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以高等代数的拉格朗日中值定理解一道高中数学题


以高等代数的拉格朗日中值定理解一道中学题 拉格朗日中值定理: 如果 f ? x ? 满足: ①在 [ a, b] 连续; ②在 ( a, b) 连续, 则存在 ? ? ?a, b ? ,使 f ?b? ? f ?a ? ? f ??? ??b ? a ? 。 推论:⑴ 如果在区间 I 上 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? ? c ⑵ 如果在区间 I 上 f ??x ?

? 0 (? 0) , f ? x ? 在I单增(减) 。 例 2 对任意满足 x ? 1, 都有 arctg 证明:设
f ?x ? ? arctg

1? x 1 ? ? arcsin x ? . 1? x 2 4

1? x 1 ? arcsin x 1? x 2



f ??x ? ?

1 1 ?2 1 1 ? ?? ? 2 1? x 2 1? x2 1 ? x ?1 ? x ? 1? 2 1? x 1? x

1 1? x 1? x 2 1 ?? ? ? ? ? 2 2 2 1? x2 1? x 2 1? x2 ?0
拉格朗日中值定理的推论(1)得 f ?x ? ? c ∵ ∴

f ?0? ?
f ?x ? ?

?
4

?
4

1


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