当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5新教学案:2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)


必修 5

2.1 数列的概念与简单表示法(学案)
(第 2 课时)

【知识要点】 1. 数列的递推公式; 2. 数列的函数性质. 【学习要求】 1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式 写出数列的前几项;理解数列的前 n 项和与 an 的关系 2. 进一步理解数列的函数性质 .
<

br />【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 30 页~第 31 页) 1. 数列的函数性质 数列是一种特殊的函数, 数列可以看成以 当自变量从小到大依次取值时对应的一列___ 2.数列的递推公式 如果已知数列 为定义域的函数 an ? f (n) , ;其图象为: .

?an ?的首项或前几项,且任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前几项)间
之间的关系;而递推公式间接反映项 an 与项数 n 之 项之间的推导关系.

的关系可用一个 表示,那么这个公式叫作数列的递推公式. (1) 利用递推公式可以给出数列; (2)通项公式直接反映 间的关系,它是 【基础练习】 1. 数列 1,3,6,10,15,? ? ? ? ? ? 的递推公式是( ). (A) an?1 (C) an?1 (D)

? an ? n, n ? N * (B) an ? an?1 ? n, n ? N * , n ? 2
? an ? n ? 1, n ? N * , n ? 2

an ? an?1 ? n ? 1, n ? N * , n ? 2

2. 设数列 为 3.已知 .

?an ? 满足 a

1

? 0 , an?1 ? an ? (2n ? 1)

( n ? N ) ,则该数列的前 5 项
*

f (1) ? 2, f (n ? 1) ?

f ( n) ? 1 (n ? N * ) ,则 f (3) ? 2
1

.

【典型例题】 类型一 数列的单调性及最大(小)项 例 1 已知数列 出它的最大项. 解:? an 又? an

?an ?的通项公式 an ? n(14 ? n) ,考察这个数列的单调性,并求

? an?1 ? ?2n ? 15 ,? 当 1 ? n ? 7 时递增,当 7 ? n 时递减;

? ?(n ? 7)2 ? 49 ? 当 n ? 7 时,最大项为 an ? 49 .
? an?1 的符号,这与判断函数

【方法点评】 (1)要判断数列的单调性,只需判断 an

单调性相似, (2)在解题中注意函数的思想方法的渗透及应用. 【变式练习】在数列

?an ?中,a

n

? (1 ? n)(

10 n ) (n ? N ? ) ,试问数列 11

?an ?有没有最

大项?如果有,求出最大项;如果没有说明理由.

10 (n ? 1)( ) n a 11 ? 1, 得 n ? 1 ? 11 , 解得 n ? 10 . 解:令 n ? 1(n ? 2), 即 10 n 10 a n?1 n( ) n 11 10 (n ? 1)( ) n an n ? 1 10 11 ? , 解得 n ? 9. 且 a9 ? a10 . 令 ? 1, 得 ? 1, 即 10 n ?1 n ? 2 11 a n ?1 (n ? 2)( ) 11
故从第 1 项到第 9 项递增,从第 10 项递减;最大项为 a9 ? a10 . 类型二 根据数列的递推公式求数列的通项公式 例 2 (1) 已知数列 的前 6 项,并猜想出数列 (2)已知数列 写出数列

?an ?满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an?1 ? 2an ,写出数列

?an ?的一个通项公式.

?an ?满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2) , ?an ?满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? 3(n ? 2) .

?an ?的一个通项公式.
? 3n ? 2
1 ? an (n ? N ? ), 则(1) 1 ? an

(3) (2006 年全国变式)已知数列 ①求 a2 , a3 ; ②证明 an 类型三 数列的周期性

例 3.(2008 广州变式) 已知数列{ an }满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

写出数列的前 5 项; (2)猜想该数列的规律,并求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a2007 的值.

2

【变式练习】 (江苏) 已知数列 { an } 中,a1 ? b, (b ? 0), a n ?1 ? ? 能使 an ? b 的 n 的值 ? (A)14

1 (n ? 1,2,3,? ? ?) , an ? 1

?

(B)15 (C)16 (D)17.

1. 已知数列

?an ?中 1,1,2,3,5,8,13, x ,34,53,…,的递推公式是 ? ? .
(B) a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? 2) (D) a1 ? 1, an?1 ? 2an ? an?1 (n ? 1) .
1

(A) a1 ? 1, a2 ? 1, an?1 ? an ? an?1 (n ? 2) (C) a1 ? 1, an?1 ? an ? an?1 (n ? 1) 2.(2008 年江西)在数列 (A) 2 ? ln n 3. 已知数列

?an ?中, a

1 ? 2, a n ?1 ? a n ? ln(1 ? )( n ? 2) ,则 an ? ? n
(C) 2 ? n ln n

?

(B) 2 ? (n ? 1) ln n
n

(D) 1 ? n ? ln n

?an ?的一个通项公式为 a

?

(1)画出数列

?an ?的图象; an ?的单调性. (2)判断数列 ?

1 2 (n ? 8n ? 30 ) (n∈N*) 4

4. 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) a1 =3, a n ?1 =3 an -2 (n∈N).

(2)

a1 ? 1, an ? an?1 ?

1 (n ? 2) . n(n ? 1)

(3) a1 =1, a n ?1 =

2a n (n∈N); an ? 2
2x 1? x

5.数列{ an }中, a1 ? a ? 0, an?1 ? f (an ) (n∈N*)其中 f(x)= (1)求 a 2 , a3 , a 4 。 (2)猜想数列{ an }的一个通项公式 an .

3

1. (湖南)已知数列{ an }中, a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? 1,2,3,? ? ?) ,则 a 20 的值 ? ?

(A)0 (B) ? 3 (C)

3 (D)

3 . 2

2.(2007 年 浙 江 ) 已 知 数 列 { an } 中 的 相 邻 两 项 a2 k ?1 , a2 k 是 关 于 x 的 方 程

x 2 ? (3k ? 2 k ) x ? 3k ? 2 k ? 0 的两根,且 a2k ?1 ? a2k (k ? 1,2,3,? ? ?) ,求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a 2 n
(不必证明).

4

必修 5

2.1 数列的概念与简单表示法(教案)
(第 2 课时)

【教学目标】 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;理解递推公式是给出数列 的一种方法. 2. 进一步理解数列的函数性质 . 【重点】 1. 了解数列的递推公式,理解递推公式是给出数列的一种方法. 2.进一步理解数列的函数性质 . 【难点】 1. 利用数列的递推公式,会求简单数列的通项公式; 2. 进一步理解数列的函数性质 .

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 28 页~第 30 页) 1. 数列的函数性质 数列是一种特殊的函数,数列可以看成以正整数集或它的有限子集为定义域的函数

an ? f (n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列 _函数值;其图象为:一系列孤立的
点. 2.数列的递推公式 如果已知数列

?an ?的首项或前几项,且任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前几项)间

的关系可用一个公式表示,那么这个公式叫作数列的递推公式. (1)利用递推公式可以给出数列; (2)通项公式直接反映项 an 与项数 n 之间的关系;而递推公式间接反映项 an 与项 数 n 之间的关系,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系. 【基础练习】 1. 数列 1,3,6,10,15,? ? ? ? ? ? 的递推公式是(B ). (A) an?1 (C) an?1 (D)

? an ? n, n ? N * (B) an ? an?1 ? n, n ? N * , n ? 2
? an ? n ? 1, n ? N * , n ? 2

an ? an?1 ? n ? 1, n ? N * , n ? 2

2. 设数列

?an ?满足 a

1

? 0 , an?1 ? an ? (2n ? 1)

( n ? N ),则该数列的前 5 项为
*

0,1,4,9,16 .
5

3.已知

f (1) ? 2, f (n ? 1) ?

f ( n) ? 1 (n ? N * ) ,则 f (3) ? 2

5 4

.

【典型例题】 类型一 数列的单调性及最大(小)项 例 1 已知数列

?an ?的通项公式 an ? n(14 ? n) ,考察这个数列的单调性,并求

出它的最大项. 【审题要津】数列是一种特殊的函数,可利用函数的性质研究数列的单调性,并求它 的最大项. 解:? an

? an?1 ? ?2n ? 15(n ? 2) ,

? 当 1 ? n ? 7 时 , an 递增,当 7 ? n 时 , an 递减;
又? an

? ?(n ? 7)2 ? 49

? 当 n ? 7 时,最大项为 an ? 49 .
【方法点评】 (1)要判断数列的单调性,只需判断 an

? an?1 的符号,这与判断函数

单调性相似;(2)在解题中注意函数的思想方法的渗透及应用. 【变式练习】在数列

?an ?中,a

n

? (1 ? n)(

10 n ) (n ? N ? ) ,试问数列 11
n

?an ?有没有最

大项?如果有,求出最大项;如果没有说明理由.

an 解:令 an?1

? 10 ? (n ? 1)? ? ? 11 ? ? 1. ? 1?n ? 2? ,即 n ? 10 ? n? ? ? 11 ?

整理得

n ? 1 11 ? , 解得 n ? 10 . n 10



an an?1

? 10 ? (n ? 1)? ? ? 11 ? ? 1, ? 1, ,即 n ?1 ? 10 ? (n ? 2)? ? ? 11 ?

n

整理得

n ? 1 11 ? , 解得 n ? 9. n ? 2 10
n

? 10 ? ? a9 ? a10 ? 11? ? ? , ? 11 ?
6

故从第 1 项到第 9 项递增,从第 10 项起递减;最大项为 a9 ? a10 ? 11? ? 类型二 根据数列的递推公式求数列的通项公式 例 2 (1) 已知数列 的前 6 项,并猜想出数列 (2)已知数列 写出数列

? 10 ? ? . ? 11 ?

n

?an ?满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an?1 ? 2an ,写出数列

?an ?的一个通项公式.

?an ?满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2) , ?an ?满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? 3(n ? 2) .

?an ?的一个通项公式.
? 3n ? 2 .

(3) (2006 年全国变式)已知数列 ①求 a2 , a3 ; ②证明 an

【审题要津】由递推公式写出数列的前几项,再对前几项进行分析、变形、归纳、猜 想出数列

?an ?的一个通项公式;或通过递推公式寻找相邻项间的关系,通过连续相加
? 2n?1.

得出通项 an 的公式. 解: (1)易得数列的前 6 项为: 1,2,4,8,16,32. 猜想 an (2)? a1

? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2)

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)n(n ? 1)
相减得 nan

? 3n(n ? 1) ? an ? 3(n ? 1)
? 1, an ? an?1 ? 3(n ? 2)

(3)①? a1

? a2 ? 4, a3 ? 7
②(累加法)? a1

? 1,a 2 ?a1 ? 3, a3 ? a2 ? 3,? ? ?, an ?a n?1? 3

?

左边相加得 an

? 3n ? 2

【方法点评】递推公式也是产生数列的办法,利用递推公式写出数列的前几项,再 进行分析、变形、归纳、猜想出数列

?an ?的一个通项公式;或通过递推公式寻找相邻

项间的关系,通过连续相加(减)或乘(除)等处理得出通项 an 的公式如:对形如

an?1 ? an ? f (n) 的递推公式,可采用累加法求得.
7

类型三 数列的周期性 例 3.(2008 广州变式) 已知数列{ an }满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

1 ? an (n ? N ? ), 则(1)写 1 ? an

出数列的前 5 项; (2)猜想该数列的规律,并求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a2007 的值. 【审题要津】由递推公式写出数列的前几项,再对前几项进行分析、变形、归纳、猜想 出数列

?an ?的一个通项公式;周期性是某类函数的性质,可通过对特殊项的观察、分析、
1 1 , ,2; 2 3

总结、猜想等办法发现规律. 解: (1)写出数列的前 5 项为: 2,?3,?

(2)可以看出该数列每隔 4 项,各项的值重复出现一次,可见该数列作为函数具有周 期性,周期为 4,且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 , 故 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a2007 ? 规律证明:

?a1a2 a 3 a4 ?502
a2008

? 3.

? a n?1 ?

1 ? an 1 ?? , 1 ? an an
1 an ?2 ?1 ? an , 1 ? an

? an?4 ? ?

1 an ?2

?

?1 ? an , 1 ? an

? an?4 ? ?

?

故数列

?an ?为周期数列.
1 (n ? 1,2,3,? ? ?) , an ? 1

【方法点评】周期性是函数的重要性质,可通过从特殊观察、总结到定义证明的渐近过 程. 【变式练习】 (江苏)已知数列{ an }中,a1 ? b, (b ? 0), a n ?1 ? ? 能使 an ? b 的 n 的值 ?C ? (A)14 (B)15 (C)16 (D)17.

1. 已知数列

?an ?中 1,1,2,3,5,8,13, x ,34,53,…,的递推公式是 ? A? .
8

(A) a1 ? 1, a2 ? 1, an?1 ? an ? an?1 (n ? 2) (C) a1 ? 1, an?1 ? an ? an?1 (n ? 1) 2.(2008 年江西)在数列 (A) 2 ? ln n 3. 已知数列

(B) a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? 2) (D) a1 ? 1, an?1 ? 2an ? an?1 (n ? 1) .

?an ?中, a

1

1 ? 2, a n ?1 ? a n ? ln(1 ? )( n ? 2) ,则 an ? ? A? n
(C) 2 ? n ln n (D) 1 ? n ? ln n

(B) 2 ? (n ? 1) ln n
n

?an ?的一个通项公式为 a

?

(1) 画出数列 解: (1)

?an ?的图象; an ?的单调性. (2)判断数列 ?

1 2 (n ? 8n ? 30 ) (n∈N*) 4

(2)? a n ?

1 2 1 (n ? 8n ? 30) ? n ? 2, a n ?1 ? (( n ? 1) 2 ? 8(n ? 1) ? 30) . 4 4 1 ? a n ? a n ?1 ? (2n ? 9) ? n ? 4, an ? an?1 ? 0; n ? 5, an ?a n?1 ? 0 . 4

故当 n ? 4 时,数列

?an ?递减;当 n ? 5 时,数列 ?an ?递增.

4. 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) a1 =3, a n ?1 =3 an -2 (n∈N).

(2)

a1 ? 1, an ? an?1 ?

1 (n ? 2) . n(n ? 1)

(3) a1 =1, a n ?1 =

2a n (n∈N); an ? 2

解:(1) 它的前五项为: 3,7,19,55,173. 猜想数列{ an }的一个通项公式 an ? 2 ? 3n?1 ? 1 . (2)它的前五项为: 1,

3 5 7 9 , , , .; 2 3 4 5
9

猜想数列{ an }的一个通项公式 a n ? (3) 它的前五项为: 1,

2n ? 1 . n

2 1 2 1 , , , . 3 2 5 3
2 . n ?1
2x 1? x

猜想数列{ an }的一个通项公式 a n ?

5.数列{ an }中, a1 ? a ? 0, an?1 ? f (an ) (n∈N*)其中 f(x)= (1)求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)猜想数列{ an }的一个通项公式 an . 解: (1) a 2 ?

2a 4a 8a , a3 ? , a4 ? . a ?1 3a ? 1 7a ? 1

(2)猜想数列{ an }的一个通项公式 a n ?

2n a . (2 n ? 1)a ? 1

1. (湖南)已知数列{ an }中, a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? 1,2,3,? ? ?) ,则 a 20 的值 ?B ?

(A)0 (B) ? 3 (C)

3 (D)

3 . 2

2.(2007 年 浙 江 ) 已 知 数 列 { an } 中 的 相 邻 两 项 a2 k ?1 , a2 k 是 关 于 x 的 方 程

x 2 ? (3k ? 2 k ) x ? 3k ? 2 k ? 0 的两根,且 a2k ?1 ? a2k (k ? 1,2,3,? ? ?) ,求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a 2 n
(不必证明). 解:方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? 3k , x2 ? 2 .
2 k k k

当 k ? 1 时, x1 ? 3, x2 ? 2, 所以 a1 ? 2; 当 k ? 2 时, x1 ? 6, x2 ? 4, 所以 a3 ? 4; 当 k ? 3 时, x1 ? 9, x2 ? 8, 所以 a5 ? 8; 当 k ? 4 时, x1 ? 12, x2 ? 16, 所以 a7 ? 12;
n n 因为当 n ? 4 时, 2 ? 3n; 所以 a2n ? 2 (n ? 4).

10


相关文章:
高中数学必修5新教学案:2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)
高中数学必修5新教学案:2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)_数学_高中教育_教育专区。必修 5 【学习目标】 2.1 数列的概念与简单表示法(学案)(第 1 课时...
高中数学(人教版必修5)配套练习:2.1 数列的概念与简单表示法
高中数学(人教版必修5)配套练习:2.1 数列的概念与简单表示法_数学_高中教育_教育专区。高中数学(人教版必修5)配套练习:2.1 数列的概念与简单表示法第...
(人教A版)数学必修五 :2-1-2《数列的概念与简单表示法(二)》教案(含答案)
(人教A版)数学必修五 :2-1-2《数列的概念与简单表示法(二)教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)? 从容...
最新人教A版必修5高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)教案(精品)
最新人教A版必修5高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)教案(精品)...二 、教学重点、难点: 重点:数列及其有关概念通项公式及其应用 难点:根据一些...
最新人教A版必修5高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)学案(精品)
最新人教A版必修5高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)学案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.1 数列的概念与简单表示法(第 2 课时) ...
2015-2016学年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)学案设计 新人教A版必修5
2015-2016学年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)学案设计 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第二章 2.1 2.1 数列 数列的概念与简单表示...
新人教A版必修5高中数学2.1数列的概念与简单表示法(2)学案(二)
新人教A版必修5高中数学2.1数列的概念与简单表示法(2)学案(二)_数学_高中教育_教育专区。高中数学 2.1 数列的概念与简单表示法(2)学案 新人教 A 版必修 5...
最新人教A版必修5高中数学《2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)》教案(精品)
高中数学必修五2.1.1 数列的概念与简单表示法(一) 》教案 第一课时 2.1.1 数列的概念与简单表示法() 教学要求:理解数列及其有关概念;了解数列和函数...
《2.1 数列的概念与简单表示法》 教学案-公开课-优质课(人教A版必修五精品)
2.1 数列的概念与简单表示法教学案-公开课-优质课(人教A版必修五精品)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《2.1 数列的概念与简单表示法教学案 ...
更多相关标签: