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江苏南京市一中2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题含答案


江苏南京市一中 2016—2017 学年度 高一下学期期末考试数学试题
注意事项:
1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试 卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名和考试号填涂在答题卡上指定的位置. 3.答题时,必须用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上指定的位置,在其他位置作答一 律无效. 4.本卷考试结束后,上交答题卡.

参考公式:
1 锥体的体积公式:V 锥体= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1.直线 y= 3x-2 的倾斜角大小为 . .

2.若数列{an}满足 a1=1,且 an+1=2an,n∈N*,则 a6 的值为 3.直线 3x-4y-12=0 在 x 轴、y 轴上的截距之和为 .

4.在△ABC 中,若 a= 3,b= 2,A=120° ,则 B 的大小为 x-1 5.不等式 <0 的解集为 x+2 .



P

6.函数 f(x)=sinx-cosx 的最大值为



9 7.若函数 y=x+ ,x∈(-2,+∞),则该函数的最小值 x+2 为 .
D A C

8.如图,若正四棱锥 P—ABCD 的底面边长为 2,斜高为 5, 则该正四棱锥的体积为 . .

(第 8 题)

B

π 5 π 2π 9.若 sin(θ+ )= ,θ∈( , ),则 cosθ 的值为 3 13 6 3

10.已知 a,b,c 是三条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,那么下列命题中正确的序 .... 号 . 为 . ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;
-1-

①若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;

③若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b;

④若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β. .

11. 设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和为 Sn. 若 S3, S2, S4 成等差数列, 则实数 q 的值为

12.已知关于 x 的不等式(x-1)(x-2a)>0(a∈R)的解集为 A,集合 B=(2,3).若 B?A,则 a 的取值范围为 . 16λ +19≤3n 对任意 n∈N*都成立, 1+an

13. 已知数列{an}满足 a1=1, 且 an+1-an=2n, n∈N*. 若 则实数 λ 的取值范围为 .

14.若实数 x,y 满足 x>y>0,且

1 8 + =1,则 x+y 的最小值为 x-y x+2y



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 3 π 已知 sinα= ,α∈( ,π). 5 2 π (1)求 sin( -α)的值; 6 (2)求 tan2α 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB,M,N,P 分别为 AB,A1C1,BC 的中点. 求证: (1)C1P∥平面 MNC; (2)平面 MNC⊥平面 ABB1A1.
A1 B1 N C1

A M

C P B (第 16 题)

17. (本小题满分 14 分)
-2-

已知三角形的顶点分别为 A(-1,3),B(3,2),C(1,0). (1)求 BC 边上高的长度; (2)若直线 l 过点 C,且在 l 上不存在到 A,B 两点的距离相等的点,求直线 l 的方程.

18. (本小题满分 16 分) 如图, 在圆内接△ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 满足 acosC+ccosA=2bcosB. (1)求 B 的大小; ⌒ (2)若点 D 是劣弧 AC 上一点,AB=3,BC=2,AD=1,求四边形 ABCD 的面积.
A D

C B (第 18 题)

19. (本小题满分 16 分) 某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画.如图,该电梯的 高 AB 为 4 米,它所占水平地面的长 AC 为 8 米.该广告画最高点 E 到地面的距离为 10.5 米,最低点 D 到地面的距离 6.5 米.假设某人的眼睛到脚底的距离 MN 为 1.5 米,他竖直 站在此电梯上观看 DE 的视角为 θ.
-3-

(1)设此人到直线 EC 的距离为 x 米,试用 x 表示点 M 到地面的距离; (2)此人到直线 EC 的距离为多少米时,视角 θ 最大?

E

D θ M B N

C (第 19 题)

A

20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}, 其中{an}的公差不为 0. 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和. 若 a1,a2,a5 是数列{bn}的前 3 项,且 S4=16. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; 4Sn-1 (2)若数列{ }为等差数列,求实数 t; an+t (3)构造数列 a1,b1,a2,b1,b2,a3,b1,b2,b3,?,ak,b1,b2,?,bk,?.若该 数列前 n 项和 Tn=1821,求 n 的值.

-4-

参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续 部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.60° 6. 2 11.-2 2.32 7.4 12.(-∞,1] 3.1 8 8. 3 4.45° 5 3-12 9. 26 5.(-2,1) 10.③④

25 13.(-∞,-8] 14. 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3 π 15.解: (1)因为 sinα= ,α∈( ,π), 5 2 4 所以 cosα=- 1-sin2α=- , 5 π π π 所以 sin( -α)=sin cosα-cos sinα 6 6 6 4+3 3 1 4 3 3 = ×(- )- × =- . 2 5 2 5 10 sinα 3 (2)因为 tanα= =- , cosα 4 2tanα 所以 tan2α= 1-tan2α 3 2×(- ) 4 24 = =- . 3 7 1-(- )2 4 16.证明: (1)方法 1 连结 MP. ???????3 分 ???????5 分 ???????7 分 ???????9 分

???????12 分

???????14 分

-5-

因为 M,P 分别是 AB,BC 的中点, 1 所以 MP∥ =2AC.
A1

N

C1

???????2 分
B1

又因为在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∥A1C1,且 N 是 A1C1 的中点, AC= 所以 MP∥ =C1N, 所以四边形 MPC1N 是平行四边形, 所以 C1P∥MN. ???????4 分
A M P B (第 16 题) C

又因为 C1P?平面 MNC,MN?平面 MNC, 所以 C1P∥平面 MNC. 方法 2 连结 AC1,与 CN 交于点 D,连结 AP,与 CM 交于点 E,连结 DE. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥A1C1, 所以∠ACD=∠C1ND. 又因为∠ADC=∠C1DN,所以△ACD∽△C1ND. AD AC 又因为 N 为 A1C1 的中点,所以 = =2. DC1 NC1 ?????2 分 在△ABC 中,E 为中线 AP,CM 的交点, AE 所以 E 为△ABC 的重心,所以 =2, EP 所以 AD AE AD AE = ,所以 = , DC1 EP AC1 AP
A M E P C A1 B1 N C1

???????6 分

D

B (第 16 题)

所以 DE∥C1P. 又因为 C1P?平面 MNC,DE?平面 MNC, 所以 C1P∥平面 MNC. (2)在△ABC 中,因为 CA=CB,M 是 AB 的中点, 所以 CM⊥AB. 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1B⊥平面 ABC, 因为 CM?平面 ABC,所以 B1B⊥CM. 又因为 B1B∩AB=B,B1B,AB?平面 ABB1A1, 所以 CM⊥平面 ABB1A1,
-6-

???????4 分

???????6 分

???????8 分

???????10 分

???????12 分

又 CM?平面 MNC, 所以平面 MNC⊥平面 ABB1A1. 2-0 17.解: (1)因为 kBC= =1, 3-1 所以直线 BC 的方程是 y=x-1,即 x-y-1=0. 所以 A 到直线 BC 的距离为 d= 5 2 即 BC 边上高的长度为 . 2 (2)方法 1 ①若直线 l 的斜率不存在,则 l 的方程为 x=1. 假设 l 上存在一点 P(1,y0)到 A,B 两点的距离相等, 所以 AP=BP,即 [1-(-1)]2+(y0-3)2= (1-3)2+(y0-2)2, 5 5 解得 y0= ,即存在点 P(1, )到 A,B 两点的距离相等, 2 2 所以此时直线 l 不符合题意. ②若直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x-1). 假设 l 上存在一点 P(x0,k(x0-1))到 A,B 两点的距离相等, 所以 AP=BP, 即 [ x0-(-1)]2+[k(x0-1)-3]2= (x0-3)2+[k(x0-1)-2]2, ???????10 分 化简得(8-2k) x0-3+2k=0,(*) (Ⅰ)若 k=4,该方程(*)无解,即不存在点 P 到 A,B 两点的距离相等, 所以此时直线 l 符合题意. 此时直线 l 的方程为 y=4(x-1),即 y=4x-4. ??????12 分 2k-3 2k-3 5k (Ⅱ)若 k≠4,则 x0= ,即点 P( , ), 2k-8 2k-8 2k-8 所以此时直线 l 不符合题意. 综上,直线 l 的方程为 y=4x-4. 方法 2 kAB= 3-2 1 =- . 4 -1-3 ???????8 分 ???????14 分 ???????8 分 |-1-3-1|
2

???????14 分 ???????2 分 ???????4 分

5 2 = , 2 1 +(-1)
2

???????6 分

因为 l 上不存在点到 A,B 两点的距离相等,所以 l⊥AB,?????10 分 所以 kl=4,
-7-

???????12 分

所以直线 l 的方程为 y=4(x-1),即 y=4x-4. 18.解: (1)方法 1

???????14 分

设外接圆的半径为 R,则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入得 2RsinAcosC+2RsinCcosA=2×2RsinBcosB, ???????2 分

即 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,所以 sinB=2sinBcosB. 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0, 1 所以 cosB= . 2 π 因为 0<B<π,所以 B= . 3 方法 2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 根据余弦定理,得 a· +c· =2b·cosB, ?????2 分 2ab 2bc 1 化简得 cosB= . 2 π 因为 0<B<π,所以 B= . 3 (2)在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC 1 =9+4-2×3×2× =7, 2 所以 AC= 7. 2π 因为 A,B,C,D 四点共圆,所以∠ADC= . 3 ???????8 分 ???????10 分 ???????4 分 ???????6 分 ???????4 分 ???????6 分

在△ACD 中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD cos∠ADC, 1 代入得 7=1+CD2-2·CD·(- ), 2 所以 CD2+CD-6=0, 解得 CD=2 或 CD=-3(舍) . 所以 SABCD=S△ABC+S△ACD 1 1 = AB·BC sin∠ABC+ AD·CD sin∠ADC 2 2 1 3 1 3 = ×3×2× + ×1×2× =2 3. 2 2 2 2 ???????16 分 ???????14 分

19.解: (1)作 MG⊥CE 交于点 G,作 NH⊥AC 交于 H,则 CH=GM=x. 1 在 Rt△BAC 中,因为 AB=4,AC=8,所以 tan∠BCA= , 2

-8-

x 所以 NH=CH·tan∠BCA= , 2 3+x 所以 MH=MN+NH= . 2 (2)因为 MH=GC, x 所以 DG=DC-GC=DC-MH=5- , 2 x EG=EC-GC=EC-MH=9- . 2 x 5- 2 DG 在 Rt△DGM 中,tan∠DMG= = , GM x x 9- 2 EG 在 Rt△EGM 中,tan∠EMG= = , GM x ?????4 分

???????2 分
E

D θ G M B N

C (第 19 题)

H

A

???????6 分 所以 tanθ=tan∠EMD=tan(∠EMG-∠DMG) x x 9- 5- 2 2 - x x tan∠EMG-tan∠DMG = = x x 1+tan∠EMG·tan∠DMG 9- 5- 2 2 1+ · x x 16x = 2 5x -28x+180 = (0<x≤8) . 180 5x-28+ x 5x· 180 -28=32, x 16

???????10 分

180 180 由 x>0,得 5x>0, >0,所以 5x-28+ ≥2 x x 16 1 所以 tanθ= ≤ . 180 2 5x-28+ x

???????12 分

180 当且仅当 5x= ,即 x=6 时取“=” ,且 6∈(0,8]. x π 因为 y=tanθ 在区间(0, )上是单调增函数, 2

????14 分

1 所以当 x=6 米时,tanθ 取最大值 ,此时视角 θ 取最大值.????15 分 2 答:此人到直线 EC 的距离为 6 米时,视角 θ 最大. 20.解: (1)设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1,a2,a5 是数列{bn}的前 3 项,且 S4=16,
-9-

????16 分

? ?(a1+d) =a1(a1+4d), 4×3 所以? 4a1+ d=16, ? 2 ?
?a1=1 因为 d≠0,所以解得? . ?d=2

2

所以,an=a1+(n-1)d=2n-1. 又 b1=a1=1,b2=a2=3,故数列{bn}的公比 q=3, 所以 bn=b1qn-1=3n-1. (2)方法 1 由(1)可知 Sn=n2.

???????2 分

???????4 分

4Sn-1 4Sn-1 因为数列{ }是等差数列,所以可设 =an+b,其中 a,b∈R, an+t an+t 所以 4n2-1=(2n-1+t)(an+b)对任意 n∈N*都成立, ????6 分

即(2a-4)n2+(at-a+2b)n+b(t-1)+1=0 对任意 n∈N*都成立. 不妨设 A=2a-4,B=at-a+2b,C=b(t-1)+1, 则 An2+Bn+C=0 对任意 n∈N*都成立. 取 n=1,2,3,联立方程组可得

? ?A+B+C=0, ?4A+2B+C=0,解得 A=B=C=0, ?9A+3B+C=0, ? ? ?2a-4=0, 即?at-a+2b=0, ?b(t-1)+1=0, ?
解得 t=0 或 t=2. 4Sn-1 令 cn= , an+t 4Sn-1 ①当 t=0,cn= =2n+1. an+0 因为 cn+1-cn=2,所以{cn}是等差数列. 4Sn-1 ②当 t=2,cn= =2n-1. an+2 因为 cn+1-cn=2,所以{cn}是等差数列. 综上,实数 t 为 0 或 2. 方法 2 由(1)可知 Sn=n2.
- 10 -

???????8 分

???????10 分

4Sn-1 因为数列{ }是等差数列, an+t 4S1-1 4S2-1 4S3-1 所以 , , 成等差数列, a1+t a2+t a3+t ??????6 分

4S2-1 4S1-1 4S3-1 15 3 35 所以 2× = + ,即 2× = + , a2+t a1+t a3+t 3+t 1+t 5+t 解得 t=0 或 t=2. 4Sn-1 令 cn= , an+t 4Sn-1 ①当 t=0,cn= =2n+1. an+0 因为 cn+1-cn=2,所以{cn}是等差数列. 4Sn-1 ②当 t=2,cn= =2n-1. an+2 因为 cn+1-cn=2,所以{cn}是等差数列. 综上,实数 t 为 0 或 2. (3)设从 a1 到 ak 各项的和为 S, S=a1+a2+?+ak+[b1+(b1+b2)+?+(b1+b2+?+bk-1)]. 因为 b1+b2+?bk-1=1+3+?+3k-2= 1-3k-1 1 k-1 = (3 -1), 2 1-3 ???????10 分 ???????8 分

1 所以 S=k2+ ×(1+3+32+?+3k-1-k) 2 1 3k-1 k 3k -1 =k2+ ×( -k)=k2- + . 2 2 2 4 当 k=8 时,S=1700<1821. 当 k=9 时,S=4997>1821. 故 Tn-1700=1821-1700=121, 1 所以 1+3+32+?+3m-1= (3m-1)=121,即 3m=243, 2 解得 m=5, 所以 n=8+(1+2+?+7)+5=41. ???????16 分 ???????14 分 ???????12 分

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