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2016黑龙江农业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 黑龙江农业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题 1.集合 P ? ??x, y ? | y ? k?, Q ? ?x, y ? | y ? a x ? 1, a ? 0, a ? 1 ,已知 P ? Q 只有一个子集, 那么实数 k 的取值范围是 ( )

?

?

A. ?? ?,1? ?? ?,???

B. ?? ?,1?

C. ?1,???

D.

2 2.曲线 y ? ? 4 ? x ( x ? 1) 的长度是 ( )

A.

4? 3

B. 2?
1? | x | ? 3 的解集是 | x | ?1
( )

C.

8? 3

D. 4?

3.不等式

A. ?x | ?2 ? x ? 2? ?x | ?2 ? x ? ?1或 ?1 ? x ? 1或1 ? x ? 2? C. ?x | x ? 2且x ? ?1?

B. D. ?x | ?2 ? x ? ?1或1 ? x ? 2?

4.把函数 y ? cos x ? 3 sin x 的图象沿向量 a ? ?? m, m??m ? 0? 的方向平移后,所得的图 象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 ( )

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

5.等差数列 ?an ?的公差为 d ,前 n 项的和为 Sn ,当首项 a1和d 变化时, a2 ? a8 ? a11 是一个 定值,则下列各数中也为定值的是 ( )

A. S7

B. S8

C. S13

D.

S15
6.一椭圆以正三角形 ABC 的顶点 B, C 为焦点,且过 AB 的中点,则其离心率是( )

A.

1 3

B.

1 2

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

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7.半径为 4 的球面上有 A, B, C, D 四点,且 AB? AC ? 0, AC ? AD ? 0, AD? AB ? 0 ,则

S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB 的最大值为( S 表示三角形面积)
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

( )

8.某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开放 2 间,欲求不同的安排方案的种数,现有 四位同学分别给出下列四个结果:① C6 ;② C6 ? 2C6 ? C6 ? 1 ;③ 26 ? 7 ;④ A6 .其中 正确的结论是 ( )
2 3 4 5 2

A.仅有①

B.②和④

C.②和③

D.仅有③

9.已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 上任一点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率 k ? ( x0 ? 2)(x0 ? 1) 2 ,则 该函数的单调减区间为 ( )

A. ?? 1,???

B. ?? ?,2?

C. ?? ?,?1?, ?1,2?

D. ?2,???

10.对任意 x ? R ,奇函数 f ( x) 和偶函数 g ( x) 在区间 ?? ?,0? 上的图象关于 x 轴对称,且

f ( x) 为增函数,则下列各选项中能使不等式: f (b) ? f (?a) ? g (a) ? g (?b) 成立的是(

)

A. a ? b ? 0
二、填空题

B. a ? b ? 0

C. ab ? 0

D. ab ? 0

11.已知条件 p :| 4 x ? 3 |? 1 ,条件 q : x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 .若 充分条件,则实数 a 的取值范围是________. 12. f ( x) ? 2 sin(? ? ? ) ,若 f ( x) 的图象向左至少平移 奇函数的图象,而向右至少平移

p 是 q 的必要不

3? 个长度单位后所得的图象恰为偶函数的图象,则 8

? 个长度单位后所得的图象恰为 8

f ( x) 的最小正周期是________.
13.设满足 y ?| x ? 1 | 的点 ? x, y ? 的集合为 A ,满足 y ? ? | x | ?2 的点 ? x, y ? 的集合为 B ,则

A ? B 所表示的图形的面积是________.
14.已知 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? ?x2006 ? 1 ,且 x1 , x2 , x3 ,? ? ?, x2006 都是正数,则

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ? ? (1 ? x2006 ) 的最小值是________.

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15.一项 “过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于 n2 ? log2 n ,则算过关,那么连过前二关的概率是________. 16.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f ( x) 的图象恰好通 过 k (k ? N ? ) 个格点,则称函数 f ( x) 为 k 阶格点函数.下列函数:① f ( x) ? sin x ;②

1 f ( x) ? ? ( x ?1) 2 ? 3 ;③ f ( x) ? ( ) x ;④ f ( x) ? log0.6 x ,其中是一阶格点函数的有 3
_______. 三、解答题 17.已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A?3,0?, B?0,3?, C?cos? , sin ? ? ,其中 (1)若 | AC |?| BC | ,求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1 ,求

?
2

?? ?

3? . 2

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

18.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形,且 ?ABC ? 1200 ,

PA ? 底面ABCD , AB ? 1, PA ? 3, E为PC 的中点.
(1)求直线 DE 与平面 PAC 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AD ? C 的平面角的正切值; (3)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PC ? 平面MBD 成立?如果存在,求出 MC 的长;如 果不存在,请说明理由. 19.设平面向量 a ? (

3 1 1 3 ,? ), b ? ( , ), m ? a ? ( x 2 ? k )b, n ? xb ? y a (其中 2 2 2 2

x, y, k ? R ),且 m ? n .
(1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)若函数 y ? f ( x) 对任意 x1 , x2 ? ?1,??? 都有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,求此时

f ( x) 在 ?1,??? 上的最小值;

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(3)若点 ( x0 , f ( x0 )) 在不等式 ?

?x ? 1 所表示的区域内,且 x0 为方程 f [ f ( x)] ? x 的一个解, ?y ? 1

当 k ? 4 时,请判断 x0 是否为方程 f ( x) ? x 的根,并说明理由. 20.设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点是 F1 ?? c,0?与F2 ?c,0??c ? 0? ,且椭圆上存在点 M ,使 m ?1

MF1 ? MF2 ? 0 .
(1)求实数 m 的取值范围; (2)若直线 l : y ? x ? 2 与椭圆存在一个公共点 E ,使得 | EF 1 | ? | EF 2 | 取得最小值,求此最 小值及此时椭圆的方程; (3)在条件(2)下的椭圆方程,是否存在斜率为 k (k ? 0) 的直线 l ,与椭圆交于不同的两点

A, B ,满足 AQ ? QB ,且使得过点 Q, N (0,?1) 两点的直线 NQ 满足 NQ ? AB ? 0 ?若存在,
求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 21.已知函数 f ( x) ? x( x ? a)(x ? b) ,其中 0 ? a ? b . (1)设 f ( x) 在 x ? s和x ? t 处取得极值,其中 s ? t ,求证: 0 ? s ? a ? t ? b ; (2)设 A(s, f (s)),B(t , f (t )) ,求证:线段 AB 的中点 C 在曲线 y ? f ( x) 上; (3)若 a ? b ? 2 2 ,求证:过原点且与曲线 y ? f ( x) 相切的两条直线不可能垂直. 答案 一、选择题 1.A 7.C 2.A 8.C 3.D 9.B 4.C 10.A 5.C 6.D

二、填空题 11. 0 ? a ?

1 2

12. 2? 16.①②④

13.

3 2

14. 2 2006

15.

65 108

三、解答题 17.解:(1) AC ? ?cos? ? 3, sin? ?, BC ? ?cos? , sin? ? 3? .

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∵ | AC |?| BC | ,∴ | AC |2 ?| BC |2 ,即 ?cos? ? 3? ? sin 2 ? ? cos2? ? (sin? ? 3) 2 ,
2

化简得 sin ? ? cos ? ,∴ tan ? ? 1 . ∵

?
2

?? ?

3? 5? ,∴ ? ? . 4 2

(2) ?1 ? AC ? BC ? cos? (cos? ? 3) ? sin? (sin? ? 3) ? 1 ? 3(sin? ? cos? ) ,

2 5 2 sin ? ? cos ? ? ,2 sin ?cos ? ? ?sin ? ? cos ? ? ? 1 ? ? , 3 9

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin ? ?sin ? ? cos? ? 5 ? ? 2 sin ?cos? ? ? . ∴ sin ? ? cos? 1 ? tan? 9 cos?
18.解:(1)如图,连 AC, BD ,则由 PA ? 底面ABCD ,得平 面 PAC ? 底面ABCD于AC . 又由底面 ABCD 为菱形,可得 BD ? AC于O ,所以

DO ? 平面PAC .
连 OE ,则 OE 为 DE 在平面 PAC 上的射影,所以 ?DEO 即为 DE 与平面 PAC 所成的角. 由 E为PC 中点可得 EO ?

1 3 . PA ? 2 2
1 . 2

又由菱形性质可得,在 Rt ?AOD 中, ?ADO ? 600 , AD ? 1 ,所以 DO ?

所以在 Rt ?DEO 中, tan ?DEO ?

DO 3 ,所以 ?DEO ? 300 . ? EO 3

(2)由 EO // PA , PA ? 底面ABCD ,可得 EO ? 底面ABCD . 过 O 作 OF ? AD于F ,连 EF ,则由三垂线定理可得 EF ? AD ,所以 ?EFO 即为二面角

F ? AD ? C 的平面角.
由(1)可知 EO ?

1 3 0 ,又在 Rt ?ODF 中, ?ODF ? 60 , OD ? , 2 2

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所以 OF ? OD ? sin 600 ?

EO 3 ? 2. ,所以 tan ?EFO ? OF 4

(3)设 AC ? BD ? 0 ,过 O 作 OM ? PC于M ,则由

PA ? 底面ABCD 可得平面 PAC ? 底面ABCD于AC .
又 BD ? AC, BD ? 底面ABCD ,所以 BD ? 平面PAC . 所以 BD ? PC ,而 OM ? 平面PAC且OM ? PC ,可得

PC ? 平面MBD ,故线段 PC 上存在一点 M ,使 PC ? 平面MBD 成立, MC ?
19.解:(1)∵ a ? (

6 . 4

3 1 1 3 ,? ),b ? ( , ) ,∴ | a |?| b |? 1, a ? b ? 0 . 2 2 2 2

∵ m ? n ,∴ m ? n ? 0 . ∴ [a ? ( x 2 ? k )b] ? ( xb ? ya) ? x( x 2 ? k ) | b |2 ? y | a |2 ? x( x 2 ? k ) ? y ? 0. ∴ y ? x 3 ? kx . (2)已知对任意的 x1 , x2 ? ?1,??? 都有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 , ∴当 1 ? x1 ? x2 时有 x1 ? x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴ f ( x)在?1,??? 上是增函数, ∴ f min ( x) ? f (1) ? 1 ? k , ∴ f ( x)在?1,??? 上的最小值为 1 ? k . (3)设 f ( x0 ) ? m ,由 f [ f ( x0 )] ? x0 知 f (m) ? x0 ,

? x0 3 ? kx0 ? m ∴? 3 ?m ? km ? x0

① ②
2

由①-②得 ( x0 ? m)(x0 ? mx0 ? m2 ? k ? 1) ? 0 . ∵ x0 ? 1, m ? 1, k ? 4 ,∴ x0 ? mx0 ? m2 ? k ?1 ? 4 ? k ? 0 , ∴ m ? x0 ,即 f ( x0 ) ? m ? x0 , ∴ x0 是方程 f ( x) ? x 的根.
2

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20.解:(1)由椭圆定义可得 | MF 1 | ? | MF 2 |? 2 m ? 1 , 由 MF1 ? MF2 ? 0 可得 | MF1 |2 ? | MF2 |2 ? 4m ,

(| MF1 | ? | MF2 |) 2 而 | MF1 | ? | MF2 | ? ,∴ 4m ? 2(m ? 1) ,解得 m ? 1 . 2
2 2

? y ? x?2 ? (2)由 ? x 2 ,得 (m ? 2) x 2 ? 4(m ? 1) x ? 3(m ? 1) ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?m ?1

? ? 16(m ? 1) 2 ?12(m ? 2)(m ? 1) ? 4m(m ? 1)(m ? 2) ? 0 ,
解得 m ? 2或m ? ?1 (舍去),∴ m ? 2 . 此时 | EF 1 | ? | EF 2 |? 2 m ? 1 ? 2 3 . 当且仅当 m ? 2 时, | EF 1 | ? | EF 2 | 取得最小值 2 3 ,此时椭圆方程为 (3)由 AQ ? QB 知点 Q 是 AB 的中点. 设 A, B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,中点 Q 的坐标为 ? x, y ?,

x2 ? y2 ? 1. 3

? x1 2 2 ? y1 ? 1 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 3 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . 则? 2 ,两式相减得 1 3 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 3


1 y2 ? y1 x ?x x ①且在椭圆内的部分. ? ? 2 1 ,∴ AB 中点 Q 的轨迹为直线 y ? ? 3k x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 1 1 ,方程为 y ? ? x ? 1 ② k k

又由 NQ ? AB ? 0 可知 NQ ? AB ,所以直线 NQ 的斜率为 ?

3k 1 ①、②联立可求得点 Q 的坐标为 (? , ) ,∵点 Q 必在椭圆内,∴ 2 2
解得 k 2 ? 1 ,又∵ k ? 0 ,∴ k ? ??1,0? ? ?0,1? .

(?

3k 2 ) 2 ? ( 1 )2 ? 1 , 3 2

21.解:(1) f ( x) ? x3 ? (a ? b) x 2 ? abx ,∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2(a ? b) x ? ab ? 0 的两根为 s , t , 令 f ?( x) ? g ( x) ,∵ 0 ? a ? b ,∴ g (0) ? ab ? 0, g (a) ? a(a ? b) ? 0, g (b) ? b(b ? a) ? 0 ,

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故有 0 ? s ? a ? t ? b . (2)设 AB 中点 C( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 故有 s ? t ?

s?t f ( s) ? f (t ) , y0 ? , 2 2

2(a ? b) ab a?b , st ? ,∴ x 0 ? , 3 3 3

f ( s) ? f (t ) ? ( s 3 ? t 3 ) ? (a ? b)( s 2 ? t 2 ) ? ab ( s ? t ) ? ?
∴ y0 ? ?

4 2 (a ? b) 3 ? ab (a ? b) . 27 3

2 1 (a ? b) 3 ? ab (a ? b) . 27 3

代入验算可知 C 在曲线 y ? f ( x) 上. (3)过曲线上的点 ( x1 , y1 ) 的切线的斜率是 31 x 2 ? 2(a ? b) x1 ? ab , 当 x1 ? 0 时,切线的斜率 k1 ? ab ; 当 x1 ? 0 时, 3x1 ? 2(a ? b) x1 ? ab ? ∴切线斜率 k 2 ? ?
2

a?b y1 , ? ( x1 ? a)(x1 ? b) ,∴ x1 ? 2 x1

1 (a ? b) 2 ? ab . 4 1 (a ? b) 2 ? ?0,2 ? ,∴ k2 ? ?ab ? 2? 4

∵ 0 ? a ? b ? 2 2 ,∴

∴ k1k2 ? abk2 ? ab(ab ? 2) ? (ab ?1) 2 ?1 ? ?1 ∴ k1k2 ? ?1 ,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.


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