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高中数学必修5(北师版)第一章数列1.6(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 数列 1.6 求数列的前n项和(补充)

一、知识清单
倒序相加法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法

二、知识讲解
1.倒序相加法 描述: 倒序相加法求和 如果一个数列 {an },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写和的两个和式 相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法.以等差数列为例,若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,公差为 d ,则

{ S n = a1 + a2 + ? + an?1 + an S n = an + an?1 + ? + a2 + a1 ,
两式等号两边分别相加得

2S n = (a1 + an ) + (a2 + an?1 ) + ? + (an + a1 ).
由等差数列的性质得 a1 + an = a2 + an?1 = a3 + an?2 = ? = an + a1 ,所以有 S n = 例题: 设 f (x) =

n(a1 + an ) . 2

x2 ,求 x2 + 1 1 1 1 1 . f( )+f( ) + ? + f ( ) + f ( ) + f (2) + f (3) + ? + f (2013) + f (2014) 2014 2013 3 2 1 2 ( ) x 1 1 x2 解:因为 f (x) = ,所以 f ( ) = .故 = 2 +1 2 x x2 + 1 x 1 ( ) +1 x 1 f (x) + f ( ) = 1. x
因此

f(

1 1 1 1 )+f( ) + ? + f ( ) + f ( ) + f (2) + f (3) + ? + f (2013) + f (2014) = 2013 × 1 = 2013. 2014 2013 3 2

2.错位相减法 描述: 错位相减法 错位相减法是一种常用的数列求和的方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.若数列 {c n }

的通

{

}

{

}

q≠1

项公式 c n = an ? b n ,其中,{an } 是公差为 d 的等差数列,{b n } 是公比为 q (q ≠ 1 ) 的等比数列,我们 可以用错位相减法求 {c n } 的前 n 项和 S n .

{ Sn qS n

= a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 + ? + an b n ? ① = a1 b 2 + a2 b 3 + ? + an?1 b n + an b n+1 ? ②

,得(1 ? q)S n = a1 b 1 + d(b 2 + b 3 + ? + b n ) ? an b n+1 ,化简求出 S n 即可. ①?② 例题: 求和 S n = x + 2x 2 + 3x3 + ? + nx n . 解:当 x = 0 时,S n = 0; 当 x = 1 时,S n = 1 + 2 + ? + n = 当 x ≠ 0 且 x ≠ 1 时,

n(n + 1) ; 2

{ Sn xS n
,得 ①?②

= x + 2x2 + 3x3 + ? + (n ? 1)xn?1 + nxn ? ① = x2 + 2x3 + 3x4 + ? + (n ? 1)xn + nxn+1 ? ②

(1 ? x)S n = x + x2 + x3 + ? + xn ? nxn+1 x(1 ? xn ) = ? nxn+1 1?x
所以

Sn =
已知数列{an }的前 n 项和为 S n ,S n =

x ? (n + 1)xn+1 + nxn+2 (1 ? x)2

.

(1)求 a1 ,a2 ; (2)求数列{an }的通项公式; (3)b n = n ,令 c n = an b n ,求数列{c n }的前 n 项和. 解:(1)因为 S n =

1 (an ? 1)(n ∈ N + ): 3

1 (an ? 1) ,令 n = 1,则 3

a1 = S 1 =
所以 a1 = ? 令 n = 2,则

1 (a1 ? 1), 3

1 . 2 a1 + a2 = S 2 = 1 (a2 ? 1), 3

1 . 4 (2)当 n ? 2 时,
所以 a2 =

an = S n ? S n?1 =
整理得

1 1 1 (an ? 1) ? (an?1 ? 1) = (an ? an?1 ), 3 3 3 1 an = ? (n ? 2), 2 an?1

所以数列{an }为等比数列,首项 a1 = ?

1 1 ,公比 q = ? ,故 2 2 1 1 n?1 1 n × (? ) = (? ) . 2 2 2

an = ?

(3)设数列 {c n } 的前 n 项和为 Tn ,因为 c n = an b n = n ? (?

? ? ? ? Tn ? ? 1 ? ? ? Tn ? 2

1 ) ,所以 2

n

2 n?1 n 1 1 1 1 ) + 2 ? (? ) + ? + (n ? 1) ? (? ) + n ? (? ) ? ① 2 2 2 2 2 3 n n+1 1 1 1 1 = 1 ? (? ) + 2 ? (? ) + ? + (n ? 1) ? (? ) + n ? (? ) ?② 2 2 2 2

= 1 ? (?

得 ①?②
2 3 n n+1 3 1 1 1 1 1 Tn = (? ) + (? ) + (? ) + ? + (? ) ? n ? (? ) 2 2 2 2 2 2

? =

1 ) 2 1 n (3n + 2)(? ) ? 2 2 = 6 1 ? (?
所以

n 1 1 [1 ? (? ) ] 2 2

? n ? (?

1 n+1 ) 2

Tn =

(3n + 2) (? 9

1 n ) ?2 2

.

3.裂项相消法 描述: 有一类数列的求和,将数列 {an } 的通项 an 分裂成两项或几项的差的形式,使之在求和时相邻项相消或隔项 相消,从而达到求和的目的,这种方法通常称为裂项相消法 . 裂项相消法通常适用于下列类型: 1. 若 {an } 是公差为 d 的等差数列,则有

2.

1 1 1 = ?( a1 a2 ? ak a1 a2 ? ak?1 (k ? 1)d 1 ? ? ? ? ? = √n + 1 ? √n . ? ? ? ? √? n + 1 + √n

1 1 1 1 = ( ? ); d an an an+1 an+1 1 ? ). a2 a3 ? ak

例题: 等差数列 {an } 中,a7 = 4 ,a19 = 2a9 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 b n =

1 ,求数列 {b n } 的前项和 S n . nan 解:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,因为 a7 = 4 ,a19 = 2a9 ,所以 + 6d = 4, { a1 a1 + 18d = 2(a1 + 8d).
解方程组,得

? a1 = 1, ? ?d = 1 . 2

所以数列 {an } 的通项公式为

an =

n+1 . 2

(2)因为 b n =

1 2 1 1 = = 2( ? ),所以 nan n n+1 n(n + 1) S n = 2 [(1 ? 1 1 1 1 1 1 1 )+ ( ? )+ ( ? )+?+ ( ? )] 2 2 3 3 4 n n+1 1 = 2 (1 ? ) n+1 2n = . n+1

4.分组求和法 描述: 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列的通项适当拆分,可以得到几个等差、等比或 其他常见数列,然后分别求和,再将各类拆分所得的子数列的和相加得到原数列的和,这种方法叫做分组求和 法. 例题: 在等比数列 {an } 中,an > 0(n ∈ N + ) ,且 a1 a3 = 4 ,a3 + 1 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {b n } 满足 b n = an+1 + log2 an (n = 1, 2, 3 ?),求数列 {b n } 的前 n 项和 S n . 解:(1)设等比数列的公比为 q ,由 a1 a3 = 4 ,可得 (a2 )2 = 4,因为 an > 0,所以 a2 = 2 . 又因为 a3 + 1 是 a2 和 a4 的等差中项,所以

a2 + a4 = 2(a3 + 1),
整理得

a4 = 2a3 ,
所以 q = 2 .故数列 {an } 的通项公式为

an = 2 n?1 .
(2)因为 b n = an+1 + log2 an = 2 n + n ? 1 ,所以

S n = (2 + 2 2 + 2 3 + ? + 2 n ) + [1 + 2 + 3 + ? + (n ? 1)] 2(1 ? 2 n ) (n ? 1)(1 + n ? 1) = + 1?2 2 n ( n ? 1) = 2 n+1 ? 2 + . 2

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