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东北大学秦皇岛分校2010年解析几何期末考试题(含答案),优酷有配套讲解视频


东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校
学 号
课程名称: 解析几何 试卷: A(答案) 考试形式:闭卷

为旋转单叶双曲面;曲面
z2 程为 1 ? ? 2 y, x ? 2 。 9

x2 z 2 ? ? 2 y 叫做双曲抛物面,平面 x ? 2 截割曲面的截线方 4 9

授课专业:信息与计算科学数学与应用数学 考试日期:2011 年 1 月 4 日试卷:共 2 页

题号









总分

二、解答下列各题(每题 8 分,共 48 分)

班 级

得分 阅卷人 一、填空(每空 3 分,共 36 分)

? y2 ? 4x 1、求以曲线 ? 为准线,母线方向为 ?1, 1, ?1? 的柱面方程。 z?0 ?
解:设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 为准线上任一点,则过 M 1 的母线为

姓 名



? ? ? ? ? ? ? 已知 a ? ?1, 2,1? , b ? ?0,1,1? , 那么 ?(a, b ) ? ,与 a, b 均垂直的单位向量为
6

x ? x1 y ? y1 z ? z1 ? ? 1 1 ?1

且有



1 ? ?1, ? 1, 1? ; 单 位 向 量 3

? ? ? e1 , e2 , e3

满 足

? ? ? ? e1 ? e2 ? e3 ? , 则 0
把 z1 ? 0,

? y12 ? 4 x1 ? ? z1 ? 0
y1 ? y ? z, x1 ? x ? z 代入 y12 ? 4 x1 ,得柱面方程 ( y ? z)2 ? 4( x ? z)
2、证明空间曲线 x ? t , y ? 3t , z ? t 2 完全在曲面 x2 ? y 2 ? 5z 上。 证明:把 x ? t, y ? 2t, z ? t 2 代入曲面 x2 ? y 2 ? 10z 得
10t 2 ? 10t 2


线

? ? e1 ? e2 ?

? ? ? 3 ? 2 ? ; e2 ? e3 ? e3 e1 曲 线 y 2 ? a x ? b 3, 设 y ? t x, 参 数 方 程 为 ? ? x 2

订 线 内 不 要 答 题
a ? t2 at ? t 3 x ? 2 y ? 11 z ? 1 ? ? x? ,y? ;直线 与平面 3x ? 2 y ? z ? 15 ? 0 的位 3 ?4 ?1 b b

置关系为直线在平面内 ;直线

x y ?1 z ?1 ? ? 与平面 2 x ? y ? z ? 3 ? 0 的交点是 ?1 1 2

(1,0,-1) ;曲面 x2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 1与 2 y ? z ? 0 的交线关于 xOy 面的投影柱
? y2 z2 ? ?1 ? 2 2 面为 x ? 2 y ? 1;将曲线 ? 6 ? ? 3 ? ? , (? ? 3, 6) 绕 z 轴旋转所得曲面方 ? x?0 ?
x2 ? y 2 z2 ? ? 1 ,当 ? ? 3 时,曲面为旋转椭球面;当 3 ? ? ? 6 时,曲面 程为 6?? 3??

对于任意 t 都成立,故空间曲线完全在曲面上。 3、求球心在 C (3, 3, 2) 且与平面 2 x ? y ? 3z ? 11 ? 0 相切的球面方程。 解:点 C (3, 3, 2) 到平面 2 x ? y ? 3z ? 11 ? 0 的距离为:

d?
所以,所求球面方程为
-1-

6 ? 3 ? 6 ? 11 14

? 14

( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? ( z ? 2)2 ? 14


a1

a2 b2 c2

a3 c3

2

x2 ? y 2 ? z 2 ? x ? y ? z ? ? 6 6 4 8 0

三、利用向量证明 b1 c1

2 2 2 2 2 b3 ? (a12 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b32 )(c12 ? c2 ? c3 ) ,并说明何时等

学 号

4、列举出我们所学过的曲面中的直纹面。 解:柱面,锥面,单叶双曲面,双曲抛物面。

? f ( x, z ) ? 0 5、求以原点为顶点,准线为 ? 的锥面方程,其中 h ? 0 为常数。 ? y?h
解:设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 为准线上任一点,则过 M 1 的母线为

号成立(8 分) 。 ? ? ? 证明:设 a ? ?a1, a2 , a3?, b ? ?b1, b2 , b3?, c ? ?c1, c2 , c3? 则

班 级
且有

x y z ? ? x1 y1 z1

姓 名



? f ( x1 , z1 ) ? 0 ? ? y1 ? h
把 x1 ?
hx hz ,得 , z1 ? 代入(1) y y f( hx , y hz ) ? 0。 y

(1)

a3 ? ? ? ? ? ? b3 ? (a , b , c ) 2 ? ((a ? b )?c ) 2 c3 ? ? ? ? ? ? ? ( a ? b c cos ?(a ? b , c )) 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( a b sin ?(a , b ) c cos ?(a ? b , c )) 2 ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? a b c sin 2 ?(a , b ) cos 2 ?(a ? b , c ) ?2 ?2 ?2 ?a b c
2 2 2 2 2 ? (a12 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b32 )(c12 ? c2 ? c3 )

a1 b1 c1

a2 b2 c2

2



? ? ? 而且当 a ? ?a1, a2 , a3?, b ? ?b1, b2 , b3?, c ? ?c1, c2 , c3? 两两垂直时等号成立。
四、解:设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 为准线上任一点,因为绕 z 轴旋转,所以过 M 1 的纬圆为


线

订 线 内 不 要 答 题

? x ? y ? 4 z ? 12 ? 0 6、化直线 ? 为标准方程。 ?2 x ? y ? 2 z ? 3 ? 0
解:令 z ? 0 ,得直线上的点为(-5,7,0) 直线的方向向量为: ? ? ? i j k ? v ? 1 ?1 ?4 ? ?6, ? 6, 3? 2 1 ?2 故直线的标准方程为
x?5 y?7 z ? ? 2 ?2 1

? x 2 ? y 2 ? z 2 ? x12 ? y12 ? z12 ? z ? z1 ? 0 ?
由于 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上,所以又有:

?
由 z ? z1 , x1 ? ? z , y1 ? ? 得

x1

?

y1 ? ? z1 ? 0 1

x2 ? y 2 ? ? 2 z 2 ? ? 2
所以,当 ? ? 0, ? ? 0 时,曲面为旋转单叶双曲面;

-2-

当 ? ? 0, ? ? 0 时,曲面为圆锥面;当 ? ? 0, ? ? 0 时,曲面为圆柱面; 当 ? ? ? ? 0 时,方程为 z 轴。

-3-


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