当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5新教学案:2.3等差数列的前n项和(第2课时)


必修 5

2.3 等差数列的前n项和(学案)
(第 2 课时)

【知识要点】 1.等差数列的前 n 项和公式; 2.等差数列的前 n 项和 S n 与二次函数的关系. 【学习要求】 1. 进一步巩固等差数列的前 n 项和公式; 2. 深刻领会等差数列前 n 项和与通项公式之间的相互转化以及等差数列的前 n 项和 S n 与二次函数的关系.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 44 页~第 45 页) 1.已知数列 {an } 的前项 n 项和为 Sn ,则它的通项公式是 an ? .

2.结合例 3 以及课本 45 页“探究”思考:等差数列前 n 项和是不是关于 n 的二次函 数?(若是,则今后研究等差数列前 n 项和的有关性质时就可以用函数的方法. ) 如果数列 {an } 的前项 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数,那么这个数列是等差数列吗? 【基础练习】 1. 已知数列 {an } 的前项 n 项和为 Sn ?

1 2 2 n ? ? 3, 则它的通项公式是 an ? 4 3
项的和最小.

.

? ? 2.等差数列 ? 21,-19, 17, 前 【典型例题】
例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 S n ? n ?
2

1 n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等 2

差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

4 3 例 2 已知等差数列 5, , ,....的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最大的序号 n 的值.

2 7

4 7

1

例 3 已知数列 ?an ? 是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S6, S12 ? S 6 , S18 ? S12 成等 差数列,设 k ? N ? , S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等差数列吗?

1.数列 ?an ? 的前项 n 和 S n ? 3n 2 ? 5n 则 a 20 的值为( (A)1100 (B)112 (C)988

) .

(D)114 ) .

2.等差数列 ?an ? 共有 10 项,奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则公差为( (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 .

3.已知等差数列中, S 2n ? 4, S 3n ? 6 则 S n ? 4.已知等差数列 {an } 中, an ? ?5n ? 27 .

(1)求数列 ?an ? 的前 n 项和. (2)当 n 为何值时, S n 有最大值,并求出最大值.

5.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?60, a17 ? ?12 . (1)求通项 an . (2)求此数列前 n 项的绝对值的和.
2

表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( (A)21 (B)20 (C)19

1. (2009 安徽卷理) 已知 ?an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99, Sn 以 ) . (D) 18

2. (2009 全国卷Ⅱ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5a3 则 若

S9 ? S5



3

必修 5

2.3 等差数列的前n项和(教案)
(第 2 课时)

【教学目标】 1. 进一步巩固等差数列的前 n 项和公式; 2.使学生深刻领会等差数列前 n 项和与通项公式之间的相互转化以及等差数列的前 n 项和 S n 与二次函数的关系. 【重点】 等差数列前 n 项和公式的应用. 【难点】 等差数列前 n 项和公式的应用.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 44 页~第 45 页) 1.已知数列 {an } 的前项 n 项和为 Sn ,则它的通项公式是 an ? ?

S1 ( n ? 1), ?S n ? S n ?1 ( n ? 1). ?

2.结合例 3 以及课本 45 页“探究”思考:等差数列前 n 项和是不是关于 n 的二次函 数?(若是,则今后研究等差数列前 n 项和的有关性质时就可以用函数的方法. ) 如果数列 {an } 的前项 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数,那么这个数列是等差数列吗? 【基础练习】 1 . 已 知 数 列 {an } 的 前 项

n 项 和 为 Sn ?

1 2 2 n ? ?3 ,则它的通项公式是 4 3

? 59 ? 12 ,n ? 1, . an ? ? 6n ? 5 ? ,n ? 1. ? 12
? ? 2.等差数列 ? 21,-19, 17, 前 【典型例题】
11
2

项的和最小.

例 1 已知数列 {an } 的前项 n 项和为 S n ? n ?

1 n ,求这个数列的通项公式.这个数列 2

是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 【审题要津】由 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an 得到启示, an ? S n ? S n?1 ,求出通 项公式后其它问题则易于回答. 解:根据

Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an

4



S n?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 (n ? 1) ,
2

可知,当 n>1 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? 当 n =1 时, a1 ? S1 ? 1 ?
2

1 1 1 n ?(n ? 1 2 ? (n ? 1 ] ? 2n ? [ ) ) 2 2 2
也满足①式.



1 3 ?1 ? 2 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 由此可知,数列 {an } 是一个首项为

1 . 2

3 ,公差为 2 的等差数列。 2

【方法总结】本例给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 Sn ,可求出通项

? S1 ( n ? 1), an ? ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 1).
用这种数列的 Sn 来确定 an 的方法对于任何数列都是可行的, 而且还要注意 a1 不一定满 足由 Sn ? Sn?1 ? an 求出的通项表达式,所以最后要验证首项 a1 是否满足已求出的 an . 思考: 结合例 3, 思考课本 45 页 “探究” 一般地, : 如果一个数列 {an } 的前 n 项和为. 其 中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公 差分别是什么? 引导分析得出:观察等差数列的前 n 项和公式 S n ? a1 n ?

n(n ? 1) d d ?? n 2 2 2

d ? (a1 ? )n ,公式本身就不含常数项. 2
所以得到:如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0,且关于 n 的二次函数,则这个 数列一定是等差数列.在上面问题中,当 r ? 0 时这个数列是等差数列,首项 a1 ? p ? q , 公差 d ? 2 p .

4 3 例 2 已知等差数列 5, , ,....的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最大的序号 n 的值.
【审题要津】 等差数列的前 n 项和公式可以写成 S n ? 看成函数 y ?

2 7

4 7

d 2 d n ? a1 ? )n ,所以 Sn 可以 ( 2 2

d 2 d x ? (a1 ? ) x 2 ( x ? ? ? ) 当 x ? n 时的函数值.另一方面, 容易知道 Sn 关于 2 2

n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此,我们可以利用二次函数来求 n 的值. 2 4 5 4 3 解:由题意知,等差数列 5, , ,....的公差为 ? ,所以 7 7 7 n(n ? 1) 5 S n ? 5n ? (? ) 2 7
5

=

75n ? 5n2 5 15 2 1125 ? ? (n ? ) ? 14 14 2 56

于是,当 n 取与

15 最接近的整数即 7 或 8 时, Sn 取最大值. 2 2 4 5 4 3 另解:由题意知,等差数列 5, , ,....的公差为 ? ,所以 7 7 7 5 5 40 a n ? 5 ? (n ? 1) ? ? n ? . 7 7 7 5 40 ? 0. 令 an ? 0 , 即 ? n ? 7 7 n ? 8. 解得
即 前 7 项均为正数,第 8 项为 0,第 8 项以后的各项均为负数. 所以,当 n 取 7 或 8 时, Sn 取最大值.

【方法总结】本题的两种解法从两个侧面求解等差数列的前 n 项和的最值问题,请大家 思考每种解法是基于什么想法找到的? 例 3 已知数列 ?an ? 是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S6, S12 ? S 6 , S18 ? S12 成等 差数列,设 k ? N ? , S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等差数列吗? 【审题要津】利用等差数列的前 n 项和公式分别求出 S6, S12 ? S 6 , S18 ? S12 ,根据 等差数列的定义判断即可. 解:设 ?a n ?, 首项是 a1 ,公差为 d 则: S 6 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6

S12 ? S 6 ? a 7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? (a1 ? 6d ) ? (a 2 ? 6d ) ? (a3 ? 6d ) ? (a 4 ? 6d ) ? (a5 ? 6d ) ? (a 6 ? 6d ) ? (a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a 6 ) ? 36d ? S 6 ? 36d S18 ? S12 ? a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? a17 ? a18 ? (a 7 ? 6d ) ? (a8 ? 6d ) ? (a9 ? 6d ) ? (a10 ? 6d ) ? (a11 ? 6d ) ? (a12 ? 6d ) ? (a 7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ) ? 36d ? S12 ? S 6 ? 36d ? S 6 , S12 ? S 6 , S18 ? S12为等差数列
同理可得 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等差数列. 【方法总结】本例说明了:等差数列相邻的连续的 k 项的和构成的新数列仍然成等差数 列,今后,可用其解决有关问题.

6

1.数列 ?an ? 的前项 n 和 S n ? 3n 2 ? 5n 则 a 20 的值为( (A)1100 (B)112 (C)988

B

) .

(D)114

2. 等差数列 ?an ? 共有 10 项, 奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则公差为 ( C ) . (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 2 .

3.已知等差数列中, S 2n ? 4, S 3n ? 6 则 S n ? 4.已知等差数列 {an } 中, an ? ?5n ? 27 .

(1)求数列 ?an ? 的前 n 项和. (2)当 n 为何值时, S n 有最大值,并求出最大值. 解: (1)由 an ? ?5n ? 27 知 所以,数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (2)由(1)知 S n ? ? 于是,当 n 取与

a1 ? 22 ,
n(a1 ? a n ) 5 49 ? ? n2 ? n. 2 2 2

5 2 49 5 49 2401 n ? n ? ? (n ? ) 2 ? . 2 2 2 10 40

49 最接近的整数即5时, S n 取最大值为 60. 10

5.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?60, a17 ? ?12 . (1)求通项 an . (2)求此数列前 n 项的绝对值的和. 解: (1)由题设知

d?

a17 ? a1 ?3 17 ? 1

所以,通项 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 63. (2)令 an ? 0 ,即 3n ? 63 ? 0 , 解得

n ? 21 ,即 前 20 项为负数,第 20 项以后的项为非负数.

设 S n为?an ? n项和,S为此数列前 n 项的绝对值的和. 前 当 n ? 20时, S ? ? S n ? ?

3 2 123 n ? n; 2 2 3 2 123 n ? n ? 1260 . 2 2

当n ? 20时, S ? ? S 20 ? ( S n ? S 20 ) ? S n ? 2S 20 ?

所以

? 3 2 123 ? ?? 2 n ? 2 n(n ? 20, n ? ? ), S ?? 3 123 ? n2 ? n ? 1260 n ? 21, n ? ? ? ). ( 2 ?2
7

表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( B ) . (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18

1. (2009 安徽卷理) 已知 ?an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99, Sn 以

解:由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a 6 =99 得 3a4 ? 99 即

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? ? an ?1 ? 0
2. (2009 全国卷Ⅱ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5a3 则 若

S9 ? S5

9 .

解:??an ? 为等差数列,?

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

8


相关文章:
(人教A版)数学必修五 :2-3-2《等差数列的前n项和(二)》...
(人教A版)数学必修五 :2-3-2《等差数列的前n项和(二)教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 2.3.2 等差数列的前 n 项和(二)? 从容说课 ...
数列2.3等差数列前n项和(第2课时)教案新人教A版必修5
数列2.3等差数列前n项和(第2课时)教案新人教A版必修5_数学_高中教育_教育...2.3 等差数列的前 n 项和(第 2 课时) 一、教学目标: 1、进一步熟练掌握...
...学年高中数学 2.3等差数列的前n项和(第2课时)学案设...
2015-2016学年高中数学 2.3等差数列的前n项和(第2课时)学案设计 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第二章 2.3 2.3 数列 等差数列的前 n 项和 ...
最新人教A版必修5高中数学 2.3等差数列前n项和教学设计...
最新人教A版必修5高中数学 2.3等差数列前n项和教学设计(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列的前 n 项和(第课时)教学设计 【教学目标】 一、...
最新人教A版必修5高中数学 2.3等差数列的前n项和教案(...
最新人教A版必修5高中数学 2.3等差数列的前n项和教案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二节 等差数列及其前 n 项和 1.通项公式的推广:an = am...
...A版必修5高中数学 2-3 等差数列的前n项和教案(精品)...
高中数学 2-3 等差数列的前 n 项和教案 新人教 A 版必修 5 知识与技能 理解并掌握等差数列前 n 项和公式 通过尝试猜 想公式, 与师生合作论证, 学习目标 ...
高中数学《2.3等差数列的前n项和》第2课时教案 新人教A...
高中数学2.3等差数列的前n项和第2课时教案 新人教A版必修5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学课题:2.3.2 等差数列的前 n 项和(2) 主备人: 执...
...5高中数学必修5《2.3等差数列的前n项和(二)》教案
高中数学必修五等差数列... 2页 1下载券 等差数列前n项和(第二课... 7页...2.3 等差数列的前 n 项和(二) 教学要求:进一步熟练掌握等差数列的通项公式...
最新人教A版必修5高中数学 2.3 等差数列的前n项和(第1...
最新人教A版必修5高中数学 2.3 等差数列的前n项和(第1课时)学案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.3 等差数列的前 n 项和(第 1 课时) 学习...
2017年春季学期新人教A版高中数学必修5学案 2.2 等差数列(第2课时...
2017年春季学期新人教A版高中数学必修5学案 2.2 等差数列(第2课时)_数学_...2.等差中项定义 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列....
更多相关标签: