可得 ≤ , 即可得出其值域为集合 B. 利用

交集运算性质可得 A∩B. (2)由于 C∩B=C,可得 C?B.分类讨论:对 C=?与 C≠?,利用集合之间的关系即可得出. 解答: 解: (1)要使函数 f(x)= ∴其定义域为集合 A=. ∴A∩B={2}. (2)∵C∩B=C,∴C?B. 当 2a﹣1<a 时,即 a<1 时,C=?,满足条件; 当 2a﹣1≥a 时,即 a≥1 时,要使 C?B,则 综上可得:a∈ . ,解得 . 有意义,则 log2(x﹣1)≥0,解得 x≥2,

点评: 本题考查了函数的单调性、集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,O 为 AD 中点,M 是棱 PC 上的点,AD=2BC. (1)求证:平面 POB⊥平面 PAD; (2)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA∥平面 BMO.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由已知得四边形 BCDO 为平行四边形,OB⊥AD,从而 BO⊥平面 PAD,由此 能证明平面 POB⊥平面 PAD. (2)连结 AC,交 BO 于 N,连结 MN,由已知得 MN∥PA,由此能证明 PA∥平面 BMO.

解答: (1)证明:∵AD∥BC,BC= AD,O 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDO 为平行四边形,∴CD∥BO. ∵∠ADC=90°,∴∠AOB=90° 即 OB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BO⊥平面 PAD.∵BO?平面 POB,∴平面 POB⊥平面 PAD. (2)证明:连结 AC,交 BO 于 N,连结 MN, ∵AD∥BC,O 为 AD 中点,AD=2BC, ∴N 是 AC 的中点, 又点 M 是棱 PC 的中点,∴MN∥PA, ∵PA?平面 BMO,MN?平面 BMO, ∴PA∥平面 BMO.

点评: 本题考查面面垂直的证明,考查线面平行的证明,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养. 19.如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥ DE, DE=DA=2AF=2. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDE; (Ⅱ)求证:AC∥平面 BEF; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)欲证 AC⊥平面 BDE,只需证明 AC 垂直平面 BDE 中的两条相交直线即可, 因为 AC 与 BD 是正方形 ABCD 的对角线,所以 AC⊥BD,再正 DE 垂直 AC 所在的平面,得 到 AC 垂直 DE,而 BD,DE 是平面 BDE 中的两条相交直线,问题得证.

(Ⅱ)欲证 AC∥平面 BEF,只需证明 AC 平行平面 BEF 中的一条直线即可,利用中位线的性 质证明 OG 平行 DE 且等于 DE 的一半,根据已知 AF 平行 DE 且等于 DE 的一半,所以 OG 与 AF 平行且相等,就可得到 AC 平行 FG,而 FG 为平面 BEF 中的一条直线,问题得证. (Ⅲ)四面体 BDEF 可以看做以△ DEF 为底面,以点 B 为顶点的三棱锥,底面三角形 DEF 的 底边 DE=2,高 DA=2,三棱锥的高为 AB,长度等于 2,再代入三棱锥的体积公式即可. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ADEF,∠ADE=90°, ∴DE⊥平面 ABCD,∴DE⊥AC. ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∴AC⊥平面 BDE (Ⅱ)证明:设 AC∩BD=O,取 BE 中点 G,连接 FG,OG,∵OG 为△ BDE 的中位线 ∴OG ∵AF∥DE,DE=2AF,∴AF OG, ∴四边形 AFGO 是平行四边形, ∴FG∥AO. ∵FG?平面 BEF,AO?平面 BEF, ∴AO∥平面 BEF,即 AC∥平面 BEF. (Ⅲ)∵平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ADEF. ∵AF∥DE,∠ADE=90°,DE=DA=2AF=2, ∴△DEF 的面积为 ∴四面体 BDEF 的体积= , = .

点评: 本题主要考查了在空间几何体中证明线面垂直,线面平行,计算三棱锥的体积,综 合考查了学生的识图能力,空间想象力,计算能力. 20.已知函数 f(3 ﹣2)=x﹣1(x∈) ,函数 g(x)=f(x﹣2)+3. (1)求函数 y=f(x)与 y=g(x)的解析式,并求出 f(x) ,g(x)的定义域; 2 2 (2)设 h(x)= +g(x ) ,试求函数 y=h(x)的最值. 考点: 函数的定义域及其求法;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: (1)设 t=3 ﹣2,于是有 f(t)=log3(t+2)﹣1,求出 t 的范围,把 t 换为 x,可得 f (x)的解析式,进一步可求 g(x)的解析式, 再根据解析式求函数 f(x)与 g(x)的定义域;
x

(2)设 t=log3x,则 h(x)=t +6t+6,这样就把原来的函数变成关于 t 的二次函数,用二次函 数求最值. 解答: 解: (1)设 t=3 ﹣2,∵0≤x≤2,∴﹣1≤3 ﹣2≤7,∴t∈,则 x=log3(t+2) , 于是有 f(t)=log3(t+2)﹣1,t∈ ∴f(x)=log3(x+2)﹣1(x∈) , 根据题意得 g(x)=f(x﹣2)+3=log3x+2 又由﹣1≤x﹣2≤7 得 1≤x≤9 ∴g(x)=log3x+2(x∈)… (2)∵g(x)=log3x+2,x∈ 2 2 ∴要使函数 h(x)= +g(x )有意义, 必须 ∴1≤x≤3, ∴
x x

2

(1≤x≤3) 2 2 设 t=log3x,则 h(x)=t +6t+6=(t+3) ﹣3(0≤t≤1)是上增函数, ∴t=0 时 h(x)min=6,t=1 时 h(x)max=13 ∴函数 y=h(x)的最大值为 13,最小值为 6. 点评: 本题主要考查求函 数的定义域,同时考查求函数的解析式,换元法是解题的关键. 21.已知圆 C 的圆心在坐标原点,且与直线 l1:x﹣y﹣2 =0 相切 (Ⅰ)求直线 l2:4x﹣3y+5=0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长. (Ⅱ)过点 G(1,3)作两条与圆 C 相切的直线,切点分别为 M,N,求直线 MN 的方程 (Ⅲ) 若与直线 l1 垂直的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 P, Q,若∠POQ 为钝角,求直线 l 纵截距的取值范围. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)由直线与圆相交的性质可知, ( ) =r ﹣d ,要求 AB,只要求解圆心到直
2 2 2

线 4x﹣3y+5=0 的距离.即可求直线 l2:4x﹣3y+5=0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长. (Ⅱ)求出圆 C 的方程以及以 G(1,3)为圆心,QM 为半径的圆,利用圆系方程求直线 MN 的方程. 2 2 (Ⅲ)设直线 l 的方程为:y=﹣x+b 联立 x +y =4,设直线 l 与圆的交点 P(x1,y1) ,Q(x2, y2) ,利用△ >0,以及韦达定理,通过∠POQ 为钝角,求出﹣2<b<2,当 与 反向共线

时,直线 y=﹣x+b 过原点,此时 b=0,不满足题意,即可得到结果. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得:圆心(0,0)到直线 l1:x﹣y﹣2 的距离为圆的半径, r= =2,所以圆 C 的标准方程为:x +y =4,… …
2 2

所以圆心到直线 l2 的距离 d=



… ,
2 2

(Ⅱ)因为点 G(1,3) ,所以

所以以 G 点为圆心,线段 GM 长为半径的圆 G 方程: (x﹣1) +(y﹣3) =6 (1) 2 2 又圆 C 方程为:x +y =4 (2) ,由(1)﹣(2)得直线 MN 方程:x+3y﹣4=0 … 2 2 2 2 (Ⅲ)设直线 l 的方程为:y=﹣x+b 联立 x +y =4 得:2x ﹣2bx+b ﹣4=0, 设直线 l 与圆的交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由△ =(﹣2b) ﹣ 8(b ﹣4)>0,得 b <8,x1+x2=b, 因为∠POQ 为钝角,所以 即满足 x1x2+y1y2<0,且 与 , 不是反向共线, (4)
2 2 2

(3)…

又 y1 =﹣x1+b,y2=﹣x2+b 所以 由(3) (4)得 b <4,满足△ >0,即﹣2<b<2,… 当 与 反向共线时,直线 y=﹣x+b 过原点,此时 b=0,不满足题意,
2

故直线 l 纵截距的取值范围是﹣2<b<2,且 b≠0 … 点评: 本题主要考查了直线与圆相交性质的应用,点到直线的距离公式的应用,考查分析 问题解决问题的能力. 22.已知函数 f(x)=loga(ax ﹣(a+1)x+1) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若对任意 x∈ 故 a>( )max,故 a>1;
2 2

②当 0<a<1 时,由 f(x)>0 得,ax ﹣(a+1)x+1<1, 即 a<( )min,故 a≤0;

综上所述,a>1. 点评: 本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题的处理方法,属于基础题.


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