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1.1.2、1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系 (人教A选修2-1)


第一章

常用逻辑用语

1.1.2 1.1.3

四种命题

四种命题间的相互关系

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第一章

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学习导航 学习目标

重点难点

重点:四种命题之间的关系以及

真假性之间的关系. 难点:利用命题的等价性解决简单问题.

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新知初探思维启动
1.四种命题 (1)互逆命题:一般地,对于两个命题,如果 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论 条件 ______和______,那么把这样的两个命题叫 原命题 做互逆命题.其中一个命题叫做_________, 逆命题 另一个叫做原命题的_________. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那 q p 么它的逆命题为“若____ ,则____”.
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(2)互否命题:对于两个命题,如果一个命题的条
条件的否定 件和结论恰好是另一个命题的_____________ 结论的否定 和_____________,那么把这样的两个命题叫 做___________.如果把其中的一个命题叫做 互否命题 原命题 ________,那么另一个叫做原命题的________. 否命题 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那 ¬p ¬q 么它的否命题为“若________,则_______”.

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(3)互为逆否命题:对于两个命题,如果一个命 题的条件和结论恰好是另一个命题的_______ 结论的 条件的否定 _____和____________,把这样的两个命题叫 否定 做_______________.如果把其中的一个命题 互为逆否命题 叫做原命题,那么另一个叫做原命题的 逆否命题 __________. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那 ¬q ¬p 么它的逆否命题为“若______,则______”.

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想一想

1.在四种命题中,原命题是固定的吗?
提示:不是.原命题是人为指定的,是相对 于其他三种命题而言的,可以把任何一个命 题看作原命题,进而研究它的其他形式.

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2.四种命题之间的相互关系

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做一做

命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”
的逆命题是__________. 答案:若一个数的平方是正数,则它是负数

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3.四种命题的真假性

(1)两个命 题互为逆 否命题 , 它们有相 同的
真假性 _________; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的 没有关系 真假性__________.

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想一想 2.判断若x2≠9,则x≠3是否正确?

提示:正确.利用逆否命题判断.

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典题例证技法归纳
题型探究 命题的四种形式
例1
命题: π (1)若 α+β= ,则 sinα =cosβ ; 2 (2)a,b,c,d∈R,若 a=c,b=d,则 ab=cd. 写出下列命题的逆命题、 否命题和逆否

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【解】 π = ; 2

(1)逆命题:若 sinα =cosβ ,则 α+β

π 否命题:若 α+β≠ ,则 sinα ≠cosβ ; 2 π 逆否命题:若 sinα ≠cosβ ,则 α+β≠ ; 2 (2)逆命题:a,b,c,d∈R,若 ab=cd,则 a= c,b=d; 否命题:a,b,c,d∈R,若 a≠c 或 b≠d,则 ab≠cd; 逆否命题:a,b,c,d∈R,若 ab≠cd,则 a≠ c 或 b≠d.
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【名师点评】

(1)四种命题的转化首先找出

原命题的条件和结论,然后利用四种命题的
概念直接转化即可. (2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的 逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各 命题中的大前提不变.

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变式训练 1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.

(1)在△ABC中,若a>b,则A>B;
(2)相等的两个角的正弦值相等. 解:(1)逆命题:在△ABC中,若A>B,则a>b. 否命题:在△ABC中,若a≤b,则A≤B. 逆否命题:在△ABC中,若A≤B,则a≤b.

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(2)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两
个角相等. 否命题:若两个角不相等,则这两个角的正 弦值也不相等. 逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这

两个角不相等.

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四种命题真假的判断
例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆

否命题,并判断命题的真假. (1)若m· n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根;

(2)当c>0时,若a>b,则ac>bc.

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【解】

(1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有

实数根,则m· n<0,假命题.

否命题:若m· n≥0,则方程mx2-x+n=0没有
实数根,假命题. 逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根, 则m· n≥0,真命题. (2)逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b,真命题;

否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc,真命题;
逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b,真命题.
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【名师点评】

判断四种命题的真假,首先

要正确写出四种命题,如果直接判断有难度

可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命
题的等价性,先判断等价命题的真假即可.

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变式训练

2.下列命题中正确的是( ) ①“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命 题; ②“正三角形都相似”的逆命题; ③“若 x- 2是有理数,则 x 是无理数”的逆 否命题. A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②

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解析:选 B.①原命题的否命题为“若 x2+y2= 0,则 x,y 全为零”.真命题 ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则 这两个三角形是正三角形”.假命题 ③原命题的逆否命题为“若 x 不是无理数,则 x- 2不是有理数”. ∵x 不是无理数,∴x 是有理数. 又 2是无理数, ∴x- 2是无理数,不是有理数.真命题 故正确的命题为①③,故选 B.
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等价命题的应用
例3 (本题满分12分)证明:已知函数f(x)是 (-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,若f(a) +f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 【思路点拨】 借助互为逆否的两个命题的

真假性相同证明.

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【证明】

法一:原命题的逆否命题为“已

知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、

b∈R,
若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).” (4分) 若a+b<0,则a<-b,b<-a,(6分) 名师微博

利用逆否命题可是本题的关键!

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又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,

∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),(10分)
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 即逆否命题为真命题.(11分) ∴原命题为真命题.(12分)

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法二:假设a+b<0, 则a<-b,b<-a,(2分) 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,

∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).(6分)
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).(9分) 这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛 盾.(11分) 因此假设不成立,故a+b≥0.(12分)

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名师微博

这种证法叫反证法,今后我们还要学习!

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【名师点评】

由于原命题和它的逆否命

题有相同的真假性,即互为逆否命题的命
题具有等价性,所以我们在直接证明某一 个命题为真命题有困难时,可以通过证明 它的逆否命题为真命题,来间接地证明原 命题为真命题.

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变式训练 3.证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.

证明:“若a2 -4b2 -2a+1≠0,则a≠2b+
1”的逆否命题为 “若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”. ∵a=2b+1, ∴a2 -4b2 -2a+1=(2b+1)2 -4b2 -2(2b+1)

+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0.

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∴命题“若a=2b+1,则a2 -4b2 -2a+1=

0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知, 结论正确.

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备选例题
1.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、 否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真假.

(1)圆的内接四边形对角互补;
(2)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac<0时,它 的图象与x轴有公共点.

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解:(1)该命题为真命题. 原命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边

形的对角互补,为真命题.
逆命题:若四边形的对角互补,则该四边形是 圆的内接四边形,为真命题. 否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四 边形的对角不互补,为真命题.

逆否命题:若四边形的对角不互补,则该四边
形不是圆的内接四边形,为真命题.
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(2)该命题为假命题.∵当b2-4ac<0时,二次 方程ax2+bx+c=0没有实数根,因此二次函 数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点. 逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴有公共点,则b2-4ac<0,为假命题.

否命题:若在二次函数y=ax2 +bx+c中,b2
-4ac≥0,则该二次函数图象与x轴没有公共 点,为假命题.

逆否命题:若二次函数y=ax2 +bx+c的图象
与x轴没有公共点,则b2-4ac≥0,为假命题.
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2.求证:若a3+b3=2,则a+b≤2.

证明:如果 a+b>2,那么 a>2-b, 所以 a3>(2-b)3=8-12b+6b2-b3, 即 a +b >8-12b+6b 1 × =2,即 a3+b3>2, 3
3 3 2

? 1? 2 =6 ?(b-1) + ? ≥6 3? ?

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所以a3+b3≠2成立. 即若a+b>2,则a3+b3≠2成立.

命题“若a3+b3=2,则a+b≤2”的逆否命题
“若a+b>2,则a3 +b3 ≠2”是真命题,所以 原命题也是真命题,问题得证.

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方法感悟
方法技巧 1.在写命题的四种形式时,一定要先找出原

命题的条件和结论,把结论作为条件,条件
作为结论得到的命题为原命题的逆命题.把 否定条件作为条件,否定结论作为结论得到 的命题为原命题的否命题.否命题的逆命题 为原命题的逆否命题.

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2.一个命题与它的逆否命题同真同假,所以当 一个命题的真假不易判断时,往往可以判断

原命题的逆否命题的真假,从而判断出原命
题的真假.

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失误防范
1.“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于 原命题而说的,如命题:“若x≠2,则x2≠4” 相对于命题“若x=2,则x2=4”是否命题, 而相对于命题“若x2=4,则x=2”,则是逆否命 题.

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2.如果原命题含有大前提,在写原命题的逆命 题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题

中的大前提不变,只调整小前提与结论的位
置或否定小前提和结论.

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知能演练轻松闯关

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